Chường 2- Lý thuyết môđun

Gọi S là tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn của Q i∈I Ai.. Lúc đó R-môđun phảiQ i∈I Aiđược gọi là tích trực tiếp của họ đó.. 2 Môđun con gồm tất cả các phần tử có giá hữu hạn của Q i∈

CHƯƠNG 2.

MÔĐUN TỰ DO VÀ TÍCH TENXƠ

1 Tích và tổng trực tiếp của các môđun

1.1 Các định nghĩa.

Cho (Ai|i ∈ I) họ các tập Ai với tập chỉ số I Lúc đó ta có tích Descartes Q

i∈I

Ai của họ

đó Nếu cho Ai là các R-môđun phải, ta cần trang bị các phép toán dể Q

i∈I

Ai trở thành một R-môđun phải Ta có:

MỆNH ĐỀ1.1 Cho R là vành và (Ai|i ∈ I) là họ các R-môđun phải Ai Tích Descartes Q

i∈I

Ai cùng với hai phép toán sau:

Phép cộng: (ai) + (bi) := (ai+ bi), (ai), (bi) ∈ Q

i∈I

Ai

Phép nhân môđun: (ai)r = (air) (ai) ∈ Q

i∈I

Ai, r ∈ R

là R-môđun phải.

ĐỊNH NGHĨA1.2 Phần tử (ai) ∈ Q

i∈I

Ai được gọi là có giá hữu hạn nếu như tập các chỉ

số i ∈ I mà ai 6= 0 là hữu hạn Nói cách khác ai = 0 với mọi i trừ một số hữu hạn

MỆNH ĐỀ1.3 Tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn củaQ

i∈I

Ailà môđun con củaQ

i∈I Ai

CHỨNG MINH Gọi S là tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn của Q

i∈I

Ai Trước hết ta thấy S 6= ∅ vì (0) ∈ S Ngoài ra nếu lấy (xi) và (yi) ∈ S thì (xi+ yi) cũng có giá hữu hạn nên (xi) + (yi) ∈ S Lấy (xi) ∈ S và α ∈ R thì (xiα) cũng có giá hữu hạn nên (xi)α ∈ S

Theo Định lý I.??, S ≤ Q

i∈I

ĐỊNH NGHĨA1.4

(1) Cho họ các R-môđun phải (Ai|i ∈ I) Lúc đó R-môđun phảiQ

i∈I

Aiđược gọi là tích trực tiếp của họ đó

Nếu I = ∅ thì ta qui ướcQ

∅

Ai là môđun không

(2) Môđun con gồm tất cả các phần tử có giá hữu hạn của Q

i∈I

Ai được gọi là tổng trực tiếp (ngoài) của họ (Ai, i ∈ I) Ta hay kí hiệu nó làL

i∈I Ai

Có thể suy ngay từ định nghĩa là khi I hữu hạn thì

Y i∈I

Ai =M i∈I

Ai Khi xét đến tổng và tích trực tiếp của các môđun, ta thường hay chú ý đến một vài loại đồng

1

cấu đặc biệt sau:

πj :Y i∈I

Ai −→ Aj (aj) 7−→ aj

σ :M i∈I

Ai −→Y

ß∈I

Ai (ai) 7−→ (ai)

ηj : Aj −→M

i∈I

Ai

aj 7−→ (ti) trong đó ti = 0 nếu i 6= j và ti = aj nếu i = j

Dễ dàng kiểm tra các tính chất sau của các đồng cấu trên

BỔ ĐỀ1.5

(1) πj, πjσ là toàn cấu.

(2) ηj, σηj là đơn cấu.

(3)

( πkσηj = 1Aj, nếu k = j

0, nếu k 6= j

(4) (σηjπj)2 = σηjπj và (ηjπjσ)2 = ηjπjσ

(5) Nếu I = {1, , n} thì

(ηjπj)2 = ηjπj và 1Q Ai =

n X i=1

ηjπj

1.2 Tổng trực tiếp trong.

ĐỊNH LÍ1.6 Giả sử M là một R-môđun phải và (Mi)i∈I là họ các môđun con của M Xét ánh xạ

f :M i∈I

Mi −→ M

(xi) 7−→X

I

xi

Các điều kiên sau là tương đương:

(1) f là một đẳng cấu.

(2) Mọi phần tử x ∈ M đều có thể viết được duy nhất dưới dạng x =P xi, trong đó (xi)

là phần tử của ⊕Mi, nghĩa là có giá hữu hạn.

(3) M =P

i∈I

Mi và mọi hệ thức có dạngP

i∈I

xi = 0 trong đó phần tử (xi) có giá hữu hạn đều suy ra xi = 0 với mọi i ∈ I.

(4) M =P

i∈I

Mivà Mi∩ (P

i6=j

Mj) = 0 với mọi i ∈ I.

2

CHỨNG MINH (1) ⇒ (2) Do f đẳng cấu nên ∀x ∈ M, ∃!(xi) ∈ ⊕Miđể x = f ((xi)) = P

I

xi Đó chính là (2)

(2) ⇒ (3) Trước hết chứng minh M =P

i∈I

Mi Thật vậy với x ∈ M , ta viết x = P

i∈I

xi, (xi) là phần tử có giá hữu hạn Vậy x ∈P

i∈I

Mi Bây giờ choP

i∈Ixi = 0 với phần tử (xi) có giá hữu hạn Do (2) cách biểu diễn 0 =P

i∈I 0

là duy nhất nên xi = 0 với mọi i ∈ I

(3) ⇒ (4) Cho x ∈ Mi∩ (P

i6=j

Mj) thì x = xi = P

i6=jxj trong đó (xj) có giá hữu hạn Lập phần tử (x0j) mới như sau:

x0j = xj với j 6= i

x0i = −xi ∈ Mi

thì từ đẳng thức trên ta có 0 =P

j∈I (x0j) mà phần tử (x0j) cũng có giá hữu hạn Theo (3) x0j = 0 với mọi j ∈ I Từ đó ta có

x = −xi = x0i = 0

Vậy Mi∩ (P

j6=i

Mj) = 0

(4) ⇒ (1) Chúng thể kiểm tra f là một đồng cấu dễ dàng Khi x ∈ M thì theo (4) x có thể viết x =P

i∈I

xi trong đó (xi) có giá hữu hạn Lấy phần tử (xi)i∈I ∈ ⊕Mithì f ((xi)) = x nên f là một toàn cấu Ngoài ra giả sử (xi) ∈ Kerf , nghĩa là f ((xi)I) =P

i∈I

xi = 0 Lúc đó với mọi i ∈ I xi =P

j6=i

(−xj) ∈ Mi∩ (P

j6=i

Mj) = 0 Vậy Kerf = 0 hay f là một đơn cấu

ĐỊNH NGHĨA 1.7 Cho MR và họ (Mi)i∈I các môđun con của M M được gọi là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con (Mi)i∈I nếu và chỉ nếu các điều kiện tương đương của Định lý II.1.6 được thoả mãn Lúc đó ta kí hiệu:

I

Mi Khi I hữu hạn ta viết M = M1+ · · · + Mn

Mối quan hệ giữa tổng trực tiếp trong và ngoài.

(1) Khi cho MR và (Mi)I là họ các môđun con của M Ta luôn luôn lập được tổng trực tiếp ngoàiL

i∈I

Mi Ngoài ra nếu Mi ∩ (P

j6=i

Mj) = 0 với mọi i thì ta cũng lập được tổng trực tiếp trongP

I

Mi Theo Định lý II.1.6 ta có

⊕Mi 'XMi

3

(2) Nếu cho (Mi)i∈I là họ các R-môđun phải Ta luôn luôn lập được M = ⊕Mi Lúc đó M

là tổng trực tiếp trong của họ môđun con (Mi0)I sao cho với mọi i ∈ I, Mi ' M0

i Thật vậy, với ηk : Mk −→ ⊕Mi thì mỗi x ∈ M biểu diễn duy nhất dưới dạng x = P

I

ηi(xi) trong đó (xi) có giá hữu hạn Theo Định lý II.1.6(2), M chính là tổng trực tiếp trong của họ Mi0 = ηi(Mi) ≤ M Do ηi đơn cấu nên Mi0 ' Mi Do những lý do trên người

ta thường đồng nhất hai khái niệm trên và ít khi phân biệt chúng, và dùng chung một kí hiệu L

i∈I

Mi

1.3 Hạng tử trực tiếp.

ĐỊNH NGHĨA1.8 Cho MRvà N ≤ M N được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P Lúc đó ta nói P là môđun con phụ của N trong M

Từ định nghĩa ta suy ra ngay: N là hạng tử trực tiếp của M nếu và chỉ nếu

∃P ≤ M [M = N + P và N ∩ P = 0]

VÍ DỤ1.9

(1) Cho M là không gian vectơ hữu hạn chiều Lúc đó mọi không gian con của M đều

có không gian con phụ

(2) Nói chung không phải mọi môđun con của một môđun đều có môđun con phụ, chẳng hạn ta xét ZZ Lấy N = nZZ với n 6= 0 Với mọi mZZ, m 6= 0 ta có mn ∈ nZZ ∩ mZZ nên nZZ ∩ mZZ 6= 0 nghĩa là nZZ + mZ không là tổng trực tiếp Vậy nZZ không có môđun con phụ nào trong ZZ

MỆNH ĐỀ1.10 Mọi môđun con phụ của N trong M nếu có đều đẳng cấu với nhau.

CHỨNG MINH Cho N ≤ M và N có môđun con phụ trong M là P và P0 Lúc đó

M = N ⊕ P từ đó M/N ' (N ⊕ P )/N Theo định lý đẳng cấu thứ nhất, M/N ' P/N ∩ P = P/0 ' P Tương tự ta cũng có M/N ' P0 Suy ra P ' P0 

2 Môđun tự do 2.1 Định nghĩa và tính chất.

ĐỊNH NGHĨA 2.1 Cho X là một tập Ta gọi môđun tự do trên X là một R-môđun MR cùng với ánh xạ f : X −→ M sao cho với mọi NRvà mọi ánh xạ g : X −→ N , tồn tại duy nhất một R-đồng cấu h : M −→ N sao cho g = hf , nghĩa là sơ đồ sau giao hoán

X

?

g

f

-h

4

NHẬN XÉT2.2.

(1) Nếu (M, f ) là môđun tự do trên X, thì f đơn ánh

(2) Nếu (M, f ) và (M0, f0) là các môđun tự do trên X, thì tồn tại R-đẳng cấu φ :

M −→ M0sao cho f0 = φf

ĐỊNH NGHĨA2.3 Một R-môđun phải được gọi là tự do nếu nó đẳng cấu với một môđun

tự do trên một tập nào đó

MỆNH ĐỀ2.4 Môđun F là môđun tự do nếu và chỉ nếu tồn tại tập X sao cho

F ∼= R(X)

CHỨNG MINH Vì F là môđun tự do nên F ∼= M với M là môđun tự do trên tập X nào đó Khi X = ∅ thì rõ ràng F ∼= R(∅) Vậy ta có thể giả thiết X 6= ∅ Bây giờ ta xét các R-môđun phải (Mx)x∈X chỉ số hoá bởi X, sao cho với mọi x ∈ X, Mx = R Khi đó

R(X) = L

x∈X

Mx Giả sử jx : R −→ R(X)là phép nhúng chỉ số x sao cho jxchuyển một phần

tử r ∈ R thành một họ có tất cả các thành phần bằng 0, trừ thành phần với chỉ số x bằng r Với mỗi x ∈ X, đặt ex = jx(1) Khi đó, mọi phần tử t ∈ R(X) được viết một cách duy nhất dưới dạng

t = X x∈X

exrx trong đó (rx)X có giá hữu hạn

Xét ánh xạ f : X −→ R(X)

x 7−→ ex Bây giờ ta sẽ chứng minh (R(X), f ) là môđun tự do trên X Thật vậy nếu NR là một R-môđun phải bất kì và g : X −→ N là ánh xạ Đặt h : R(X) −→ N xác định bởi h(P

x∈X

exrx) = P

x∈X g(x)rx Ta có thể kiểm tra được h là R-đồng cấu duy nhất sao cho

ĐỊNH LÍ2.5 Cho FRlà R-môđun phải Các điều kiện sau là tương đương:

(1) F có cơ sở.

(2) F =P

i∈I

Aivà với mọi i ∈ I, RR ' Ai

(3) F là môđun tự do.

CHỨNG MINH Chú ý đối với trường hợp F = 0 thì cơ sở của F chính là tập ∅ và do vậy trong (2) ta lấy I = ∅ Do vậy ta giả sử F 6= 0

(1) ⇒ (2) Cho X là cơ sở của F và a ∈ X Lập ánh xạ

ϕa : RR−→ aRR

r 7−→ ar

Lúc đó ϕa là toàn cấu R-môđun phải Ngoài ra, do với mọi r ∈ R, ar = 0 thì ar = 0 = a0

Vì X là cơ sở nên r = 0 Vậy ϕalà đơn cấu Từ đó ϕalà đẳng cấu

5

Ta sẽ chứng minh F =

a∈X

aR Thật vậy, vì X là cơ sở nên nó là hệ sinh Ta có ngay

F = P

a∈X

aR Bây giờ cho a0 ∈ X là phần tử tuỳ ý Xét phần tử c ∈ aoR ∩ P

a∈X,a6=a 0

aR Lúc

đó tồn tại a1, , an∈ X, ai 6= a0và r0, r1, , rn∈ R sao cho

c = a0r0 = a1r1+ + anrn

Từ đó 0 = −a0r0 +

n P i=1

airi Do ai thuộc cơ sở X nên r0 = r1 = = rn = 0 Vậy c = 0, nghĩa là a0R ∩ P

a∈X,a6=a 0

aR = 0 Theo Định lý 1.6, F = P

a∈X aR

(2) ⇒ (1) Cho ϕi : RR −→ Ai là các đẳng cấu theo giả thiết (2) Ta sẽ chứng minh {ϕi(1) : i ∈ I} là cơ sở của F {ϕi(1)}là hệ sinh : Ta có Ai = ϕi(R) = ϕi(1.R) = ϕi(1)R Ngoài ra

i∈I

Ai =X i∈I

ϕi(1)R

Điều này chứng tỏ {ϕi(1)} là hệ sinh của F {ϕi(1)}độc lập: Điều này suy ngay từ tính chất

của tổng trực tiếp trong

2.2 Mối quan hệ giữa R-môđun tự do và R-môđun.

ĐỊNH LÍ 2.6 Mỗi R-môđun phải M là ảnh toàn cấu của một R-môđun phải tự do nào

đó Nếu MR hữu hạn sinh thì MR là ảnh toàn cấu của một R-môđun phải tự do với cơ sở hữu hạn.

CHỨNG MINH Giả sử Y là một hệ sinh nào đó của M Xét môđun tự do

M Y

R =X b∈Y

ϕb(1)R

Từ tính chất biểu diễn duy nhất qua các phần tử cơ sở củaL

Y R suy ra rằng qui tắc M

Y

R =X b∈Y

ϕb(1)R −→ M

X

ϕb(1)rb 7−→Xbrb

là một toàn cấu

Khi Y = {y1, , yn} thìL

Y

ĐỊNH LÍ2.7 Nếu ϕ : AR−→ FRlà một toàn cấu từ R-môđun phải A vào môđun tự do

F thì tồn tại đồng cấu ϕ0 : FR−→ ARsao cho ϕϕ0 = 1F

CHỨNG MINH Giả sử Y là cơ sở nào đó của môđun FR và đối với mỗi b ∈ Y chọn

ab ∈ A sao cho ϕ(ab) = b Khi đó ánh xạ

ϕ0 : F −→ A, Xbrb 7−→Xabrb

6

là đồng cấu do Y là cơ sở Vì vậy

ϕϕ0(Xbrb) = ϕ(Xabrb) =Xϕ(ab)rb =Xbrb, nghĩa là ϕϕ0 = 1F Dĩ nhiên, ta cũng có:

A = Im(ϕ0) ⊕ Ker(ϕ)



3 Tích Tenxơ 3.1 Các định nghĩa và tính chất.

Chúng ta đi xây dựng tích tenxơ của các môđun thông qua tính chất phổ dụng và sau đó chỉ ra một mô hình cụ thể của nó

ĐỊNH NGHĨA 3.1 Cho R là vành có đơn vị 1 6= 0 Cho R-môđun phải MR, R-môđun tráiRN và nhóm aben A Ánh xạ β : M × N −→ A từ tích Descartes M × N vào A được

gọi là song tuyến tính trong trường hợp với mọi m, m1, m2 ∈ M, n, n1, n2 ∈ N và r ∈ R, β thỏa mãn:

(1) β(m1+ m2, n) = β(m1, n) + β(m2, n),

(2) β(m, n1+ n2) = β(m, n1) + β(m, n2),

(3) β(mr, n) = β(m, rn)

VÍ DỤ 3.2 Ví dụ quen thuộc nhất của ánh xạ song tuyến tính là phép toán trong (nhân) của vành R: R × R −→ R (1), (2) và (3) được thỏa mãn do tính phân phối hai phía của phép nhân đối với phép cọng và tính kết hợp của phép nhân

ĐỊNH NGHĨA3.3 Cho MRvàRN là các môđun Cặp (T, τ ) bao gồm một nhóm aben T

và một ánh xạ song tuyến tính τ : M × N −→ T được gọi là tích tenxơ của M và N nếu với

mọi nhóm aben A và mọi ánh xạ song tuyến tính β : M × N −→ A tồn tại duy nhất ZZ-đồng cấu (nghĩa là đồng cấu nhóm) f : T −→ A sao cho giản đồ sau giao hoán:

A

@

@

@

@

β

-τ

?

f

nghĩa là, f ◦ τ = β

NHẬN XÉT 3.4 (1) Nếu (T, τ ) là tích ten xơ của M và N thì rõ ràng f ◦ τ cũng là ánh

xạ song tuyến tính với mọi đồng cấu nhóm f : T −→ A Vậy (T, τ ) là tích tenxơ của M và

N khi và chỉ khi với mỗi nhóm aben A

HomZ(T, A) 3 f 7−→ f ◦ τ ∈ {β|β là ánh xạ song tuyến tính M × N −→ A},

7

là một song ánh.

(2) Nếu (T, τ ) là tích tenxơ của M và N thì τ (M × N ) sinh ra nhóm T

Tính duy nhất của tích tenxơ thể hiện qua:

MỆNH ĐỀ3.5 Nếu (T, τ ) và (T0, τ0) là hai tích tenxơ của M và N thì lúc đó tồn tại một ZZ-đẳng cấu f : T −→ T0 sao cho giản đồ sau giao hoán:

T0

@

@

@

@

τ0

-τ

?

f

nghĩa là, τ0 = f ◦ τ

CHỨNG MINH Theo giả thiết, tồn tại các đồng cấu nhóm f và g sao cho các giản đồ sau giao hoán:

@

@

@

@

τ0

-τ

?

f

@

@

@

@

@

τ

-τ0

?

g

Lúc đó sự giao hoán của các giản đồ:

@

@

@

@

τ

-τ

?

gf

@

@

@

@

τ

-τ

?

idT

cho ta gf = idT Tương tự f g = idT0 Vậy f là một đẳng cấu

Bây giờ chúng ta bàn đến sự tồn tại của tích tenxơ Để xây dựng được tích tenxơ của M

và N , ta lấy F = ZZ(M ×N )là nhóm aben tự do sinh ra bởi M × N Lúc đó F có cơ sở tự do (xα)α∈M ×N và có thể viết F cụ thể như sau:

F = {Xti(mi, ni)|ti ∈ ZZ và tổng này chỉ là tổng hữu hạn }

Gọi K là nhóm con của F sinh bởi các phần tử có dạng: (m1 + m2, n1) − (m1, n1) − (m2, n1), (m1, n1+ n2) − (m1, n1) − (m1, n2), (m1r, n1) − (m1, rn1), và tiếp đó ta lấy nhóm thương T = F/K

Xác định τ : M × N −→ T bởi τ = pj trong đó p là toàn cấu chính tắc p : F −→ F/K còn j là phép nhúng M × N −→ F Nghĩa là

τ (m, n) = (m, n) + K, ∀m ∈ M, n ∈ N

8

Ta kiểm chứng τ là ánh xạ song tuyến tính Thật vậy,

τ (m1+ m2, n1) − τ (m1, n1) − τ (m2, n1) =

= (pj)(m1+ m2, n1) − (pj)(m1, n1) − (pj)(m2, n1) =

= p(m1+ m2, n1) − p(m1, n1)p(m2, n1) =

= p((m1+ m2, n1) − (m1, n1) − (m2, n1)) =

= 0 (do (m1+ m2, n1) − (m1, n1) − (m2, n1) ∈ K

Vậy τ (m1+ m2, n1) = τ (m1, n1) + τ (m2, n1), ∀m1, m2 ∈ M, n1 ∈ N

Tương tự ta kiểm chứng được:

τ (m1, n1+ n2) = τ (m1, n1) + τ (m1, n2), ∀m1 ∈ M, n1, n2 ∈ N

τ (m1r, n1) = τ (m1, rn1), ∀r ∈ R, ∀m1 ∈ M, n1 ∈ N



Ta có kết quả:

MỆNH ĐỀ3.6 Với T và τ xác định như ở trên, (T, τ ) là tích tenxơ của MRvàRN

CHỨNG MINH Giả sử cho β : M × N −→ A là một ánh xạ song tuyến tính từ M × N vào nhóm aben A tùy ý Vì F là tự do trên M × N nên có một đồng cấu nhóm g : F −→ A sao cho giản đồ sau giao hoán:

A

@

@

@

@

β

-j

?

g

nghĩa là, β = g ◦ j Vì β là song tuyến tính, ta có:

g((m1+ m2, n1) − (m1, n1) − (m2, n1)) = g(j(m1+ m2, n1) − j(m1, n1) − j(m2, n1)) = (gj)(m1+m2, n1)−(gj)(m1, n1)−(gj)(m2, n1) = β(m1+m2, n1)−β(m1, n1)−β(m2, n1) = 0

Tương tự kiểm chứng được

g((m1, n1+ n2) − (m1, n1) − (m1, n2)) = 0, g((m1r, n1) − (m1, rn1)) = 0

Suy ra K ⊆ Kerf Theo định lý cơ bản của đồng cấu nhóm, tồn tại một ZZ-đồng cấu

f : T −→ A sao cho giản đồ sau giao hoán:

A

@

@

@

@

β

-τ

?

f

nghĩa là, β = f ◦ τ Do τ (M × N ) sinh ra T nên f được xác định duy nhất qua giản đồ vừa

9

Qua các Mệnh đề vừa nêu, ta nhận thấy rằng khi cho MR,RN và (T, τ ) là tích tenxơ vừa mới thiết lập, thì (T, τ ) xác định duy nhất sai khác một phép đẳng cấu Chính vì vậy, ta viết

T = M ⊗RN

và với mỗi (m, n) ∈ M × N , ta viết τ (m, n) = m ⊗ n Ta thường hay gọi M ⊗RN là tích tenxơ của MRvàRN , còn τ là ánh xạ tenxơ Chú ý rằng do τ không đơn ánh nên không thể đồng nhất M × N với τ (M × N ) ⊆ M ⊗ N được, chính vì thế cũng cần lưu ý khi ta lấy

m ∈ M0 ≤ M và n ∈ N0 ≤ N , thì m ⊗ n có thể được hiểu theo nhiều nghĩa, đó là nghĩa theo tích tenxơ M0⊗RN0 và theo tích tenxơ M ⊗RN Chú ý rằng tập sinh của M ⊗RN là:

{m ⊗ n|m ∈ M, n ∈ N }

Ta có:

MỆNH ĐỀ 3.7 Với mỗi ánh xạ song tuyến tính β : M × N −→ A tồn tại duy nhất một đồng cấu nhóm aben: f : M ⊗RN −→ A sao cho với mọi m ∈ M, n ∈ N : f (m ⊗ n) =

β(m, n)

CHỨNG MINH Theo định nghĩa của tích tenxơ



Ta sẽ nêu lên các tính chất số học của tích tenxơ mà việc chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa

MỆNH ĐỀ 3.8 Với mỗi phần tử của M ⊗ N có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạnP

i(mi ⊗ ni)(mi ∈ M, ni ∈ N ) Ngoài ra, với mọi m1, m2 ∈ M, n1, n2 ∈ N, r ∈ R, ta có:

(1) (m1+ m2) ⊗ n1 = (m1⊗ n1) + (m2⊗ n1),

(2) m1⊗ (n1+ n2) = (m1⊗ n1) + (m1 ⊗ n2),

(3) (m1r) ⊗ n = m1 ⊗ (rn)

ĐỊNH NGHĨA 3.9 Cho R và S là hai vành có đơn vị khác không Nhóm aben (M, +) là

một song môđun R-bên phải S-bên trái, kí hiệuSMRnếu

(a) M là R-môđun phải và S-môđun trái

(b) (sx)r = s(xr), ∀ r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M

CHÚ Ý3.10 (1) Mặc dù τ (M × N ) = {m ⊗ n|m ∈ M, n ∈ N } sinh ra M ⊗RN , nhưng nói chung τ (M × N ) 6= M ⊗RN Ngoài ra, sự biểu diễn các phần tử của M ⊗RN như là tổng hữu hạnP

i(mi ⊗ ni) không phải duy nhất (2) Tích tenxơ của hai môđun khác không

có thể bằng không Ví dụ lấy A = ZZ/2ZZ, U = ZZ/3ZZ Khi đó với mọi a ∈ A, u ∈ U , trong

A ⊗Z U, ta có:

0 = 0 ⊗ 0 = a ⊗ 0 − 0 ⊗ u = a ⊗ (3u) − (2a) ⊗ u = 3(a ⊗ u) − 2(a ⊗ u) = a ⊗ u Vậy

A ⊗Z U = 0 (3) Nhóm aben M ⊗RN nói chung không phải là R-môđun Tuy nhiên cấu

10