cac chuyen de on thi dh(moi)

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.a..  Ứng dụng của GTLN, GTNN để giải PT, BPT:  Giải phương trình: + Lập phương trình hoành

90 0 (Π

/2)

120 0 (2

Π/ 3)

135 0 (3

Π/ 4)

150 0 (5

Π/ 6)

18

0 0 (

Π

) Si

n

2

2 2

3 2

0

-1 2

-2 2

-3 2

cos(Π-α) = - cos α

tan(Π-α) = - tan α

cot(Π-α) = - cot α

Góc: α và Π

+ α

sin(Π+α) = - sin α

cos(Π+α) = - cos α

tan(Π+α) = tan α

cot(Π+α) = cot α

cos(

2

π

-α) = sin α

tan(

2

π -α) =

cot αcot(

cos(

2

π

+α) = -sin α

tan(

2

π

+α) = -cot α

cosa.sinbtan(a ± b) =tan tan

1 tan tan

± m

Công thức nhân đôi:

sin2a = 2 sina.cosacos2a = cos2a- sin2a = 2cos2a - 1 = 1- 2sin2a

Công thức hạ bậc 2: ( Đợc suy ra từ công thức nhân

2

2

cos a sin a = −

2 tan

cos a a

cos(a-sina.cosb =1

2

[sin(a+b)+sin(a-b)]sina.sinb =1

1+ sin2x = ( sinx + cosx) 2

1- sin2x = ( sinx - cosx) 2

1- cos2x = 2sin 2 x 1+ cos2x = 2cos 2 x tanx + cotx =

2

sin 2x

1 y = f(x) đồng biến trên (a, b) ⇔ f x ' ( ) ≥ 0 với mọi x ∈ (a, b).

2 y = f(x) nghịch biến trên (a, b) ⇔ f x ' ( ) ≤ 0 với mọi x ∈ (a, b).

3 y = f(x) đồng biến trên [ ] a b ; thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b)

4 y = f(x) nghịch biến trên [ ] a b ; thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a).

.

3 Cho hàm số y x = +3 3 x2 − mx − 4 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞ ;0 )

4 Cho hàm số y = − + x3 3 x2 + mx − 2 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 0;2

 Điều kiện tồn tại cực trị

Hàm số y = f x ( ) có cực đại và cực tiểu ⇔ f x '( ) 0 = có hai nghiệm phân biệt ⇔

 Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu

Thực hiện phép chia y cho y’ khi đó phần dư chính là phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu.

 Chú ý: sử dụng định lý viét cho hoành độ các điểm cực trị.

y = x − mx − + + x m có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.

20 Tìm m để hàm số y x = 4 − 2 mx2 + 2 m m + 4 có CĐ, CT lập thành tam giác đều.

21 Tìm m để hàm số y x = 4 − 2 m x2 2 + 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

3

y = x + m − x + m + x + m + đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 < -1 < x2.

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.

a Lập thành 1 tam giác đều.

b Lập thành 1 tam giác vuông.

c Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 16.

33 CMR với mọi m hàm số y = 2 x3 − 3(2 m + 1) x2 + 6 ( m m + 1) x + 1 sau luôn đạt cực trị tại

x1, x2 và x1 – x2 không phụ thuộc vào m.

34 Tìm m để đồ y x = −3 3 mx2 + 3( m2 − 1) x m + đạt cực tiểu tại x = 2

35 Tìm m để y mx = 3 + 3 mx2 − ( m − 1) x − 1 không có cực trị.

36 Cho hàm số y = 2 x3 − 3(3 m + 1) x2 + 12.( m2 + m x ) + 1

Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu.Viết phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT.

37 Tìm m để f x ( ) = x3 − 3 mx2 + 4 m3 có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

2(1 sin ) (1 cos 2 ) 1 3

+ So sánh các giá trị trên và kết luận.

 Biến đổi và đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho biến mới và tìm GTLN, GTNN của hàm số theo biến mới.

 Ứng dụng của GTLN, GTNN để giải PT, BPT:

 Giải phương trình:

+ Lập phương trình hoành độ giao điểm, chuyển về dạng một bên là hàm số theo

x, một bên là hàm theo m( giả sử là g(m)).

+ Để PT có nghiệm thì ⇔ min ( , ) f x m ≤ g m ( ) max ( , ) ≤ f x m + Tương tự cho trường hợp có k nghiệm và vô nghiệm.

 Giải bất phương trình:

Áp dụng các tính chất sau:

+Bất phương trình f x ( ) ≥ m đúng ∀ ∈ x I ⇔ Min f(x) ≥ m ∀ ∈ x I

+Bất phương trình f x ( ) ≤ m đúng ∀ ∈ x I ⇔ Max f(x) ≤ m ∀ ∈ x I

+ Bất phương trình f x ( ) ≥ m có nghiệm x I ∈ ⇔ max f(x) ≥ m ∀ ∈ x I

+Bất phương trình f x ( ) ≤ m có nghiệm x I ∈ ⇔ Max f(x) ≤ m ∀ ∈ x I

48 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x = −3 8 x2 + 16 x − 9 trên đoạn [ ] 1;3

49 Tìm GTLN, GTNN của hàm số x + 2 cos x trên đoạn 0;

51.Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x3 − 3 x2 trên đoạn [ − 1;1 ]

52.Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = sin4 x − cos4 x

53.Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = − x x2 trên đoạn [ − 1;1 ]

54.Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = sin x + cos2 x

55.Tìm GTLN, GTNN của hàm số sin 3 sin 1

 Biết điểm có tung độ và hoành độ cho trước.

 Biết điểm có hoành độ cho trứơc.

 Biết điểm có tung độ cho trước.

2.Dạng toán 2: Viết PTTT có hệ số góc cho trước

 Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng cho trước.

 Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.

 Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox một góc bằng α

 Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc α

 Tiếp tuyến hợp với đường thẳng d cho trước 1 góc bằng α cho trước.

3.Dạng toán 3: Viết PTTT đi qua 1 điểm A cho trước.

b Hoành độ tiếp điểm là x0 = - 1.

c Tung độ tiếp điểm là y0 = 5.

d Tại các giao điểm của (C) với đường thẳng

d: 7x + y = 0

73 Cho hàm số (C): 1

2

x y x

+

=

−

a Viết PTTT của đồ thị hàm số tại giao điểm A của đồ thị với trục tung.

b Viết PTTT của đồ thị hàm số, biết tuyết tuyến đi qua điểm B(3; 4).

c Viết PTTT của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến đó song song với tiếp tuyến tại điểm A.

76 Cho hàm số (C): 2 1

1

x y

y = x + x − x − Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến

đó song song với đường thẳng d: y = 4x + 2.

x

=

− Viết PTTT d của đồ thị hàm số (C) sao cho d và hai tiệm cận

của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.

81 Cho hàm số (C): 1

2 1

x y

x

− +

= +

Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó qua giao điểm của tiệm cận đứng và trục Ox.

+

= +

Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) tại điểm M(-2; 5).

x

= +

Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1

4 .

86 Cho hàm số (C): y = 4 x3 − 6 x2 + 1

Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1; -9).

87 Cho hàm số (C): 2

2 3

x y

x

+

= + Viết PTTT của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục

hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

88 Cho hàm số (C): 1

1

x y x

+

=

− Xác định m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.

89 Cho hàm số (C): 2 1

1

x y

x

−

=

− Cho M bất kì trên (C) có xM = m Tiếp tuyến của (C) tạ M cắt

hai tiệm cận tại A, B Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB không đổi.

90 Cho hàm số (Cm): y x = +3 3 x2 + mx + 1

Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1),

D, E Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc.

91 Tìm giao điểm của tiếp tuyến với (C): 1

3

x y x

 Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định của họ (Cm).

 Khi đó: y0 = f(x0, m) với mọi m.

Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0 ta nhận được cặp giá trị (x0; y0).

 Kết luận.

Chú ý:  am + b = 0, ∀ m ⇔ 0

0

a b

a b c

 Nếu a chia hết cho c ⇒ ta chia tử cho mẫu và sử dung tính chia hết.

 Nếu a không chia hết cho c ⇒ ta chia tử cho mẫu

Vì cy – a là nguyên nên ta phải có (bc – ad) chia hết cho cx + d.

Từ đó suy ra giá trị nguyên cần tìm.

3.Dạng 3: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): y = f(x) thỏa mãn điều kiện K.

−

= +

Tìm trên đồ thị hàm số tất cả những điểm có các toạ độ là nguyên.

Viết phương trình tiếp tuyến d tại giao điểm của (C) với Oy

Tìm k để d tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8.

102 Cho hàm số (C): 4

2

x y x

103 Cho hàm số (C): 2

3

x y x

a CMR: đường thẳng d: y = m(x+1) + 2 luôn cắt (C) tại 1 điểm A cố định.

b Tìm m để d cắt (C) tại A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau.

Viết PTTT của (Cm) tại các điểm cố định mà (Cm) đi qua.

Chuyên Đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị hàm số A.Cơ sở lý thuyết:

1 Bài toán tương giao tổng quát:

Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình

f(x, m) = g(x,m) (1).

 Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Chú ý: Nếu đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(x0; y0) thì phương trình d: y – y0 = k(x – x0) Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C).

2.Bài toán cơ bản:

= (p, q)=1 thì

\ n

q a và p a \ 0.

 Phương pháp hàm số

Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m.

Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m.

Chú ý: Phương pháp hàm số chỉ sử dụng được khi tham số là có bậc là 1.

B.Tương giao hàm bậc 3 với trục Ox.

1.Các phương pháp xét tương giao:

 Phương pháp nhẩm nghiệm cố định: Dùng phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ.

Nếu f(x, m) = 0 có nghiệm x = α thì

f x m ( , ) = ( x − α ) ( a m x ( ) 2 + b m x c m ( ) + ( ) )

 Phương pháp nhẩm nghiệm chứa tham số:

Suy ra các hệ số đi với tham số phải bằng triệt tiêu tham số.

a

−

Thế vào phương trình ta tìm đựơc điều kiện cần tìm.

Điều kiện đủ: Thử lần lượt từng giá trị tham số và kiểm tra có thoả mãn đề bài không Từ đó

a

−

= Thế vào và kiểm tra.

C.Tương giao hàm bậc 4 với trục Ox.

1.Tương giao hàm bậc 4 với Ox có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Phương pháp: Sau khi đặt t = x2 ta đựơc phương trình bậc hai Căn cứ vào điều kiện đề bài thì f(t) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt t1, t2 dương và thỏa mãn t2 = 9t1.

Vậy điều kiện là:

0 0 0 9

S P

g x

( )

f x y

g x

cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.

112 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x

+

= +

a CMR: đường thẳng y = - x + m luôn cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt Tìm m để độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất.

−

= +

Với các giá trị nào của m đường thẳng dm đi qua điểm A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị (C)

a Tại hai điểm phân biệt

b Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.

122 Cho hàm số (C): 2

2 1

x y

x

+

= +

a CMR: đường thẳng d: y = mx + m – 1 luôn đi qua một điểm cố định của (C) khi m thay đổi.

b Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng 1 nhánh của (C).

123 Cho hàm số (C): 1

2

x y x

Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại duy nhất một điểm.

x

=

−

b Biện luận theo m số nghiệm x ∈ − [ 1;2 ] của phương trình: ( m − 2 ) x m − = 0

III/ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT.

A KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ

B KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT

1 Định nghĩa: Với a > 0 , a ≠1 và N > 0

N a

• log N a α = α.log N a Đặc biệt : log N a 2 =2.log N a

3 Công thức đổi cơ số :

• log N log b.log N a = a b b a

a

log N log N

• Tính đơn điệu: * a > 1 : y log x= a đồng biến trên R+

* 0 < a < 1 : y log x= a nghịch biến trên R+

5 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1 Định lý 1: Với 0 < a ≠1 thì : aM = aN ⇔ M = N

2 Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : aM < aN ⇔ M > N (nghịch biến)

3 Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN ⇔ M < N (đồng biến )

4 Định lý 4: Với 0 < a ≠1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N ⇔ M = N

5 Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : loga M < loga N ⇔ M >N (nghịch biến)

6 Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến)

C CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M(x) = a N(x) (đồng cơ số)

Ví dụ : Giải các phương trình sau : 16 x 10 x 10+− =0,125.8 x 15 x 5−+

Bài tập rèn luyện:

a, 3

17 7

5

128.25,0

x x

− +

2 1 1

23

0,125

x x

x

− +

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0

Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 2)

0422

=

b, 4x2+x.2x2 + 1+3.2x2 =x2+2x2 +8x+12

4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh

nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có

không quá một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho

f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong

khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)

4; 3.25x-2+9(3x-10).5x-2+3-x=0 5; x2.3log 2x−xlog 3 2 =xlog 9 2

Bài tập rèn luyện:

1) 2.2x+3.3x =6x−1 (x=2) 2) 2x =3−x (x=1) 3; x x+ log 3 2 =xlog 5 2

4; 2x−1−2x2−x= −(x 1)2 5; 2x + 3x = x + 4 6; 8sin 2x+8cos 2x = +10 cos 2y

D CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG :

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log N a = a (đồng cơ số)

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) log (x 6) 3 2) x + = 2 x 1 x 1

2 log (4 + = −4) x log (2 + −3)

3) 21log ( 1) log ( 4) log2(3 )

2 1

2

2 x− + x+ = −x (x=− 11;x=−1+ 14)

log (x +3x 2) log (x 7x 12) 3 log 3+ + + + = +

2 Phương pháp 2: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸

Tỉng qu¸t:

( ) ( ) f(x) ( ) f(x) ( )

( )

3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0

Ví dụ : Giải phương trình sau :

log x 2.log x 2 log x.log x 2 + 7 = + 2 7 Bài tập rèn luyệnï:

)112(log.loglog

4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất.

(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong kho¶ng (a;b) thì phương trình f(x) = C có

không quá một nghiệm trong kho¶ng (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho

f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong kho¶ng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong

khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong kho¶ng (a;b)

do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)

E CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N (≤ > ≥, , )

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1

x

x x

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1)2 2x−3.(2 ) 32 0 x 2+ + < 2)2 x+2 3 x− ≤9 3)

F CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log Na < a (≤ > ≥, , )

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

5 x + − < + x− +

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau: 1) x

3)(log2

a, 2x.3x+1 <24 b; 5x.8x-1x ≥ 500 c; 5 7 2 x ≥7 5 2 x d; xlog 22x ≥ (2x)4

G PHƯƠNG PHÁP Gi¶i pt-bpt mị vµ LOGARIT cã tham sè

DẠNG 1: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số

Bài 1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 4x−4m.(2x−1)=0 (m<0∨m≥1 )

Bài 2: Cho phương trình: 4x−m.2x+ 1+2m=0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1≠x2 sao cho x1+x2 =3 (m=4)

Bài 3: Tìm m để pt sau có hai nghiệm trái dấu: (m+3).16x+(2m−1)4x+m+1=0 (

4

3

1< <−

− m )

DẠNG 2: Sử dụng công cụ đạo hàm giải các bài toán có chứa tham số

Bài 1: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 5.16x +2.81x =m 36 x (m<2 10)

Bài 2: Tìm m sau cho bất phương trình: 1+log5(x2+1)−log5(x2+4x+m)>0

−

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 

Bài 1: Giải các phương trình

2

122

12

.6

23x − x − 3(x−1) + x = (x=1)

2) log ( 1) 2 log 4 log (4 3)

8 2

2

4 x+ + = −x+ +x (x=2;x=2−2 6)3) log7x=log3( x+2) (x=49)

22log32log

=

−

−

(x=1,x=2,x=4)8) 2xlog2x+2x−3log8x−5=0 ( , 2

log

2)10(log.2log2

1 6 3 (x<−1∨0<x<1∨x>1)

8

14

x (x>log310)8) log ( 1 3 ) log (13 1)

3 1 2 2

x

x x

(-2 < x <-1)

Bài 3 : Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1

2 1

2

3 2log

2

x x y

∫

2

1

cotsin u du= − u c+

∫

1ln

∫ t×m A,B sao cho 2 sinx−3cosx A sinx= (2 +5cosx)+B cosx(2 −5sinx)

x dx2x 1+

∫ 3)

1 0

x 1 xdx−

∫ 4)

1 2 0

x +2x 1+

0(sin x cos x)dx

∫ 11)

2 6

1 sin 2x cos2xdxsin x cosx

1 dx

e 1+

dx x

π

dx x

π

dx x

x 16)

∫ −

2

05 2sincos

π

dx x

x

18) ∫

++

∫

2, Ph ơng pháp 2: Đổi biến loại I

Dạng 1: ∫ a2−x dx2

2 21

Ψdx = a.cost.dt , đổi cận rồi thay vào tích phân ban đầu để tính

1

1dx

x x

−∫ ± + ( hoặc mẫu là bậc 2 vô nghiệm)

3, Ph ơng pháp 3: Đổi biến loại II

Đặt t = U(x) ( U(x) thờng là các biểu thức trong căn, trong luỹ thừa)

Ψ dt = U’.dx

'

dt dx U

x dx x

+

∫ đặt t = 3 x+1

e,

2 5

21

x dx x

++

x

++

f,

2

3 1

x x

1cos x dx

Π

+

0cos sinx x sin x 1dx

x sinx x = ±Π

tan

1

x dx cosx cos x

Π

2 3

2 4

1 tan(1 t )

x dx anx

Π

Π

++

3 0

cosx si x

dx cosx si x

Π

−+

1

1 x dx e

π

∫ 7)

e 1

1 ln xdxx

+

0

1 dxcosx

π

∫

tg x dxcos2x

π

dx x x

π

dx x

(

π

dx x

π

x

x x

π

dx x

x

x 22) ∫2 +

0 sin cos )cos(

π

xdx x

−+

1

lnln3

Π

−

0

x cos xdx

Π

0(2x x).sinxdx

Π

−

0

∫

−

0.ln

x xdx

Π

∫ 3 3

2 0

1 n

x

l xdx x

x

l x dx e

−∫ + b, 3 2

31

x

x cosx

dx e

x dx cos x

Π Π+

(2 )

x −x dx

∫ b, 3 3 100

0(3 )

x x x

dx x

Π

Π

−

− − ++

1

sin1

x x dx x

−

++

Π

−+

2 ln ln

12

x

e

dt dt