Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.. a Chứng tỏ khối đa diện SHAD và SHBC bằng nhau.. c Tính thể tích khối tứ diện SBCD và tính khoảng cách từ điểm C đến
Trang 1a 3 Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi
H là trung điểm của cạnh AB
a) Chứng tỏ khối đa diện SHAD và SHBC bằng nhau
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
c) Tính thể tích khối tứ diện SBCD và tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) theo a
d) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD mặt phẳng (ABG) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần tính tỉ số thể tích của hai phần đó
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GIALAI
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT TOÁN (HÌNH HỌC) 12 BAN NÂNG CAO
NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐỀ 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh AB = a, AD =
a 3 Tam giác SCD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi
H là trung điểm của cạnh CD
a) Chứng tỏ khối đa diện SHCB và SHDA bằng nhau
b) Tính thể tích khối chóp SABCD theo a
c) Tính thể tích khối tứ diện SABD và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) theo a
d) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB mặt phẳng (CDG) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần tính tỉ số thể tích của hai phần đó
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ 1
Hình vẽ đúng và đủ 1đ a)2đ + Tam giác SAB đều nên SH AB mà (SAB) (ABCD) theo giao tuyến AB nên
SH (ABCD) ………
suy ra SH AB, SHCD ………
+ Gọi K là trung điểm của CD, có: CDHK và ABHK do đó AB và CD (SHK)
lần lượt tại trung điểm H và K
+ Vậy phép đối xứng qua mặt phẳng (SHK) biến các điểm S, H, A, D lần lượt thành
các điểm S, H, B, C do đó biến khối đa diện SHAD thành khối đa diện SHBC nên
hai khối đa diện đó bằng nhau
(hoặc chứng minh hai khối tứ diện đó có các cạnh tương ứng bằng nhau)
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
b)2đ + Có: SH (ABCD) (theo chứng minh trên)
nên SH là chiều cao của hình chóp S.ABCD………
+ ABCD là hình chữ nhật nên diện tích: S ABCD AB AD a2 3………
+ SH là đường cao tam giác đều cạnh a nên SH = 3
2
a
Vậy thể tích :…………
3 2
SABCD ABCD
………
0,5 0,5 0,5
0,5 c)3đ
+ Có diện tích 1
2
BCD ABD ABCD
S S S
………
Và SH cũng là chiều cao của tứ diện SBCD kẻ từ S đến mặt phẳng (BCD) ……
Vậy
3
1
SBCD SABCD
a
………
+ Có . . 1 ( , ( ))
3
S BCD C SBD SBD
V V S d C SBD nên 3 .
SBD
V
d C SBD
S
………
0,5 0,5
0,5
0,5
N M
K H
C
D
B
A
S
G
Trang 3+ Vậy .
2
3
5 15 4
C SBD SBD
a
a
S
……… 0,5 d)2đ Ta có:
/ / , ( ), ( ) ( ) ( ) ,
AB CD AB ABG CD SCD ABG SCD MN
với MN đi qua G và MN // CD NSD M, SC………
3
SN SM SG
SD SC SK
………
Do đó:
SABMN SABN SBMN SABN SBMN SABN SBMN
SABCD SABCD SABCD SABCD SABD SBCD
SA SB SN SB SM SN
SA SB SD SB SC SD
………
4
SABMN ABCDNM
V
5
ABCDNM SABMN
V
………
0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ
Trang 4ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Hình vẽ đúng và đủ 1đ a)2đ + Tam giác SCD đều nên SH CD mà (SCD) (ABCD) theo giao tuyến CD nên
SH (ABCD) ………
suy ra SH AB, SHCD ………
+ Gọi K là trung điểm của AB, có: CDHK và ABHK do đó AB và CD (SHK)
lần lượt tại trung điểm K và H………
+ Vậy phép đối xứng qua mặt phẳng (SHK) biến các điểm S, H, C, B lần lượt thành
các điểm S, H, D, A do đó biến khối đa diện SHCB thành khối đa diện SHDA nên
hai khối đa diện đó bằng nhau………
(hoặc chứng minh hai khối tứ diện đó có các cạnh tương ứng bằng nhau)
0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
b)2đ + Có: SH (ABCD) (theo chứng minh trên)
nên SH là chiều cao của hình chóp S.ABCD………
+ ABCD là hình chữ nhật nên diện tích: S ABCD AB AD a2 3………
+ SH là đường cao tam giác đều cạnh a nên SH = 3
2
a
Vậy thể tích :………
3 2
SABCD ABCD
………
0,5 0,5 0,5
0,5 c)3đ
+ Có diện tích 1
2
ABD CBD ABCD
S S S
………
Và SH cũng là chiều cao của tứ diện SABD kẻ từ S đến mặt phẳng (ABD) ………
Vậy
3
1
SABD SABCD
a
………
+ Có . . 1 ( , ( ))
3
S ABD A SBD SBD
V V S d A SBD nên 3 .
( , ( ) V A SBD
d A SBD
S
0,5 0,5
0,5
N
M
K H
A
B
D
C
S
G
Trang 5+ Vậy
3
.
2
3
5 15 4
A SBD SBD
a
a
S
………
0,5
0,5
d)2đ Ta có:
/ / , ( ), ( ) ( ) ( ) ,
AB CD AB SAB CD CDG SAB CDG MN
với MN đi qua G và MN // AB NSB M, SA………
3
SN SM SG
SB SA SK
………
Do đó:
SCDMN SCDN SDMN SCDN SDMN SCDN SDMN
SABCD SABCD SABCD SABCD SABD SBCD
SC SD SN SD SM SN
SC SD SB SD SA SB
………
4
SCDMN ABCDMN
V
5
ABCDMN SCDMN
V
………
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ