Nguyên tắc cộng : Nguyên tắc cộng : Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp... Tìm số hạng hữu tỷ.. Cần bi
Trang 1IIII GIẢI TÍCH TỔ HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1
1 Giai thừa : Giai thừa : Giai thừa : n! = 1.2 n
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n
2
2 Nguyên tắc cộng : Nguyên tắc cộng : Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n
3
3 Nguyên tắc nhân : Nguyên tắc nhân : Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2 Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n
4
4 Hoán Hoán Hoán vị : vị : vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau Số cách xếp : Pn = n !
5
5 Tổ hợp : Tổ hợp : Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật Số cách chọn :
)!
k n ( k
! n
Ck n
−
= 6
6 Chỉnh hợp : Chỉnh hợp : Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách :
−
n!
(n k)!
Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị
7
7 Tam giác Pascal :Tam giác Pascal :Tam giác Pascal :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
4
3 4
2 4
1 4
0 4
3 3
2 3
1 3
0 3
2 2
1 2
0 2
1 1
0 1
0 0
C C C C C
C C C C
C C C
C C C
Tính chất :
1 n
k n 1 k n
k n n
k n
n n
0 n
C C C
C C , 1 C C
+
−
−
= +
=
=
= 8
8 Nhị thức Newton :Nhị thức Newton :Nhị thức Newton :
n 1
1 n 1 n 0 n 0 n
n C a b C a b C a b )
b
a
C +C + C+ =2 Với a, b ∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :
n
1 n
0
n,C , ,C
C
n 1
n 1 n n 0 n
n C a C a x C x )
x
a
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa n
n
1 n
0
n,C , ,C
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, a = ±1, ±2,
- Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2,
- Cho a = ±1, ±2, , ±∫ ±∫2
0
1 0
α
∫ Chú ý :
* (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : k n k k m
n
C a − b =Kx
Giải pt : m = 0, ta được k
Trang 2* (a + b)n : a, b chứa căn Tìm số hạng hữu tỷ
m r
n
C a − b =Kc d
Giải hệ pt :
∈
∈ Z q / r
Z p / m
, tìm được k
* Giải pt , bpt chứa A ,Ck
n
k
n : đặt điều kiện k, n ∈ N* , k ≤ n Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp)
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p
Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác
* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải)
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75