TOÁN TÍCH PHÂN CƠ BẢN1.
Trang 1TOÁN TÍCH PHÂN CƠ BẢN
1
2
dx A
=
∫
đs:
1 ( 27 8 1)
1
/2
/4
1 cos 2
π
π
đs: 2 2 1−
1
1 2
0
2 3 2
x
=
−
∫
đs :
1 3ln 2 2
− +
1
/2
2 /6
cos cos 4
π
π
= ∫
đs :
3 8
−
1
/2
/6
cos 2 (sin cos )
π
π
đs:
7 3 32
−
1
2
0
1 sin
π
đs: 4 2 1
/2 3
0
4sin
1 cos
xdx G
x
π
=
+
∫
đs: 2 1
2
2
0
| 2 3 |
đs: 4 1
5
3
(| 2 | | 2 |)
−
đs: 8 1
1
2 1
(| 2 1| | |)
−
đs: 5/2
1 Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx , g(x) = cosx + 2sinx
a) Tìm các số A , B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f ’(x)
b) Tính
/4 0
( ) ( )
g x dx
f x
π
∫
đs:A =2/5,B = –1/5 ,
ln
10 5π − 4 2
1 Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) = Asinπx + B thỏa mãn đồng thời các điều kiện f ’(1) = 2 và
2 0 ( ) 4
∫
đs: A = –2/π , B = 2 1
1/2
2 /2
1
−
∫
đs: π + −4 2 2
1 1 1 ln2
N
=
−
∫
đs : 6
π
Trang 22 /2 2
2
0 1
x
x
=
−
∫
đs:
1
8 4
π −
1
1 3
8
0 1
x
x
=
+
∫
đs: 16
π
1
3 4
2
0
1 9
x
x
−
=
+
∫
đs:
20 18
3π −
1
4/ 3 2
3 2
4
x
x
−
= ∫
đs:
3
24 16π −
1
2/ 3
2
dx R
x x
=
−
∫
đs: 12
π
−
1
1
2
0 1
dx
S
x
=
+
∫
đs: ln( 2 1)− −
1
1
2 0
1
đs:
2 1 ln( 2 1)
1
1 2
2
0 4
x
x
=
−
∫
đs:
3
π −
1
1
4 2
dx V
=
∫
đs :
3
8 36
π π−
1
2 /2
0
1 1
x
x
+
=
−
∫
đs :
2 1
π + −
1
2
0
( 2)
4
x
x
−
∫
đs: π−4
1
0
2
dx A
−
=
∫
đs :
3 18
π
1 1 ( 2)3
0
1
đs:
3 16
π
1
1
0
1
3
x
x
+
=
−
∫
đs:π + −3 3 2
1
/2
0
sin
2 sin
x
x
π
=
+
∫
đs:
2 3
π − π
Trang 36 10
2 2
4 1
1 1
x
x
+
+
=
+
∫
đs:
2 6
π
1
1 4
6
0
1 1
x
x
+
=
+
∫
đs: 3
π
1
2
1
2
đs:
32 2 3
15+ 5
1
3 2
0
1 1
x
x
+
=
+
∫
đs:
106 15 1
3
3
4
3 4
4
x
x
−
−
=
−
∫
đs:
99 5
−
1
7 3
3 2
0 1
x
x
=
+
∫
đs: 141/20 1
1
01
dx
E
x
=
+
∫
đs: 2(1 – ln2) 1
4
1
dx
F
=
+
∫
đs:
9 ln
4 1
1
3
0 ( 1)
x
x
=
+
∫
đs:
1 8
1
7/3
3
0
1
3 1
x
x
+
=
+
∫
đs: 46/15 1
3
1
3
x
−
−
=
+ + +
∫
đs: 6ln 3 – 8 1
/2
3 0
cos 2 (sin cos 3)
x
π
=
∫
đs:
1 32
1
/2
/3sin
dx
I
x
π
π
= ∫
đs :
1
ln 3 2
1
/3
3 0
tan
π
= ∫
đs:
3
ln 2
2−
1
/4
4 0
tan
π
= ∫
đs:
2
4 3
π −
Trang 4/4
6 0
tan
π
= ∫
đs:
13
15 4
π
−
1
/2
0
sin 2 sin
1 3cos
x
=
+
∫
đs:
34 27
1
1
0
1
đs:
2 ( 2 1)
1
ln 2
0
1
1
x x
e
e
−
=
+
∫
đs: ln 1
2
11 1
x
x
=
∫
đs:
11 4ln 2
3 −
3 2ln
1 2ln
−
=
+
∫
đs:
10 2 11 3
−
1
2
3 1
dx
T
x x
=
+
∫
đs:
1 8 ln
2 5
2
3
dx
U
x x
=
+
∫
đs:
1 16 ln
3 9
1
ln 2
2
0 ( 1)
x x
e
e
=
+
∫
đs :
1 6
1
/4
4
0 cos
dx
X
x
π
= ∫
đs :
4 3
1 3ln ln
e
x
+
=∫
đs:
116 135
1
3
dx A
=
∫
đs: 3
1 2
3 ln
1
5
dx B
=
∫
đs:
3
ln 3
9
π
−
1
/2
0
(cos sin )
π
đs:
4 3 1
2
1 7 12
x
=
∫
đs 25ln 2 16 ln 3 1− +
1
64
3 1
dx
D
=
+
∫
đs:
2
11 6ln
3
+
Trang 51
ln 1 ln
x
+
=∫
đs:
3 3 ( 16 1)
1
ln 2 2
x x
e
e
=
+
∫
đs
8
2 3 3
−
1
/2 3
/6
cos
sin
x
x
π
π
= ∫
đs:
8 19
5 10 2−
1
/2
0
cos sin cos
2 sin
x
=
+
∫
đs:
2
1 ln 3
+
1
/4
0
sin 4 sin cos
x
π
=
+
∫
đs: ln 4 1
/2
0
sin 3
1 cos
x
x
π
=
+
∫
đs: 3ln2 – 2 1
( )
1
ln
3 ln
=
+
∫
đs: ln 1
3 0
sin sin sin
π
đs: 4/5 1
/2
0
cos
13 10sin cos 2
x dx N
π
=
∫
đs:
1 4 ln
2 3
1
0
/4cos cos
4
dx O
−
=
∫
đs: 2 ln 2 1
/2
0
sin sin 3 cos
x
π
=
+
∫
đs:
3 ln 3 8
π +
1
2ln 2
ln 2 x 1
dx P
e
=
−
∫
đs: 6
π
1
/2
0 2 cos
dx Q
x
π
=
−
∫
đs:
2 3 9
π
1
2
2 1
1
x dx
R
=
∫
đs:
7 3
3−
1
/6 4
0
tan
cos 2
x
x
π
= ∫
(A–2008) đs:
ln(2 3)
Trang 63
2
dx T
=
∫
đs : ln( 5 2)+
1
2 1/2 2
x
x x
=
−
∫
đs:
7 3 2
1
1 2
3
0
1
x
x
+
=
+
∫
đs :
4 3
3ln 2 9
1 Cho hai tích phân:
/2
0 cos cos 2
π
= ∫
;
/2
0 sin cos 2
π
= ∫
c) Tính I + J và I – J
d) Tính I , J đs: π/4 ; 0 ; π /8
1 Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên [0;π] Chứng minh rằng:
/2
2
Áp dụng : 0 2
.sin
1 cos
x
π
= +
∫
đs: π2/4
81 Cho hàm số f(x) liên tục trên R và với mọi x thuộc R ta đều có : f(x) + f(–x) =
2 2 cos 2x− Tính
3 /2
3 /2 ( )
f x dx
π π
−∫
đs: 6
1
2
1 x 1 4
dx X
−
=
∫
đs: – ln 3 81
/2 6
0
sin sin cos
x
π
=
+
∫
đs: 4
π
81
1
2 0
đs:
ln 3
π
−
81
2
2
1
1
ln 1
x
∫
đs:
3ln 3 ln 2
81
2 0
.sin cos
π
=∫
đs: 3
π
cos(ln )
e
π
= ∫
đs:
1 ( 1)
2 e
π
81
3
2 2
ln( )
đs: 3ln3 – 2
Trang 72
/2
sin 3
0
sin cos
x
π
= ∫
đs: 1/2 81
/4
2 0
tan
π
= ∫
đs:
2 1
ln 2
4 32 2
π π− −
81
/2
2 0
cos
x
π
= ∫
đs:
2 1
5 e
π
−
81
2
2
ln ln
e
e
∫
đs:
(2 ) 2
81
2
0
1 sin
1 cos
x x
x
π
+
=
+
∫
đs: e2
π
1 2
2
x
x e
x
=
+
∫
đs:
3 3
e
−
81
2
2
0
cos
π
÷
= ∫
đs: π – 2 81
2
0
sin
π
= ∫
đs 2 π 2 − 8
81
2 1
.ln
e
đs:
2 1 ( 1)
4 e −
81
1
2
0
( 2 ) x
đs: e 81
1
2 0
đs: ln(1+ 2)− 2 1+
81
1 2
1
ln( 1)
1
x
x
e
−
+
=
+
∫
đs: ln 2 2 2
π
− +