Viết phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ANF 2.
Trang 1Sở GD&đt HƯNG YÊN ĐỀ THI SáT HạCH KhốI 12 NĂM 2011
Thời gian làm bài : 180 phỳt(khụng kể thời gian giao đề)
I/PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)
Cõu I(2,0 điểm): Cho hàm số y = x 4 – 8m 2 x 2 + 1 (1), với m là tham số thực.
1.Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2 2.Tỡm cỏc giỏ trị của m để hàm số (1) cú 3 cực trị A ,B, C và diện tớch tam giỏc ABC bằng 64.
Cõu II(2,0 điểm) 1.Giải phương trình sau: 2 2017
2.Giải hệ phương trỡnh :
x
x y y
y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
. (với xẻ R )
Cõu III(1,0 điểm) Tớnh tớch phõn 2 ( 2 )
0
cos s in
p
Cõu IV(1,0 điểm): Cho hỡnh chúp S.ABCD , đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a,mặt bờn SAD là tam giỏc đều và SB = a 2 . Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AD và AB .Gọi H là giao điểm của FC và EB.Chứng
minh rằng: SE^ EB và CH ^ SB .Tớnh thể tớch khối chúp C.SEB
Cõu V(1,0 điểm). Cho a,b,c là ba số thực dương tuỳ ý thoả món a+b+c = 2 .Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu
thức :
P
II/PHẦN RIấNG (3,0 điểm)Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A/Theo chương trỡnh Chuẩn:
Cõu VIa (2,0điểm) 1. Cho tam giỏc ABC cú đỉnh A (0;1), đường trung tuyến qua B và đường phõn giỏc trong của gúc C lần lượt cú phương trỡnh : ( d 1 ): x – 2y + 4 = 0 và ( d 2 ): x + 2y + 2 = 0
Viết phương trỡnh đường thẳng BC .
2.Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) 2 2 2
S x +y +z - x+ y+ z - = và hai đường thẳng
( ) 1 ( )
2
=
ỡ
ù
ù =
ợ
, ( ) 2
1 :
- Viết phương trỡnh tiếp diện của mặt cầu ( ) S , biết tiếp diện đú song song với cả hai đường thẳng ( ) D 1 và ( ) D 2
n
n
x
a
x
a
x
a
a
x
+ + + +
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
3
2
2
1
n
a
a
a
a 0 , 1 , 2 , , biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn C n 2 C n n - 2 + 2 C n n - 2 C n n - 1 + C n 1 C n n - 1 = 11025 .
B/Theo chương trỡnh Nõng cao:
Cõu VI b(2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A(2; 3) và elip (E):
2 2
1
3 2
+ = Gọi F1
và F2 là cỏc tiờu điểm của (E) (F1 cú hoành độ õm); M là giao điểm cú tung độ dương của đường thẳng AF1
với (E); N là điểm đối xứng của F 2 qua M. Viết phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ANF 2 .
2.Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cỏc điểm B( 0; 3; 0 ,) M ( 4; 0; 3 - ) . Viết phương trỡnh mặt phẳng
( ) P chứa B M , và cắt cỏc trục Ox Oz , lần lượt tại cỏc điểm A và C sao cho thể tớch khối tứ diện OABC bằng
3 (O là gốc toạ độ )
Câu VII.b: (1điểm) Giải hệ phương trình:
3
x
x R
ù
ẻ
ớ
ợ
Trang 2ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1
MÔN TOÁN KHỐI A
1điểm Khi m=
1
2 hàm số đã cho có pt: y= x 4 – 2x 2 + 1 1.TXĐ : D= R
2.SBT CBT: y’= 4x 3 4x = 4x( x 2 1)
y’=0 <=> x= 0 hoặc x = 1 hoặc x = 1 Hàm số đồng biến " Î - x ( 1;0) vµ(1; +¥ ) Hàm số nghịch biến " Î -¥ - x ( ; 1) vµ(0;1) Cực trị : HS đạt cực đại tại x= 0 và yCĐ=y(0)=1
HS đạt cực tiểu tại x= ±1 và yCT=y(±1)=0
.Giới hạn: lim
x y
®+¥ = +¥ ; lim
x y
®-¥ = +¥
.BBT:
,
-
3. vẽ đồ thị:
y
1
0,25
0,25
0,25
0,25
Đk để hàm số có 3 cực trị là ,
0
Tức là phương trình 2 2
g x =x - m = có hai nghiệm phân biệt
0
x ¹ Ûm ¹ 0
-
4
é
ê
ê = - Þ = -
ë Giả sử 3 điểm cực trị là:A(0;1);B 4
(2 ;1 16m - m ) ;C 4
( 2 ;1 16 - m - m )
-
(2 )m + (16m ) nên tam giác ABC cân tại A
0,25
0,25
Trang 3Gọi I là trung điểm của BC thì I(0;1 16 - m )
16
AI= m ; BC = 4 m
-
4
ABC
Đs: m = ± 5 2
0,25
0,25
III 1điểm
Đặt cos 2 ( 1 2 sin cos )
= -
ì
Þ
2
0
0
p p
-
( ) ( )
3
x
0,5
0,5
IV 1
(1điểm)
S
B
H
E
*CM: SE^ EB
2
a
SE
Xét tam giác vuông AEB có:
EB =EA +AB =æç ö ÷ +a =
è ø - Xét tam giác SEB có:
2
2
2
suy ra tam giác SEB vuông tại E hay SE^ EB
-
Ta có: AEB = BFC(cc) suy ra ¼ ¼ AEB= BFC
90
Hay CH ^ EB
mÆt kh¸c CH ^ SE (do SE^ (ABCD ) ) Suy ra CH ^ (SEB ) => CH ^ SB
0,25
0,25
0,25
0,25
IV 2
(1điểm) Vậy . 1 .
3
0,25
Trang 4* Xét FBC có: 1 2 12 12 1 2 12 42 12 5 2
2
ç ÷
è ø
suy
ra
2
2
5
a
BH =
- Xét BHC có:
- Nên
3
C SEB
0,25
0,25
0,25
V (1
điểm)
Tõ gt ta cã a, b, c Î (0;2) vµ 2c+ab=4-2(a+b)+ab=(2-a)(2-b):
(2 ) (2 )
2
ab
ab
-
¸p dông B§T C« Sy
2
ab
-
Tương tự
1
2
2
1
2
2
+
+
Tõ (1),(2),(3) ta cã
- Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c= 2
3 . Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi a=b=c= 2
3
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.
a
2
(1
điểm)
( ) S có tâm I( 1; 1; 2 , - - ) R = 3
( ) ( ) D 1 , D 2 lần lượt có các véctơ chỉ phương u=( 2; 1;1 , - ) v =( 1; 1;1 - )
( )
mp P có véctơ pháp tuyến éëu v r r , ù =û ( 0; 1; 1 - - )
( )P :y z m 0
-
( )
m
m
m
-
= -
ê Vậy ( ) :P1 y+ + +z 3 3 2 = 0;( ) P2 :y+ + -z 3 3 2= 0
0,25
0,25
0,5
VII
a
Ta cã C 2 n C n n - 2 + 2 C n n - 2 C n n - 1 + C 1 n C n n - 1 = 11025 Û ( C 2 n + C 1 n ) 2 = 105 2
ê
ë
é
-
=
=
Û
=
- +
Û
= +
-
Û
= +
)
i
¹
lo (
15
n
14
n
0
210
n
n
105
n
2
)
1
n (
n
105
C
n
2
n
1
0,25
Trang 5Ta có khai triển ồ ồ
=
-
-
=
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ +
14
0
k
k
k
14
k
k
14
14
0
k
k
3
x
2
1
C
3
x
2
1
Do đó k k 14 k
14
k C 2 3
a = - -
Ta xét tỉ số
)
1
k (
3
)
k
14 (
2
3
2
C
3
2
C
a
a
k
14
k
k
14
1
k
13
k
1
k
14
k
1
k
+
-
=
=
-
-
-
-
- +
5
k
1 )
1
k (
3
)
k
14 (
2
1
a
a
k
1
+
-
Û
>
a
a ,
5
k
1
a
a
k
1
k
k
1
k + < Û > + = Û =
Do đó a 0 < a 1 < < a 4 < a 5 = a 6 > a 7 > > a 14
Do đó a 5 và a 6 là hai hệ số lớn nhất Vậy hệ số lớn nhất là
62208
1001
3
2
C
a
14
6
5 = = - - =
0,25
0,25
0,25
VI.
b
1
(1điểm) ( )
2 2
3 2
E + = ịc =a -b = - =
Do đú F1(ư1; 0); F2(1; 0); (AF1) cú phương trỡnh x-y 3 1 + = 0
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ị M 1; 2
3
ố ứ ị N 1; 4
3
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
ị NA 1; 1
3
=ỗ - ữ
uuur
; F A uuur 2 = ( 1; 3 )
ị NA.F A uuur uuur 2 = 0
ị DANF2 vuụng tại A nờn đường trũn ngoại tiếp tam giỏc này
cú đường kớnh là F2N -
Do đú đường trũn cú phương trỡnh là :
2
( 1)
3
3
x- +ổỗy - ử ữ =
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.
b
2
(1điểm)
ã Gọi a c , lần lượt là hoành độ, cao độ của cỏc điểm A C ,
Vỡ B( 0; 3; 0 ) ẻ Oy nờn ( ): 1
3
P
a+ +c = -
ã M( 4; 0; 3) ( ) P 4 3 1 4c 3 a ac
ac
-
Từ (1) và (2) ta cú hệ
4
3
2
a
= -
ỡ
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư
Vậy ( ) 1 ( ) 2
2
-
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.
a
1
(1điểm)
Gọi C x y ( ;c c )
Vỡ C thuộc đường thẳng (d2) nờn: C( 2 - y c- 2;y c )
Gọi M là trung điểm của AC nờn 1; 1
2
c
c
y
Mổỗ-y - + ử ữ
Trang 6Vì M thuộc đường thẳng (d1) nên : 1 2. 1 4 0 1
2
c
y
( 4;1)
C
-
Từ A kẻ AJ ^ d 2 tại I ( J thuộc đường thẳng BC) nên véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d2) là u (2; 1)
®
- là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (AJ)
Vậy phương trình đường thẳng (AJ) qua A(0;1)là:2xy+1=0
Vì I=(AJ)Ç(d2) nên toạ độ diểm I là nghiệm của hệ
4
( ; )
5
x
I
y
ì
= -
ï
- + =
ï -
Vì tam giác ACJ cân tại C nên I là trung điểm của AJ
Gọi J(x;y) ta có:
0
8 11
1
J
ï + = - ï = -
Vậy phương trình đường thẳng (BC) qua C(4;1) ; ( 8; 11 )
5 5
J - - l :
4x+3y+13=0
0,25
0,25
0,25
Câu VIIb : (1,0 điểm) Gi¶i hÖ PT:
3
x
x y x y
ï
Î
í
î
< + ¹
ì
í
< + ¹
î
Víi ®k trªn PT (1)
2
3
3
log (3 ) 2 log ( ) 3 (3)
2
t
t
t
=
é
ë
0,25
0,25
Víi t=1 ta cã logx y + (3x+y) = Û 1 3x+y=x+yÛ x = 0 thay vµo (2) ta ®îc :
4 y +2.4 0 =20 Û 4y = 18 Û y = log 18 4 (TM)
logx y + (3x+y) = 2 Û 3x+y= (x+ y ) (4)
PT(2)
1
+ +
+ Thay (4) vµo (5) ta ®îc
2
( )
x y
+
§Æt t= 2 (x y + ) , PT(6) trở thµnh t 2 +t20=0 5( )
4( )
= -
é
ê =
ë Víi t=1 ta cã 2x y + = 4 Ûx+y= 2 Þ 3x+y = 4
TM
Û
Kết luận hÖ PT cã 2 cÆp nghiÖm (0; log 18); (1;1)
0,25
Trang 70,25
0,25
0,25
0,25
2
p
+Với đk trên pt đã cho tương đương:
p
1 sin 2x cos 2x 1 tan x
sin 2x cos 2x tanx 0
2 sin cos 2 cos (1 ) 0
cos
x
x
sin cos
cos
x
+
1 (sin cos ).(2 cos ) 0
cos
x
4
4
2
x
k
x x
p p
p
p p
ộ = - +
ờ
ở
ở
(tmđk)
Vậy pt đã cho có 1 họ nghiệm:
4 2
k
4 2
k
+ chứa -p 4 + kp)
Trang 86 2 3 3 (1)
x
x y y
y
ì
ï
í
ï
î
. (với xÎ R )
§K:
3x+ 3 0 (*)
0
y
- ³
ì
ï
- ³
í
ï ¹
î
(1) 2(3x y) 3y 3x y 2(3x 2 y ) 3 3 x y (3)
-
0.25
§Æt t= 3x y
y
- Phương trình (3) có dạng 2t 2 t3=0
1
3
2
t
t
= -
é
ê
Û
ê =
ë
0.25
Với t=1 ta có: 3x y
y
-
y
<
ì
= +
î Thế (3) v o (2) ta được
(L)
2
y
= - Þ =
é
ê
ê =
ë
0.25
0
3
4
y
>
ì
ï
Thế (4) vào (2) ta được 9 2 5 9 2
4y + 2y = 2 y + y -
Đặt u= 9 2 5
, u 0
4y + 2 y ³
Ta có PT :2u 2 2u4=0 1 (L)
2 (t/m)
u
u
= -
é
Û ê =
ë Với u=2 ta có
(t/m)
2 (L)
y
é
ê
ê
= -
ë
KL HPT đã cho có 2 cặp nghiệm (4;4) , ( ; ) 8 8
9 9
3
y
t
é
=
ê
ê
= -
ë
0.25