Tỡm ủiểm M thuộc C sao cho tổng khoảng cỏch từ ủiểm M ủến hai trục tọa ủộ là nhỏ nhất.. Tớnh gúc tạo bởi mặt bờn với mặt ủỏy và thể tớch khối cầu ngoại tiếp hỡnh chúp ủú.. Tỡm tọa ủộ ủỉn
Trang 1Sở GD & ĐT Phú Thọ Đề thi thử đại học, cao đẳng năm 2011 Trường THPT Yển Khê Môn: TOÁN; Khối : A, B
Thời gian làm bài: 180 phỳt khụng kể thời gian phỏt ủề
Cõu I (2.0 ủiểm)
Cho hàm số 1 4 1 2
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị hàm số
2 Tỡm ủiểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cỏch từ ủiểm M ủến hai trục tọa ủộ là nhỏ nhất
Cõu II ( 2.0 ủiểm)
1 Giải phương trỡnh: cos8x + 3cos4x + 3cos2x = 8cosx.cos33x –
2 1
2 Giải hệ phương trỡnh :
=
ư
ư
ư
= +
ư +
3 8 9 2 3
1 4 3
2 2
2 2
y x y x
y x y x
Cõu III (1.0 ủiểm)
Tớnh tớch phõn
1
1
dx
Cõu IV (1.0 ủiểm)
Cho hỡnh chúp tứ giỏc ủều cú ủộ dài cạnh ủỏy bằng a, cạnh bờn bằng
2
5
a
Tớnh gúc tạo bởi
mặt bờn với mặt ủỏy và thể tớch khối cầu ngoại tiếp hỡnh chúp ủú
Cõu V ( 1.0 ủiểm)
Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
x x
x x
2 4
cos 2 sin 3
sin 4 cos 3
+
+
Cõu VI (2.0 ủiểm)
1 Trong mặt phẳng tọa ủộ (Oxy) cho hỡnh bỡnh hành ABCD với A(1, 1); B(4, 5) Tõm I của hỡnh bỡnh hành thuộc ủường thẳng d: x + y + 3 = 0 Tỡm tọa ủộ ủỉnh C, D biết rằng diện tớch hỡnh bỡnh hành ABCD bằng 9
2 Trong hệ trục tọa ủộ (Oxyz) cho A(1, 1, 1), B(2, 0, 6), C (3, 2, 0) và D(7, 4, 2) Lập phương trỡnh mặt phẳng (P) ủi qua A, B và cỏch ủều C, D
Cõu VII (1.0 ủiểm)
Cho cỏc số thực x, y, z thỏa món: 3ưx +3ưy +3ưz =1 Chứng minh rằng:
4
3 3 3 3 3
9 3
3
9 3
3
x y z z
z x y y
z y x
+
+ +
+
-Hết -
Thớ sinh khụng ủược sử dụng tài liệu Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
Họ và tờn thớ sinh ; Số bỏo danh
Đề chính thức
CHƯƠNG TRèNH CHUẨN
nguoilaid02011@gmail.com.vn sent to www.laisac.page.tl
Trang 2SỞ GD & ðT PHÚ THỌ ðÁP ÁN-THANG ðIỂM
TRƯỜNG THPT YỂN KHấ Đề thi thử đại học, cao đẳng năm 2011
ðỀ CHÍNH THỨC
CHƯƠNG TRèNH CHUẨN Mụn : TOÁN; Khối : A, B
1.(1 ủiểm) Khảo sỏt…
+) Tập xỏc ủịnh: D= R +) Sự biến thiờn:
- Chiều biến thiờn: y′=x3−x; y′=0⇔ x=±1 hoặc x=0
0,25
Hàm số ủồng biến trờn cỏc khoảng (-1;0) và (1;+∞); nghịch biến trờn khoảng (−∞;−1) và (0;1)
- Cực trị: Hàm số ủạt cực tiểu tại
4
3 ,
±
= y CT
1 ,
= y Cð x
- Giới hạn: = =+∞
+∞
→
−∞
xlim lim
0,25
- Bảng biến thiờn:
x ∞− -1 0 1 +∞
y′ - 0 + 0 - 0 +
y +∞ 0 +∞
4
3
4 3
0,25
+) ðồ thị:
f(x)=(1/4)x^4-(1/2)x^2+1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x
y
0,25
2 (1,0 ủiểm): Tỡm ủiểm M…
ðồ thị ( C) cắt Oy tại A(0;1), nờn tổng cỏc khoảng cỏch từ A ủến hai trục tọa ủộ bằng 1 ðồ thị hàm số cú hai ủiểm cực tiểu (
4
3
; 1
− ), (
4
3
;
1 ) và nhận trục Oy làm trục ủối xứng, nờn ta chỉ cần xột M (x0;y0) ( )∈ C và 0≤ x0 ≤1
0,5
Tổng cỏc khoảng cỏch từ M ủến hai trục tọa ủộ là:
2
1 4
1 1 2
1 4
1
0 0 4 0 2
0 4 0 0 0 0 0
I(2ủiểm)
Với mọi x0: 0≤ x0 ≤1, ủẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x0 = 0 ⇒ y0 = 1
Vậy ủiểm M (0;1)
II(2ủiểm) 1 (1 ủiểm): Giải phương trỡnh…
Trang 3Phương trình ñã cho tương ñương với phương trình:
2
1 3 cos 3 9 cos cos 2 2 cos 3 4 cos 3 8
2
1 3 cos cos 6 9 cos cos 2 2 cos 3 4 cos 3 8
0,5
Z k
k x
k x
x
x x x
x x
x x
∈ +
±
=
⇔ +
±
=
⇔
=
⇔
− +
+
= +
⇔
, 5 30
2 3
10 2
1 10 cos
2
1 cos 3 cos 6 8 cos 10 cos cos
3 cos 6 8 cos
π π π
2.( 1 ñiểm): Giải hệ pt…
= +
− +
= +
⇔
=
−
−
−
= +
− +
⇔
=
−
−
−
= +
− +
1 4 3
0 20 5
3 8 9 2 3
3 12 9 3 3 3 8 9 2 3
1 4 3
2 2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
y x y x
y y
y x y x
y x y x y
x y x
y x y x
0,5
−
=
±
=
=
±
=
⇔
= +
− +
−
=
=
⇔
4 2
13 3 0 2
13 3
1 4 3 4 0
2 2
y x y x
y x y x y y
−
±
±
4
; 2
13 3
; 0
; 2
13 3
0,5
( 1 ñiểm): tính tích phân
Ta có =∫− ( + )( + )=∫− ( + )( + ) (+∫ + )( + )
1
0
1
e x
dx e
x
dx e
x
dx I
Xét =∫− ( + )( + )
0
e x
dx
Khi x=0⇒t=0,x=−1⇒t=1 Khi ñó =∫ ( + )( + )
1
t
e t
dt e J
0,5
III(1ñiểm)
=
01 x2
dx
cos
1
u dx
u
Với
4 1
; 0
=
⇒
=
=
⇒
4 0 4
4 0
π
π
π
=
=
=∫ du u I
0,5
(1 ñiểm)…
IV(1ñiểm)
Gọi H là tâm của ñáy ABCD, ta có SH ⊥ (ABCD); M là trung ñiểm của BC thì
BC⊥ (SMH), do các mặt bên tạo với ñáy cùng một góc, nên góc SMH bằng góc tạo bởi mặt bên với ñáy
Ta có: SH =
2
3
2
AH
2
a
SM
0,5
Hình chóp S.ABCD ñều, nên tâm I của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của ñường thẳng SH với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên nào ñó của hình chóp
0,5
Trang 4Gọi N là trung ñiểm của SC, thì IN là trung trực của SC Suy ra SNI∆ ñồng
dạng với SHC∆
3 4
5a SI
⇒
Vậy V=
432
3 125 3
πR = a
N
M H
C
D
S
I
(1 ñiểm):tính GTLN…
4 cos 4 cos 3 cos 2 cos
1 3
cos 1 4 cos 3
2 4
2 4
2 2
2
2 4
+
−
+
−
= +
−
− +
=
x x
x x
x x
x x
ðặt
3
5 3
5 3
2 cos 3 3 cos 4 cos 3
2 2
2
= +
−
ñiều kiện của t là 3
3
5≤ t≤ Khi ñó
t
t
y +1
3
5 ≤ t≤
Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số (1) trên ñoạn [ ;3
3
5 ]
0,25
V(1 ñiểm)
Trên ñoạn [ ;3
3
5 ], ta có ′= −21<0
t y
; 3 3 5
Maxy
5
8
3
3
4
3 3
; 3
1 (1 ñiểm): …
VI(1ñiểm)
Ta có AB=( )3;4 , ðường thẳng có dạng : 4x − y3 −1=0
Vì I ∈ d, nên tọa ñộ I(x0;−x0−3)⇒ tọa ñộ của C(2x0−1;−2x0 −7)
Diện tích của hình bình hành ABCD là : S=2S∆ACB = AB.d(C,AB)
AB = 5,
5
16 14
AB C d
5
16 14
=
−
=
−
=
⇔
= +
⇔
14 25 2
1 9
16 14
0
0 0
x
x x
0,5
Trang 5Với ( 2; 6)
2
1
2
5
; 2
− −
D I
7
24
; 7
32 14
25
⇒
−
⇒
7
52
; 7
53 14
17
; 14
25
D I
0,5
2(1 ñiểm)…
Gọi mặt phẳng (P) có phương trình : ax+by+cz+d =0 Vì mặt phẳng (P) ñi qua A (1;1;1) và B(2;0;6) nên ta có :
= + +
= + + +
0 6
2
0
d c a
d c b a
(I) Mặt khác (P) cách ñều C và D nên ta có d(C,(P)) = d(D,(P))
= + + +
= + +
⇔ + + +
= + +
0 3
5
0 2
2 4 7 2
3
d c b a
c b a d
c b a d b
0,5
Chọn c = 1 và từ (I) và (II) ta có:
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
⇔
−
= + +
−
= +
−
= + +
−
= +
−
= +
−
= + +
3 8 3 10 3 5 2 3 2
1 3
5
6 2
1
1 2
6 2
1
d b a d b a
d b a
d a
d b a
b a
d a
d b a
Vậy mặt phẳng (P) cần tìm là: −2x+3y+z−2=0 và −5x+10y+3z−8=0
0,5
(1 ñiểm)…
VII(1ñiểm)
c b
a=3 ; =3 ; =3 Theo giả thiết ta có a, b, c > 0 và ab+bc+ca=abc (1)
Bất ñẳng thức cần chứng minh:
4
4
2 3 2
3 2
3
2 2
2
c b a abc c
c abc b
b abc a a
c b a ab c
c ca b
b bc a a
+ +
≥ +
+ +
+ +
⇔
+ +
≥ +
+ +
+ +
Thay abc vào bất ñăng thức ta có:
3 3
3
c b a b c a c
c a
b c b
b c
a b a
≥ + +
+ + +
+ + +
0,5
Trang 6( )( )
3 64 3 8 8
4
3 64 3 8 8
4
3 64 3 8 8
3 3 3
3 3 3
3 3 3
c c b
c a c b c a c c
b b
a b c b a b c b b
a a c
a b a c a b a a
=
≥
+ +
+ + + +
=
≥
+ +
+ + + +
=
≥
+ +
+ + + +
Cộng ba bất ñẳng thức cùng chiều trên ta có ðPCM