TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.. Viết phương trình tổng quát cạnh AD.. Theo chươ
Trang 1TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2. NĂM 2011
Môn: Toán. Khối A Thời gian làm bài 180 phút PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= f x ( )=8x4-9x2 + 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm các giá trị m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; ]p
8 osc x-9 osc x+m = 0
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình ( 1 cos cos ) os2 1 sin 4
2
2. Giải phương trình 3 2
5 x + -1 2x =4 , (x Î R )
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
/ 2
0
1 sin 3
1 cos
x
x
p
+
= +
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB= a 2 . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn IAuur= - 2 uuur IH
. Góc giữa
SC và mặt đáy (ABC) bằng 60 0 . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực thuộc khoảng (0; 1) thoả mãn xyz = (1 – x)(1 y)(1 z)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =x 2
+y 2
+z 2
.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1,0 điểm) Cho 5 chữ số 0;1;2;3;4. Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn
có 5 chữ số sao cho mỗi chữ số trên có mặt đúng một lần ?
Câu VII.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là
giao điểm của đường thẳng :d x- - = và ' :y 3 0 d x+y - = Trung điểm M cạnh AD là giao điểm của 6 0
d với trục Ox. Viết phương trình tổng quát cạnh AD.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x-2y+2z - = 1 0 và các đường thẳng 1 : 1 3 ,
- Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song
song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2.
B. Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình :
2
log ( 5) log ( 4) = 1
ï
í
ï
, ( ,x y Î R )
Câu VII.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng D có phương trình là
2 2 ( ) :C x +y -4x-2y=0; D:x+2y -12= Tìm tạo độ điểm M trên D sao cho từ M vẽ được 0
với (C) và hai tiếp tuyến đó lập với nhau một góc 60 0 .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng D có phương trình tham số 1 1
- .Một điểm M thay đổi trên đường thẳng D , xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Hết
www.laisac.page.tl
Trang 2ÐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ÐẠI HỌC LẦN 2. NĂM 2011. Khối A
I. Môn Toán
Đồ thị
0,25
Xét phương trình 8 osc 4x-9 osc 2 x+m = với 0 xÎ [0; ] p (1)
Đặt t= c osx , phương trình (1) trở thành: 4 2
Vì xÎ [0; ] p nên t Î - [ 1;1] , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của phương
Ta có: (2)Û8t4-9t2 + = - 1 1 m (3)
Gọi (C1): 4 2
y= t - t + với t Î - [ 1;1] và (D): y = 1 – m.
Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D).
0,25
I
(2,0đ)
Dựa vào đồ thị ta có kết luận: 1 81
32
m
£ < : Phương trình đã cho có 4 nghiệm. 0,25
ĐK: cosx ³ 0 (*) PT Û( 1 cos- x+ cosx c) os2x= sin 2xc os2 x 0,25
TH1: cos2x = 0
Û = + Đối chiếu điều kiện (*) ta được nghiệm: 2
4
p
sin 2 0
2 (1 cos ) cos sin 2 1
x
³
ì
ï
4
p
2. Giải phương trình 5 x3+ -1 2x2 =4 , (x Î R ) 1,00
ĐK: x ³ 1 Đặt a= x+ ³1 0 :b= x2 - + > x 1 0. Được phương trình: 5ab = 2(a 2 + b 2 ) 0,25
1
2
a
a
b
é
=
ê
Û ç ÷ - ç ÷ + = Û ê
ê
0,25
Với a/b = 2: x+ =1 2 x2 - + x 1 , Bình phương 2 vế, thấy vô nghiệm 0,25
II
(2,0đ)
2
x+ = x - + Ûx x= ± TMdkien . Đáp số: 5 37 .
2
Trang 33 2 2
(1,0đ)
Ta có
2 os
2
c
p
+
0,25
2
2
0
(4 os 1) sin x
1 cos
A
x
p
-
=
+
Đặt t = 1 + cosx, ta được
- +
0,5
Ta có IAuur= -2 uuur IH Þ
H thuộc tia đối của tia IA và IA= 2 IH
2 2
2
a
HC =AC +AH - AC AH ÞHC =
2
a
SC ABC = ÐSCH = ÞSH =HC =
0,25
2
a
HC =AC +AH - AC AH ÞHC =
2
a
0,25
IV
(1,0đ)
3
.
S ABC ABC
a
Ta có: (1) Û 1(x+y+z)+xy+yz+zx=2xyz Û x 2 +y 2 +z 2 =22(x+y+z)+(x+y+z) 2 4xyz 0,25
Theo BĐT Côsi : x y z ÷ ³ xyz
ø
ö
ç
è
æ + + 3
x 2 +y 2 +z 2 ³ 22(x+y+z)+(x+y+z) 2 4
3
3 ÷ ø
ö
ç
è
æ x + y + z
0,25
V
(1,0đ)
Đặt t= x+y+z thì: 0 < t < 3 Khi đó: P =. 4 3 2
2 2
27 t t t
Xét hàm số f(t) = 4 3 2 2 2
27 t t t
- + - + trên (0; 3) Suy ra Min P = 3/4, khi t = 3/2 hay x = y = z = ½.
0,25
Gọi số cần tìm có dạng là abcde , a b c d e Î , , , , { 0;1; 2;3; 4 } ( a ¹ 0 và e Î { 0; 2; 4 } .
Số có dạng abcd 0 . Chọn a b c d Î , , , { 1; 2; 3; 4 } thì ta có: 4.3.2.1 = 24 số chẵn dạng abcd 0
Số có dạng abcde , e Î { } 2; 4 có 2 cách chọn, chọn aÎ { 1; 2; 3; 4 \ } { } e có 3 cách chọn, chọn
{ 0;1; 2; 3; 4 \} { } ;
bÎ e a có 3 cách chọn, chọn cÎ { 0;1; 2; 3; 4 \} { e a b ; ; } có 2 cách chọn và chọn
{ 0;1; 2; 3; 4 \} { ; ; ; }
VIa
(1,0đ)
Vậy có: 24 + 36 = 60 số
VIIa
(2,0đ)
Tọa dộ giao điểm I của d và d’ là nghiệm của hệ phương trình 3 0 9 3;
I
- - =
Þ
î
0.25
Trang 4M là trung điểm của AD ÞM=dÇ Ox Þ M ( ) 3; 0 0,25
( 1 2 ; 3 3 ; 2 ,) ( 5 6 '; 4 '; 5 5 ' )
( )
Trường hợp 1: t= Þ0 M( 1;3; 0 ,) MNuuuur =( 6 ' 4; 4 ' 3; 5 ' 5 t+ t - - t - )
Điều kiện:
2
( )
I
ì- - + + > - + > + > + >
í
< - ¹ < + ¹
î
( )
log ( 5) log ( 4) = 1 log ( 5) log ( 4) = 1 (2).
I
0,25
Đặt log2 + y (1-x ) = thì (1) trở thành: t t 1 2 0 (t 1)2 0 t 1.
t
Với t = 1 ta có: 1- =x y+ Û2 y= - - x 1 (3). Thế vào (2) ta có:
2
0
2
x
x
=
é
Û ê = -
ë
. Suy ra: 1
1
y
y
= -
é
ê =
ë
.
0,25
VIb
(1,0đ)
Kiểm tra thấy chỉ có x= -2,y = thoả mãn điều kiện trên. Đáp số 1 x= -2, y = 1 0,25
Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R = 5 .
Gọi A, B là hai tiếp điểm của (C) với hai tiếp của (C) kẻ từ M. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 60 0 thì MAB là tam giác đều hoặc cân tại góc M=120 0 .
* TH1: DMAB là tam giác đều. Khi đó ta có: suy ra IM = 2R=2 5 .
Vậy điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: ( x-2) ( 2+ y -1) 2 = 20 .
0,25
Mặt khác, điểm M thuộc D , nên tọa độ của M nghiệm của hệ PT : ( 2) ( 2 1) 2 20 (1)
2 12 0 (2)
ï
í
ï
0,25
27 / 5
y
y
=
é
ë
* TH2: DMAB cân tại góc M=120 0 : Giải tương tự TH 1 ta có: Không tồn tại M thoả mãn.
0,25
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M ( ) 6; 3 hoặc 6 27 ;
5 5
M æç- ö ÷
0,25
VIIb
(2,0đ)
Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM.
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.
Đường thẳng D :
1 2
1
2
= - +
ì
ï
= -
í
ï =
î
. Điểm M Î D nên M( - +1 2 ;1t - t ; 2 t ) . 0,25
Trang 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ ur = ( 3 ; 2 5 t )
và vr = -( 3t + 6; 2 5 )
.
Ta có
2
2
2
2
ì
ï
í
ï
r
r
Suy ra AM +BM =| |ur + | | v r
và ur r+ =v ( 6; 4 5) Þ|ur r +v | 2 29 =
Mặt khác:| | | | |ur + vr ³ ur r + v |
Vậy AM +BM ³ 2 29
0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , u v r r
3 6 2 5
t
t
t
- +
( 1; 0; 2 )
M
Þ và min( AM +BM ) = 2 29 .
0,25