Cho hình chóp S ABC.
Trang 1ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn thi: Toán, khối A,B
Thời gian làm bài: 180 phút( không kể thời gian giao đề)
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2,0 điểm ).Cho hàm số : y 2x 1
x 1
-
= + có đồ thị là ( ) C 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( ) C Tìm trên đồ thị ( ) C điểm M có hoành độ
dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị ( ) C cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn :
40
IA +IB = .
Câu II : ( 2,0 điểm )
1) Giải phương trình : 3sin4 x+2 cos 32 x cos x+ 3 =3cos x4 -cosx + 1
2) Giải phương trình: ( 4 1 ) 2
27
x
Câu III : ( 1,0 điểm ).Tính tích phân: ( )
2
0
2
4
x
x
= -
-
ò
Câu IV : ( 1,0 điểm ). Cho hình chóp S ABC có · · 0
Tính thể tích khối chóp S ABC .
Câu V : ( 1,0 điểm ).Cho a b c , , là ba số thực không âm thoả mãn : a b+ + = c 3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P=a b+b c+c a- abc .
B. PHẦN TỰ CHỌN: ( 3,0 điểm ).( Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần,phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn:
Câu VIA : ( 2,0 điểm ).1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A,biết
phương trình các đường thẳng AB BC lần lượt là , x+3y + = và 5 0 x-y + = ,đường thẳng 1 0 AC đi qua điểm M ( ) 3; 0 Tìm toạ độ các đỉnh , , A B C
2) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
1
:
Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của d và 1 d ,lậpphương trình đường thẳng 2 d đi qua điểm 3
( 0; 1; 2 )
P - ,đồng thời d cắt 3 d và 1 d lần lượt tại , 2 A B khác I thoả mãn AI = AB .
Câu VII A.(1,0 điểm):Tính tổng 1 3 5 7 2009 2011
B.Theo chương trình nâng cao
Câu VIB : ( 2,0 điểm ). 1)Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho e líp ( )
25 9
E + = với hai tiêu
điểm F F Điểm 1, 2 P thuộc elíp sao cho góc · PF F = 1 2 120 0 .Tính diện tích tam giác PF F 1 2
2) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz,cho hai đường thẳng : 1 : 1 3
- và
2
:
- ,mặt phẳng ( )P :x-2y+2z - = 1 0 .Tìm các điểm MÎ D1, N Î D sao cho 2 MN
song song với mặt phẳng ( ) P và cách mặt phẳng ( ) P một khoảng bằng 2.
Câu VII B:(1,0 điểm): Tìm phần thực,phần ảo của số phức ( )
2012
2011
1
3
i
z
i
+
=
+
www.laisac.page.tl
Trang 2(gồm 5 trang)
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn thi: Toán, khối A,B ĐÁP ÁN
m
0
1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y 2x 1
x 1
-
= +
+Tập xác định D =¡ \{ } - 1
+Sự biến thiên
· Chiều biến thiên:
( ) 2
3 '
1
y
x
= + > 0 " ¹ - x 1
. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥ - ; 1 ) và ( - +¥ 1; )
· Cực trị : Hàm số không có cực trị
· Giới hạn tại vô cực và tiệm cận:
2 1
1
x
y
x
-
+ ,đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang
lim ; lim
+ + , đường thẳng x = - 1 là tiệm cận đứng
· Bảng biến thiên :
x ¥ 1 +¥ y' + || +
||
+Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt trục Oxtại điểm 1 ; 0
2
A æç ö ÷
è ø
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm B ( 0; 1 - )
Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận là I - ( 1; 2 ) làm tâm đối xứng.
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
8
6
4
2
2
4
6
Trang 32 Tìm trên đồ thị ( ) C điểm M có hoành độ dương 1,00
TCĐ ( ) d 1 : x = - 1 ,TCN ( ) d2 :y = 2
( 1; 2 )
I
0
0
2 1
;
1
x
M x
x
æ - ö
+
( ) ( C , x 0 0 )
Î >
Phương trình tiếp tuyến với ( ) C tại ( )
( ) ( )
0
0
2
0
0
2 1
3 : :
1
1
x
x
x
-
+ +
( ) ( ) 0 ( ) ( ) { ( ) }
0
1
x
x
ì æ - ö ü
+
2
0
2
0
0
0
36
1
40
0
0
x
x
x
ì
+
>
ï
î
x
Û = ( y = 0 1 ) Þ M ( ) 2;1 .
0,25
0,25
0,25
0,25
1 Giải phương trình : 3sin4 x+2 cos 32 x cos x+ 3 =3cos x4 -cosx + 1 1,00
3 sin x cos x 2 cos 3x 1 cos 3x cosx 0
3cos x2 cos 6x 2 cos 2 cosx x 0
2
2 0(*)
2 2 cos 2 3 cos 0
2 cos 2 1 cos 1 0(**)
cos x
=
é
ê
4 2
k
Û = + Î Z
** Û2 cos x2 -1 cos x2 +1 + cosx-1 =0Û8cos x -sin x + cosx -1 = 0
2
cos 1
2 ,
x
é
+ + =
ë
Z
Phương trình có 2 họ nghiệm: & 2 ,
4 2
p
0,25
0,25
0,25
0,25
2
27
x
Điều kiện : 5 ; 2
2
x Î -éê ù ú
Ta có ( 5 2+ x+ 4 2- x) 2 = +9 2 ( 5 2+ x)( 4 2- x) ³ Þ9 5 2+ x+ 4 2- x ³ 3 (*)
Mặt khác
5
; 2
2
" Î -ê ú
2
27
x
Từ (*) và (**) suy ra phương trình tương đương với:
( ) 2
5
2
é
Û
+ =
.So với điều kiện ta được nghiệm của phương
trình là
5
2
2
x
x
é
= -
ê
ê
=
ë
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 4III Tính tích phân …… 1,00
( )
2 2
x
x
- -
đặt 2-x= 2cos t 2 với 0;
2
Î ê ú
ë û Þdx = 4 sin 2 tdt
4
p
( ) ( )
p
- -
+ -
4
0
8 2 cos 2 1 4 1 cos 4 2 2
1
4
p
p
0,25
0,25
0,25
0,25
Theo định lí cô sin trong tam giác ta được
2 30 48 16 2.4 3.4 4
2
Gọi M N lần lượt là trung điểm của , SA BC , Þ DBAS , D CAS cân nên
,
BM ^SA CM ^ SA ÞSA^ ( MBC )
ta có DBAS= DCAS c c( - - c ) ÞMB=MCÛ D MBC cân tại M ÞMN ^ BC
2
2
CM = = BC suy ra D MBC đều có cạnh bằng 2 22 3 3
4
MBC
dt V = = Từ đó thể
tích khối chóp S.ABC là: 1 1 .4 3 3 4
0,25
0,25
0,25 0,25
V …Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P=a b+b c +c a- abc . 1,00
Đặt a =x, b= y , c = z ,thì điều kiện trở thành:
, , 0
3
x y z
³
ì
í
+ + =
î
.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x y2 +y z2 +z x 2 - xyz
Ta thấy P ³ 0 theo bất đẳng thức Côsi.
Không mất tính tổng quát giả sử y là số có giá trị nằm giữa x & z khi đó ta
3
2
(bất đẳng thức Côsi.)
0,25
0,25 0,25
Trang 5P
Û £ dấu bằng xẩy ra trong 2 trường hợp
1
2
0
1
2
0
a
z
b
c
= = =
é
= =
=
ì
êî
ë Vậy Pmax =2Ûa=b=c= Ú1 a=2;b=1;c = 0 và các hoán vị.
0,25
B= ABÇ BC nên toạ độ Blà nghiệm hpt: 3 5 0 2 ( 2; 1 )
B
Đường thẳng ABcó vtpt n = r 1 ( ) 1;3
Đường thẳng BCcó vtpt n =r 2 ( 1; 1 - )
Đường thẳng AC có vtpt nr 3 = ( a b ; )
với đ/k a2+b 2 > 0
Do tam giác ABC cân tại A nên · · 0
90
ABC= ACB < Þcos· ABC=cos · ACB Û
10 2 2
-
+
r r r r
r r r r
4 a b 10 a b a 3b 3a b 0 a 3b 0 3a b 0
· a-3b = 0 chọn a=3,b= Þ1 n r 3 = ( ) 3;1
do AC đi qua
( ) ( 3; 0 ) ( : 3 3) ( 1 0) 0 ( ) : 3 9 0
A= ABÇ AC nên toạ độ Alà nghiệm hpt: 3 5 0 4 ( 4; 3 )
A
C =BCÇ AC nên toạ độ Clà nghiệm hpt: 1 0 2 ( 2;3 )
C
· 3a b - = 0 chọn a=1,b= Þ3 nr3=( ) 1;3 =nr 1 Þ AB / / AC
(loại ) Vậy toạ độ các đỉnh là A( 4; 3 ,- ) ( B - - 2; 1 ,) ( C 2;3 ) .
0,25
0,25
0,25
0,25
2 …Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của d và 1 d ,lậpphương trình đường thẳng 2 d … 3 1,00
1 1;1;1
1
z
+ -
= =
ï
Û = Û
î
ï
mặt phẳng ( ) Q chứa d d thì 1, 2 ( ) Q đi qua I ( 1;1;1 ) và có một vtpt
/ / ; 8; 4; 0 2; 1; 0
( )Q : 2x y 1 0
ta thấy P( 0; 1; 2 - ) ( ) Î Q Giả sử có d qua , 3 P d3Çd1 =A d , 3Çd2 = B khác I sao
cho IA= AB .Lấy A1( 2;3;3 ) Î d 1 , B1( - - -t ; 1 2 ;3 2 t + t) Î d 2 chọn t sao
cho A I1 = A B 1 1 với B 1 ¹I Þ là nghiệm phương trình t
11
9 20 11 0 1
9
A I =A B Û t + t+ = Û = - Ú = - t t
( )
1
1
1;1;1 ( )
11 13 5
; ;
9 9 9
B
ê
Û ê æ ö
ê è ø
ë
7 14 22
9 9 9
uuuur
đường thẳng d đi qua P ( 0; 1; 2 - ) từ đó pt của d là
0,25
0,25
0,25
Trang 67 14 22
= =
0,25 VII
A
Xét khai triển ( ) 2011 0 1 2 2 3 3 2011 2011
1+i =C +C i C+ i +C i + + C i
= = = - = - " Î ¥ do đó ta có
1.00 0,25
1+i = C -C +C - -C + C -C +C - - C i (1)
mặt khác ( ) 2011 ( ) 2 1005 ( ) ( ) ( 1005 ) 1005 1005
1+i =é 1+i ù 1+i = 2i 1+i = -2 + 2 i
Từ (1) và (2) ta được: 1 3 5 7 2009 2011 1005
0,25
0,25 0,25
1 …Điểm P thuộc elíp sao cho góc · 0
( )
25 9
2
2
25
16
9
a
b
=
ï
=
î theo định nghĩa elip và định lí cô sin ta có:
2
10
2 10
= -
ì
ì
Þ
1 2
1
0
2
9
7
.sin120 8.
7
PF F
PF
PF
D
ì
=
ï
í
ï =
ï
î
(đvdt)
0,25
0,25
0,5
2 …Tìm các điểm MÎ D1, N Î D sao cho 2 MN … 1,00
1
2
1 2 ;3 3 ; 2 : 3 3 & : 4
5 6 ;; 4 ; 5 5
D í = - D í = Þ í
+ - - Î D
ï
ï = ï = - - î
( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 12 6 1
0
3
t
t
t
=
=
ë
· t = Þ1 M1( 3; 0; 2) ÞM Nuuuuur 1 =( 6s+2; 4 ; 5s - s - 7 )
do
( )
1 / /( ) 1 P 1; 2; 2 , 1 P 0
M N P ÞM Nuuuuur^nr = - M N n uuuuur r = Þ
( 6s+2) -2.4s+2.( -5s-7) =0Þs= - Þ1 N 1 ( - - 1; 4; 0 )
· t =0ÞM2( 1;3;0) ÞM Nuuuuur 2 =( 6s+4; 4s-3; 5- s - 5 )
( )
2 / /( ) 2 P 1; 2; 2 , 2 P 0
M N P ÞM Nuuuuur^nr = - M N n uuuuur r = Þ
( 6s+4) -2 4( s-3) +2.( -5s-5) =0Þs=0Þ N 2 ( 5; 0; 5 - )
Đáp số : M( 3; 0; 2 ,) ( N - -1; 4; 0 &) M( 1;3; 0 ,) ( N 5; 0; 5 - )
0,25
0,25
0,25
0,25 VII
2012
2011
2 cos sin
i
z
+
ÞPhần thực của z bằng 1005 1
2 cos 6
p
, Phần ảocủa z bằng 1005 1 sin
p
-
1,00 0,25 0,25 0,25 0,25