Toán cho vật lý

Ngược lại, cho trước điểm M trong mặt phẳng, ta biết được các tọa độ x,y của nó trong hệ trục Oxy, do đó lập được số phức z x iy= +.. 0 • Liên hệ giữa phần thực, phần ảo, môđun và acgume

BÀI GIẢNG

AN GIANG - NĂM 2011 Ths Đổng Thị Kim Phượng

Chương 1 MỞ ĐẦU 1

§1 SỐ PHỨC 1

1 Định nghĩa số phức: 1

2 Các phép tính về số phức: 1

3 Biểu diễn hình học của số phức Dạng lượng giác của số phức: 3

4 Công thức Euler: 5

5 Hàm Hyperbôn: 6

§2 NHỮNG HỆ TỌA ĐỘ THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ 6

1 Hệ tọa độ Decarters vuông góc: 6

2 Các hệ tọa độ cong: 6

3 Hệ tọa độ cực: 8

§3 TRƯỜNG VÔ HƯỚNG VÀ TRƯỜNG VECTOR 8

1 Trường vô hướng: 8

2 Trường vector: 8

3 Các toán tử vi phân: 9

4 Các định lý tích phân: 11

§4 CHUỖI FOURIER .12

1 Định nghĩa: 12

2 Chuỗi Fourier sin và cos: 12

Bài tập chương 1 13

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG VẬT LÝ 15

§1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 15

1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một: 15

2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi: 15

§2.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG VẬT LÝ .17

1 Chuyển động của một chất điểm có gia tốc không đổi: 17

2 Dao động cơ học: 18

3 Dao động điện: 19

4 Sử dụng phương pháp vi tích phân để xác định một số đại lượng vật lý: 21

Bài tập chương 2 .24

Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG VẬT LÝ 26

§1 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 26

§2 PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG MỘT CHIỀU 27

1 Một bài toán Vật lý dẫn tới phương trình sóng: 27

2 Dao động của dây dài vô hạn Bài toán Cauchy: 28

3 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn: 30

§3 PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT MỘT CHIỀU 33

1 Thiết lập phương trình: 33

2 Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt một chiều trong thanh dài vô hạn: 35

3 Sự truyền nhiệt trong thanh hữu hạn: 36

§3 PHƯƠNG TRÌNH LAPLAXƠ 37

1 Thiết lập phương trình: 37

2 Bài toán: 38

§4 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 39

Bài tập chương 3 42

Để khắc phục trở ngại đó, người ta đưa vào khái niệm số phức Việc đưa vào khái niệm số phức cũng như xác định mọi phép toán về số phức phải đạt được yêu cầu sao cho các số thực và các phép toán trên tập các số thực, có thể xem là trường hợp riêng của số phức và các phép toán trên tập các số phức

Số phức x iy − − được gọi là số phức đối của số phức z x iy= + và kí hiệu là ( )− z

Hai số phức z1= +x1 iy1 và z2 =x2+iy2 được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo bằng nhau, nghĩa là x1= , x2 y1= y2 Khi đó ta viết z1= z2

Cho hai số phức z1= +x1 iy1 và z2= x2+iy2 Ta gọi số phức z là hiệu của hai số

là tích của số phức z1 và số phức z2 Khi đó ta viết z=z z1 2

Từ công thức (1.1) dễ dàng suy ra rằng phép nhân có các tính chất sau:

Cho hai số phức z1= +x1 iy1 và z2 =x2+iy2 Nếu z2 ≠ , thì tồn tại duy nhất một 0

số phức z x iy= + sao cho z z 2 = Thật vậy, so sánh phần thực và phần ảo của hai đẳng z1

e Phép nâng lũy thừa và khai căn:

Ta gọi tích của n số phức z là lũy thừa bậc n của z và kí hiệu:

n

n

z = z z z z Đặt w =z n =(x iy+ )n, thì do định nghĩa phép nhân, ta có thể tính được Rew và

Imw theo x và y

Nếu z n = thì ngược lại, ta nói z là căn bậc n của w và ta viết: w z= nw Sau này ta

sẽ còn xét kĩ hơn phép nâng lũy thừa và khai căn

Điểm M được gọi là tọa vị của số phức z

Ngược lại, cho trước điểm M trong mặt phẳng, ta

biết được các tọa độ (x,y) của nó trong hệ trục Oxy, do

đó lập được số phức z x iy= + Vậy giữa tập hợp các

số phức và tập hợp các điểm của mặt phẳng Oxy, thiết

Vì lý do đó, ta gọi mặt phẳng Oxy là mặt phẳng phức Sau này ta đồng nhất số phức

z với điểm M là tọa vị của nó, và đồng nhất C với mặt phẳng phức Đáng lẽ nói số phức z thì ta nói điểm z Các điểm trên trục Ox biểu diễn số phức có phần ảo bằng 0, cho nên trục Ox được gọi là trục thực Các điểm trên Oy biểu diễn những số thuần ảo, cho nên trục Oy được gọi là trục ảo

Rõ ràng, hai số phức bằng nhau có cùng tọa vị, hai số phức liên hợp có tọa vị đối xứng qua trục thực, hai số phức đối nhau có tọa vị đối xứng qua gốc tọa độ

b Môđun và acgumen của số phức z:

• Cho số phức z có tọa vị là M Ta gọi độ dài r của vectơ OMJJJJG là môđun của z và kí hiệu là z

Góc lượng giác (Ox OMJJG JJJJG, ) xác định sai khác 2kπ (k là số nguyên), được gọi là

acgumen của z và kí hiệu là Argz

Đặc biệt, trị số của Argz nằm giữa − và π π được

gọi là giá trị chính của Argz và có kí hiệu là argz

arg z

− < ≤

Nếu z là một số thực dương thì argz= , nếu z là một số 0

thực âm thì arg z= , nếu π z= thì argz không xác định 0

• Liên hệ giữa phần thực, phần ảo, môđun và acgumen của số phức:

Chiếu vectơ OMJJJJG lên các trục tọa độ ta được:

Khi dùng công thức (1.5) để xác định góc ϕ, cần chú ý thêm là góc ϕ phải có côsin

cùng dấu với x

• Liên hệ giữa môđun và acgumen của hai số phức bằng nhau:

Vì hai số phức bằng nhau có cùng tọa vị nên môđun của chúng bằng nhau, còn

acgumen của chúng hơn kém nhau một bội số nguyên của 2π :

c Dạng lượng giác của số phức:

Nếu biểu diễn phần thực, phần ảo của số phức z x iy = + theo r và ϕ thì ta được:

công thức (1.8) được gọi là dạng lượng giác của số phức z x iy= +

Ví dụ: Viết các số phức sau đây dưới dạng lượng giác:

Định lý 1: Tích của hai số phức có môđun bằng tích các môđun của các thừa số và

có acgumen bằng tổng các acgumen của các thừa số Nghĩa là nếu:

Định lý 2: Thương của hai số phức có môđun bằng thương các môđun và có

acgumen bằng hiệu của acgumen của số bị chia và số chia:

d Công thức Moavơrơ (Moivre):

Áp dụng định lý 1 cho tích của n thừa số bằng z, ta được kết quả như sau:

Lũy thừa bậc n của z r= (cosϕ+isinϕ) có môđun bằng r n và có acgumen bằng

Đặc biệt khi r= , ta được công thức: 1

được gọi là công thức Moavơrơ

Thay ϕ bởi − , ta được: ϕ

(cosϕ−isinϕ)n =cosnϕ−isinnϕ

Thay y bởi –y, ta được: e−iy =cosy i− sin y

Nhờ có công thức Euler mà số phức z r= (cosϕ+isinϕ) còn viết được dưới dạng

4 ar 3

§2 NHỮNG HỆ TỌA ĐỘ THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ

1 Hệ tọa độ Decarters vuông góc:

Hệ tọa độ Decarters còn gọi là hệ tọa độ vuông

góc thuận, gồm 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz đôi một

vuông góc nhau, sao cho một đinh ốc thuận quay từ

trục x sang trục y theo góc nhỏ thì đinh ốc sẽ tiến theo

chiều trục z Trên mỗi trục đó lần lượt có các vector

đơn vị (vector có môđun bằng 1) , ,i j kG G G hướng dọc

theo chiều tăng của trục (hình 1.3) Dễ thấy:

kG= ×iG G Gj i = ×Gj k jG G= ×k iG G

Vị trí điểm M trong không gian được xác định

bởi vector tia rG:

Bộ ba số (x y z gọi là tọa độ của điểm M, cũng là tọa độ của vector tia r, , ) G (còn gọi

là vector vị trí hay vector bán kính) Do đó khoảng cách từ điểm M đến điểm gốc tọa độ

là:

2 2 2

r OM= = x +y +z

2 Các hệ tọa độ cong:

Trong nhiều bài toán, để xác định vị trí của điểm M, thay cho bộ ba số x, y, z, người

ta dùng bộ ba số khác q q q1, 2, 3 phù hợp và thuận tiện hơn với bài toán đang xét Ngược

lại, ta giả thiết một bộ ba số q q q1, 2, 3 ứng với một bán kính vector rG, do đó ứng với một

điểm M nào đó của không gian Các đại lượng q q q được gọi là tọa độ cong của 1, 2, 3điểm M

Hệ số Lame của hệ tọa độ cong đang xét:

ρ: từ 0 đến ∞

ϕ: từ 0 đến 2π

z : từ −∞ đến +∞ Các mặt tọa độ:

Đường z : đường thẳng song song với trục Oz

r : từ 0 đến ∞

θ: từ 0 đến π

ϕ: từ 0 đến 2π Các mặt tọa độ:

r

Các đường tọa độ:

Đường r : nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O

Đường θ: kinh tuyến trên mặt cầu

Đường ϕ: đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu

3 Hệ tọa độ cực:

Hình chiếu của hệ tọa độ trụ lên mặt phẳng (Oxy)

cho ta hệ tọa độ cực Trong hệ tọa độ cực, vị trí của

điểm M được xác định bởi bán kính cực r và góc cực

§3 TRƯỜNG VÔ HƯỚNG VÀ TRƯỜNG VECTOR

1 Trường vô hướng:

Là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng với một giá trị của một đại

lượng vô hướng nào đó ϕ( )M

Cho một trường vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng ϕ( )M có giá trị phụ

thuộc vào từng điểm của phần không gian đang xét

Trong hệ tọa độ Decarters Oxyz, ta có:

( )M (x y z, , )

Ví dụ: Xét một vật không đồng chất thì mật độ ρ phụ thuộc vào từng điểm của vật

và ta có trường mật độ ρ( )M

Nếu hàm vô hướng ϕ( )M của trường không đổi theo thời gian, ta nói ta có trường

dừng Nếu ϕ còn phụ thuộc cả vào thời gian, thì ta có trường không dừng hay trường

thay đổi ϕ(M t, )

Để biểu diễn hình học trường vô hướng, ta dùng khái niệm mặt mức Mặt mức là

một mặt trong không gian mà trên đó trường vô hướng có giá trị không đổi:

Là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng với một giá trị của đại

lượng vector A MG( ) nào đó

Cho một trường vector có nghĩa là cho một hàm vector A MG( ) phụ thuộc vào từng

điểm M Trong hệ tọa độ Decarters có:

( ) ( , , )

Ví dụ: Một điện tích điểm e sinh ra xung quanh nó một điện trường, được biểu diễn

bằng một vector cường độ điện trường EG phụ thuộc vào điểm ta xét

e

E k r r

=

rG là bán kính vector

rG =xiG+ yj zkG+ G

Để biểu diễn hình học trường vector, ta dùng các đường vector, là các đường trong

không gian mà tại mỗi điểm vector AG nằm dọc theo tiếp tuyến của nó

3 Các toán tử vi phân:

a Građiên của một hàm vô hướng:

Građiên của một hàm vô hướng là một vector:

Ví dụ: Tìm biểu thức gradψ trong hệ tọa độ trụ

Đầu tiên ta tính các hệ số Lame

b Dive của một trường vector:

Xét một điểm M nào đó của trường, ta bao quanh nó bằng một thể tích nhỏ V và

tính thông lượng P của vector AG qua mặt S bao quanh V:

S

n S

P= ∫vA d n

A là hình chiếu của vector AG trên phương pháp tuyến nG của S

Lập tỷ số P

V để quy về một đơn vị thể tích rồi chuyển qua giới hạn khi mọi kích

thước của thể tích V tiến đến không Kết quả ta nhận được một con số nào đó phụ thuộc

vào dáng điệu của vector AG ở gần điểm M và đặc trưng cho mức độ chảy ra khỏi lân cận

điểm M, kí hiệu là divAG:

0lim

n S V

A dS divA

( 1 2 3) ( 2 3 1) ( 3 1 2)

1 A h h A h h A h h divA

c Rota của một trường vector:

Trong trường vector AG, ta xét một vòng kín L nằm trên mặt phẳng có pháp tuyến nG

Tính lưu thông Q của vector AG dọc theo L Đó chính là tích phân đường loại hai

L

Q=v ∫ AdrG G

Bây giờ ta lấy điểm M trong trường, bao quanh nó bằng đường cong kín L vô cùng

bé Diện tích của miền bao bởi L là S

Ví dụ: Viết biểu thức của rotAG trong hệ tọa độ cầu:

Các hệ số Lame: h r =1;hθ =r h; ϕ =rsinθ

1

sin sin

d Toán tử Hamilton (toán tử Nabla):

∇ là một vector, trong hệ tọa độ Decarters vuông góc, nó có dạng:

d

div v

dtρ ρ+ G=được gọi là phương trình liên tục

c Định lý Stôcxơ (Stokes): Nếu các thành phần , A A A của hàm vector A x y, z G và các

đạo hàm riêng phần của chúng là liên tục trên một mặt σ bất kỳ, và C là chu tuyến bao

d Công thức Grin (Green):

Xét trường vectơ AG có dạng: AG=ψgradϕ trong đó ψ và ϕ là các hàm vô hướng

với nG là pháp tuyến ngoài của mặt S Đó là công thức Grin thứ nhất

Nếu đổi chỗ giữa ψ và ϕ trong (1.18), ta có:

ππ

2 Chuỗi Fourier sin và cos:

Cho hàm f x trên đoạn ( ) [−π π, ]

f − =x f x ⇔ chẵn quanh f x= , 0

f − = −x f x ⇔ lẻ quanh f x= 0Nếu f x( ) lẻ thì:

ππ

Bài 6 Chứng minh: rot( )ϕAG =ϕrotAG−⎡⎣A gradG× ϕ⎤⎦

Bài 7 Viết biểu thức của gradψ trong hệ tọa độ cầu

Bài 8 Viết biểu thức của divAG trong hệ tọa độ cầu

Bài 9 Tìm div của trường vector:

A x iG = G+y j z kG+ G

Bài 10 Trong tọa độ trụ, AG có dạng:

AG =ρeGρ +zeGz Tính divAG

Bài 11 Viết biểu thức của rotAG trong hệ tọa độ trụ

Bài 12 Tính rot của trường vector A r3

r

=

GG

Bài 13 Tính ∆ trong hệ tọa độ cầu với ψ 12

r

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG VẬT LÝ

§1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một:

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất có dạng:

đó là nghiệm tổng quát của phương trình (2.1)

2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi:

Phương trình vi phân:

( )

trong đó a a1, 2 là hằng số, f x( ) là hàm liên tục theo biến x, được gọi là phương trình vi

phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

Trường hợp f x( )= 0, tức là:

là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

a Tính cộng được của nghiệm:

Định lý a: Nếu biết trước y x1( ) là một nghiệm của phương trình (2.3), thì ta có thể

tìm được thêm y x2( ) độc lập tuyến tính với y x1( ) và

( ) ( ) ( )

Định lý b: Nếu y x1( ), y x2( ) đều là nghiệm của phương trình (2.3) độc lập tuyến

tính, thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2.3) có dạng:

( ) 1 1( ) 2 2( )

Định lý c: Nếu y x3( ) là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (2.2),

thì nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (2.2) có dạng:

( ) ( ) 3( )

với y x( )=C y x1 1( )+C y x2 2( ) là nghiệm tổng quát của (2.3)

b Cách giải phương trình thuần nhất:

Từ phương trình (2.3), nếu đặt y e= λx thì ta có ( 2 )

a a eλ

λ + λ+ = nên phương trình:

1 2 0

a a

được gọi là phương trình đặc trưng

Phương trình đặc trưng luôn có hai nghiệm:

2

1,2

42

là nghiệm tổng quát của phương trình (2.3)

• Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép:

Theo cách đặt ở trên thì: y x1( )=eλx và y x2( )= y x u x1( ) ( ) (theo định lý a) Với

là nghiệm tổng quát của phương trình (2.3)

• Trường hợp λ λ1, 2 = ±α iβ với α β, ∈R i, 2 = − Theo cách đặt 1 y x( )=eλx, ta

có hai nghiệm ảo: r1 =iω,r2 = −iω α( = 0 ,β ω= )

Do đó theo (2.10) thì nghiệm tổng quát của (2.11) có dạng:

c Cách giải phương trình không thuần nhất:

Trường hợp vế phải của (2.2) có dạng:

( ) m( )cos n( )sin

f x =P x μx P x+ μx

trong đó: P x P x m( ) ( ), n là những đa thức bậc m, n; μ là hằng số

Nếu ±iμ không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì có thể tìm một nghiệm

riêng của phương trình (2.2) có dạng:

trong đó: Q x R x l( ) ( ), l là những đa thức bậc l= max(m n, )

Nếu ±iμ là nghiệm của phương trình đặc trưng thì có thể tìm một nghiệm riêng của

phương trình (2.2) có dạng:

y x =x Q x⎡⎣ μx R x+ μx⎤⎦ (2.14)

§2.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG VẬT LÝ

1 Chuyển động của một chất điểm có gia tốc không đổi:

a Vận tốc của chất điểm:

Từ định nghĩa của gia tốc ta có phương trình:

dv adt=Lấy tích phân ở cả hai vế, ta được:

Như vậy, vận tốc của chất điểm có gia tốc không đổi là hàm bậc nhất của thời gian

(phụ thuộc tuyến tính vào thời gian)

2

Như vậy, khi chất điểm chuyển động với gia tốc không đổi thì tọa độ là hàm bậc hai

của thời gian

Khử t trong (2.16) ta sẽ thu được công thức độc lập với thời gian Thật vậy từ (2.15)

ta có:

0 0

trục Oy thẳng đứng hướng từ trên xuống, gốc

O đặt ở trọng tâm của vật ở vị trí cân bằng Gọi

y là độ dời tính từ vị trí cân bằng Giả sử lực

kéo vật về vị trí cân bằng tỷ lệ với độ dời,

nghĩa là bằng −ky, k là hệ số đàn hồi của lò

xo, còn lực cản hướng ngược chiều chuyển

động và tỷ lệ với vận tốc của vật, nghĩa là bằng

Hình 2.1 y

O

Theo định luật II Newton, phương trình chuyển động của vật trên lò xo là:

2 2

Do đó, với mọi điều kiện ban đầu, độ dời y→0 khi t→ +∞ Trong trường hợp này

không có dao động, vì lực cản quá lớn

Trong trường hợp này, độ dời y cũng dần đến 0 khi t→ +∞, nhưng không nhanh

như trường hợp trước

β = − Nghiệm tổng quát của phương trình (2.17) là:

( 1 cos 2 sin )

t

y e= α C βt C+ βt Đặt C1= Asin ,ϕ C2= Acosϕ ta có 2 2

A= C +C , 1

2

C arctg C

động với biên độ Aeαt phụ thuộc vào

thời gian Vì 0

2

p

α = − < , nên biên độ dần đến 0 khi t→ +∞ Vậy chuyển

β

=

3 Dao động điện:

a Dao động điều hòa:

Xét một mạch điện kín gồm một tụ điện có điện dung C

và một cuộn dây có độ tự cảm L và có điện trở thuần bằng

không (hình 2.3)

Nếu ban đầu tụ được tích một điện lượng Q (bản A có điện tích

Q, bản B có –Q) thì nó sẽ phóng điện qua cuộn dây, tạo thành

dòng điện xoay chiều, người ta nói có dao động điện trong

mạch

Gọi q và i là giá trị đại số của điện tích bản A và cường độ

dòng điện chạy trong mạch, chiều dương quy ước là chiều đi

B q -q

Cường độ i liên quan với điện tích q như sau: trong khoảng thời gian dt dòng điện chuyển một điện tích idt đến tích thêm vào bản A, vậy idt dq= , ta suy ra:

dq i dt

=Dòng điện biến thiên tạo nên suất điện động cảm ứng e trong cuộn dây:

2 2

di d q

e L L

dt dt

= − = −Suất điện động cảm ứng này bằng hiệu điện thế giữa hai bản của tụ điện:

2 2

d q q L

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số là hằng số Do

đó nghiệm tổng quát của phương trình (2.18) có dạng:

Bây giờ ta xét thêm trường hợp mạch có điện

trở thuần R ghép nối tiếp với cuộn dây (hình 2.4)

Lúc này hiệu điện thế hai đầu cuộn dây và điện trở

Ta có phương trình vi phân cho biến đổi của

điện tích q theo thời gian t:

B q -q

R

L LC

Phương trình (2.19) là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số

là hằng số Phương trình đặc trưng của (2.19) có dạng: