Toán cho vật lý (tập 1)

Lời nói đầu Toán học là một ngành khoa học hấp dẫn và sự phát triển liên tục của nó giúp chúng ta có được nhiều giải đáp trong thế giới tự nhiên.. Việc ứng dụng của toán học trong việc h

8/10/2017 Toán cho vật lý

Tập 1

Hà Thanh Hùng (Chủ biên), Nguyễn Thị Phương Lan, Nguyễn Huy Thảo

KHOA VẬT LÝ TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI 2

Lời nói đầu

Toán học là một ngành khoa học hấp dẫn và sự phát triển liên tục của nó giúp chúng ta

có được nhiều giải đáp trong thế giới tự nhiên Việc ứng dụng của toán học trong việc học

và nghiên cứu các ngành Vật lý nói chung là điều tất yếu Sự phát triển của Vật lý đòi hỏi các công cụ toán học phục vụ cho việc nghiên cứu cũng phát triển theo

Mỗi ngành Vật lý có đặc điểm riêng và ứng dụng các lĩnh vực toán học riêng: Sự phát triển của Cơ học luôn gắn liền với sự phát triển của phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết

vi phân, lý thuyết tích phân, điện động lực học và lý thuyết tương đối kéo theo sự phát triển của lý thuyết tensor, lý thuyết trường và lý thuyết dây kéo theo sự phát triển của lý thuyết nhóm và đại số hiện đại …

Để đáp ứng chương trình đào tạo hiện nay cho sinh viên ngành Vật lý cũng như các ngành khoa học tự nhiên nói chung, phần kiến thức Toán bổ trợ cho việc học và nghiên cứu chuyên sâu bao gồm 02 phần:

 ‘Toán cho Vật lý 1’ bao gồm: Phép tính vi phân và tích phân của các hàm số một

và nhiều biến, Tích phân bội, Tích phân đường và tích phân mặt, Phương trình vi phân, Giải tích véc tơ…

 ‘Toán cho Vật lý 2’ bao gồm: Đại số tuyến tính, Biến số phức và Hàm số phức, Lý thuyết nhóm…

Các phần kiến thức này sẽ được trình bày tương ứng trong 02 tập sách: ‘Toán cho Vật

lý 1’ và ‘Toán cho Vật lý 2’ Trước hết, để kịp thời phục vụ nhu cầu học và nghiên cứu Vật lý của đông đảo cán bộ, sinh viên chúng tôi giới thiệu quyển sách ‘Toán cho Vật lý 1’ Cuốn sách này nhằm cung cấp cho người đọc các kiến thức cơ bản, đầy đủ và ngắn gọn nhất về các lĩnh vực toán học có liên quan để người đọc có thể sử dụng cho việc nghiên cứu các môn học thuộc ngành vật lý đại cương cũng như một số môn học khác thuộc chuyên ngành Vật lý lý thuyết thuộc chương trình đào tạo đại học cũng như sau đại học

Việc trình bày nội dung cuốn sách cũng được thể hiện một cách cẩn thận, tỉ mỉ, công phu Các nội dung lý thuyết được giới thiệu đầy đủ, ngắn gọn nhất để người đọc có thể

dễ dàng nắm bắt được một cách hệ thống Tiếp theo các nội dung lý thuyết là các ví dụ

cụ thể về việc ứng dụng các lý thuyết đó trong Vật lý Các ứng dụng được lựa chọn điển hình, người đọc có thể liên hệ để giải quyết trong các trường hợp khác tương tự

Nội dung cuốn sách được sắp xếp theo trình tự như sau: Chương 1 Hàm một biến số, Chương 2 Phép tính vi phân hàm nhiều biến số, Chương 3 Tích phân bội, Chương 4 Tích phân đường và mặt, Chương 5 Phương trình vi phân, Chương 6 Giải tích véc tơ

Xuân Hòa, ngày 18 tháng 5 năm 2017

Các tác giả

BẢNG CÁC KÍ HIỆU

MỤC LỤC

H ƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 29

II.2 B IỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA HÀM SỐ 2 BIẾN SỐ 37 II.3 S Ự LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 40 II.4 Đ ẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 42

II.6 Ứ NG DỤNG CỦA VI PHÂN TOÀN PHẦN VÀO TÍNH GẦN ĐÚNG 46

II.9 C ÔNG THỨC T AYLO VỚI HÀM SỐ 2 BIẾN SỐ 52

III.3 T ÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH BẰNG TÍCH PHÂN 2 LỚP 92

III.6 M OMEN QUÁN TÍNH , TOẠ ĐỘ TRỌNG TÂM CỦA HÌNH PHẲNG 102

III.10 M OMEN QUÁN TÍNH , TOẠ ĐỘ TRỌNG TÂM CỦA VẬT THỂ 112

H ƯỚNG DẪN GIẢI , ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG III 122

IV.1 T ÍCH PHÂN ĐƯỜNG 124

IV.8 T OÁN TỬ H AMILTON VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 142

H ƯỚNG DẪN GIẢI , ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG IV 147

H ƯỚNG DẪN GIẢI , ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG V 210

VI.1 K HÁI NIỆM TRƯỜNG VÔ HƯỚNG VÀ TRƯỜNG VÉCTƠ 219

Chương I Hàm số một biến

I.1 Giới hạn của hàm số một biến

I.1.1 Định nghĩa

Nếu hàm số f(x) xác định với mọi x tại lân cận của a, trừ điểm a và f(x) tiến tới L khi

x tiến tới a, ta nói giới hạn của hàm f(x) khi x tiến tới a là L, ký hiệu là:

lim

Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau:

𝑎 lim𝑥→ −2

= lim𝑥→−2

𝑥 − 𝑎

= lim𝑥→𝑎− 𝑥 − 𝑎𝑎𝑥(𝑥 − 𝑎)

= lim𝑥→𝑎− 1𝑎𝑥

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→4

𝑥 − 4(√𝑥 + 2)(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→4

1(√𝑥 + 2)(𝑥 + 4)

= 132

1

𝑥, 𝑏 lim𝑥→2 𝑔(𝑥), trong đó 𝑔(𝑥) = {𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 ≠ 2

1 𝑛ế𝑢 𝑥 = 2

Lời giải:

𝑥

𝑦

(2, 2) (2, 1)

Ví dụ: Tìm giới hạn một phía của hàm: 𝑔(𝑥) = √1 − 𝑥2 tại 𝑥 = 1 và 𝑥 = −1

phải tại 𝑥 = 1 và không có giới

hạn trái tại 𝑥 = −1

Hình 1.5

I.1.3 Một số tính chất của hàm có giới hạn

 Tính duy nhất của giới hạn:

 Giới hạn của hàm đơn điệu:

Nếu xác định tại a và tăng ở lân cận của a thì luôn tồn tại một giới hạn trái và một giới hạn phải hữu hạn tại a và:

lim𝑥→𝑎−𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑎) ≤ lim

thì: lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥)

 Sự tồn tại giới hạn của các hàm sơ cấp

Hàm số sơ cấp xác định tại 𝑥0 thì lim

𝑥→𝑥0𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)

 Một số giới hạn đặc biệt:

o lim𝑥→0

sinx

x = lim𝑥→0

shx

x = 1

o lim𝑥→+∞(1 +1𝑥)𝑥 = lim

o lim𝑥→0+𝑥𝑎ln 𝑥 = lim

𝑥→+∞𝑥−𝑎ln 𝑥 = 0

I.1.4 Đại lượng vô cùng bé (VCB) và đại lượng vô cùng lớn (VCL)

 Định nghĩa:

Đại lượng 𝛼(𝑥) được gọi là một VCB tại a nếu 𝛼(𝑥) → 0 khi 𝑥 → 𝑎

Đại lượng 𝐴(𝑥) được gọi là một VCL tại a nếu 𝛼(𝑥) → ±∞ khi 𝑥 → 𝑎

 Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao:

Nếu 𝛼𝑘 là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB 𝛼𝑖, 𝑖 = 1 … 𝑛̅̅̅̅̅̅̅ và 𝛼ℎ là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB 𝛼𝑗, 𝑗 = 1 … 𝑚̅̅̅̅̅̅̅̅ tại a Khi đó:

k

h a x m

j j

n

i i

= lim𝑥→0

−2𝑥

−5𝑥

=25

Ngắt bỏ các VCB bậc cao hơn bậc của 𝑥

= lim𝑥→+∞

4𝑥53𝑥 5

=43

Ngắt bỏ các VCL bậc thấp hơn bậc của 𝑥 5

I.1.5 Sự liên tục của hàm số

 Hàm liên tục tại một điểm

Hàm số 𝑓(𝑥) được gọi là liên tục tại điểm 𝑥 = 𝑐 nếu: lim

Hình 1.6

 Một số tính chất của hàm liên tục:

o Hàm 𝑓(𝑥) liên tục tại mọi điểm 𝑥 ∈ 𝐴 thì nói rằng nó liên tục trên tập 𝐴

o Hàm 𝑓(𝑥) liên tục trên khoảng mở (a, b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a khi đó ta nói rằng nó liên tục trên [a, b]

o Nếu 𝑓(𝑥) không liên tục tại c, nói rằng 𝑓(𝑥) có điểm gián đoạn tại x = c

o Nếu c là điểm gián đoạn của hàm 𝑓(𝑥) và 𝑓(𝑐−), 𝑓(𝑐+) là các số hữu hạn thì ta gọi x = c là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số và gọi 𝑓(𝑐+) − 𝑓(𝑐−) là bước nhảy của 𝑓(𝑥) tại c

o Nếu c là điểm gián đoạn và không phải là điểm gián đoạn loại 1 thì ta nói rằng 𝑓(𝑥) có điểm gián đoạn loại 2 tại x = c

o Hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên [𝑎, 𝑏] thì sẽ đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [𝑎, 𝑏]

I.2 Phép tính vi phân của hàm một biến

Khi 𝑥 → 𝑥0 tức là ∆𝑥 → 0 thì điểm Q tiến tới điểm P và đường thẳng PQ trùng với tiếp tuyến của 𝑓(𝑥) tại P

Vi phân cấp 𝑛 của hàm 𝑓(𝑥) ký hiệu là 𝑑𝑛𝑓(𝑥), trong đó 𝑑𝑛𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑛)(𝑥)𝑑𝑥𝑛

I.2.2 Một số tính chất của đạo hàm và vi phân

 Nếu các hàm 𝑓, 𝑔 khả vi đến cấp n thì:

(𝑓 + 𝑔)(𝑛) = 𝑓(𝑛) + 𝑔(𝑛); 𝑑𝑛(𝑓 + 𝑔) = 𝑑𝑛𝑓 + 𝑑𝑛𝑔 (1.9)

) ( ) ( 0

) (

.)

n k

k n n

g f C g

k n

 Giả sử hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của nó Khi đó nếu hàm

f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0

 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 là hàm số f(x) có

đạo hàm trái và đạo hàm phải bằng nhau

Ví dụ: Khảo sát tính khả vi tại điểm M trong các trường hợp như hình vẽ sau:

Hàm 𝑦 = 𝑥 1/3 không có đạo hàm tại M.

Hàm 𝑦 = 𝑥 2/3 không có đạo hàm tại M.

Vì giới hạn trái và giới hạn phải khác nhau nên hàm 𝑦 =

|𝑥| không có đạo hàm tại M.

Hàm số 𝑓(𝑥) đạt cực trị địa phương tại 𝑎 tức là tại lân cận điểm 𝑎 ta luôn có 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) ≤ 0 hoặc 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) ≥ 0 Theo định lí Fermat thì f ′ (a) = 0 nghĩa là tiếp tuyến tại x = a song song với trục hoành

Trong hình vẽ ta thấy tại lân cận của 𝑎, 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑎)

và tại lân cận của 𝑏, 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑏) do đó 𝑥 = 𝑎 và

𝑥 = 𝑏 là các cực trị địa phương của hàm số 𝑓(𝑥).

I.2.4 Một số ứng dụng của đạo hàm và vi phân:

 Công thức Taylo (Taylor), công thức Maclôranh (McLaurin)

Hàm 𝑓(𝑥) thực (hoặc phức) khả vi liên tục đến cấp 𝑛 trên khoảng đóng [𝑎, 𝑥] và khả vi đến cấp 𝑛 + 1 trên khoảng mở (𝑎, 𝑥) thì:

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) +𝑓′(𝑎)

1! (𝑥 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)

2! (𝑥 − 𝑎)2+ ⋯+𝑓(𝑛)(𝑎)

𝑛! (𝑥 − 𝑎)𝑛+ 𝑅𝑛(𝑥)

(1.12)

Trong đó 𝑅𝑛(𝑥) là phần dư xác định bởi:

𝑅𝑛(𝑥) =𝑓(𝑛+1)(𝑛+1)!(𝜃)(𝑥 − 𝑎)𝑛+1 với 𝜃 là giá trị nằm giữa 𝑎 và 𝑥 (1.13) hoặc 𝑅𝑛(𝑥) = ∫𝑎𝑥𝑓(𝑛+1)𝑛! (𝑡)(𝑥 − 𝑡)𝑛𝑑𝑡 (1.14) Trường hợp 𝑎 = 0 thì công thức ((1.12) trở thành công thức McLaurin:

𝑓(𝑥) = 𝑓(0) +𝑓

′(0)1! 𝑥 +

𝑓′′(0)2! 𝑥2+ ⋯ +

𝑓(𝑛)(0)𝑛! 𝑥𝑛+ 𝑅𝑛(0) (1.15)

𝑓(𝑥) = 𝑓(0) +𝑓

′(0)1! 𝑥 +

𝑓′′(0)2! 𝑥2+ ⋯ +

𝑓(𝑛)(0)𝑛! 𝑥𝑛+ 𝑅𝑛(0)

Khai triển bậc 1: sin 𝑥 = 𝑥 + 𝑂[𝑥]2

Khai triển bậc 4: sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥63+ 𝑂[𝑥]5

Khai triển bậc 5: sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

6 + 𝑥5

120+ 𝑂[𝑥]6Khai triển bậc 8: sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

6 + 𝑥5

120− 𝑥7

5040+ 𝑂[𝑥]9Khai triển bậc 9: sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥63+120𝑥5 −5040𝑥7 +362880𝑥9 + 𝑂[𝑥]10

Ta có hình vẽ theo các bậc khai triển của sin 𝑥

Chia đoạn [𝑎, 𝑏] thành 𝑛 đoạn bởi các điểm chia:

𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1< 𝑥𝑛 = 𝑏 và gọi 𝛾 giá trị lớn nhất của các hiệu

∆𝑥 = 𝑥𝑖+1− 𝑥𝑖

Gọi 𝜉 là một điểm thuộc đoạn [𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1]

Nếu giới hạn sau hữu hạn:

lim𝛾→0∑ 𝑓(𝜉𝑖)∆𝑥𝑖𝑛−1

𝑖=0Thì hàm 𝑓(𝑥) là hàm khả tích trên đoạn [𝑎, 𝑏], và giới hạn này gọi là tích phân của hàm 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎, 𝑏], ký hiệu là:

∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎Như vậy:

∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

= lim𝛾→0∑ 𝑓(𝜉𝑖)∆𝑥𝑖𝑛−1

 Một số hàm khả tích

o Nếu 𝑓(𝑥) liên tục trên [𝑎, 𝑏] thì khả tích trên [𝑎, 𝑏]

o Nếu 𝑓(𝑥) đơn điệu và bị chặn trên [𝑎, 𝑏] thì khả tích trên [𝑎, 𝑏]

o Nếu 𝑓(𝑥) bị chặn trên [𝑎, 𝑏] và chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn thì khả tích trên [a,b] Nếu 𝑓(𝑥) khả tích trên [𝑎, 𝑏] thì tổng, hiệu, tích của chúng cũng khả tích trên [𝑎, 𝑏]

 Công thức Newton-Leibnitz

Nếu 𝑓(𝑥) liên tục trên [𝑎, 𝑏] có một nguyên hàm là 𝐹(𝑥) trên [𝑎, 𝑏] thì

∫ 𝑓(𝑥)𝑏𝑎

Đại lượng 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) được kí hiệu b

a x

F( ) gọi là biến phân từ a đến b của 𝐹(𝑥)

I.3.2 Cách tính tích phân bất định của một số hàm hữu tỉ

 Tích phân các phân thức tối giản loại một

 Tích phân các phân thức tối giản loại hai

2)𝑛

Tích phân từng phần:

𝐽𝑛 = u(1 + u2)n+ 2𝑛 ∫ 𝑑𝑢

2𝑎(

2𝑎𝜇

𝜆 − 𝑏) ∫

𝑑𝑥(𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛Tích phân thứ nhất tính được bằng cách đặt: 𝑢 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐

Tích phân thứ hai chính là trường hợp 𝜆 = 0

 Tích phân hàm hữu tỉ đối với sin và cosin

𝐼 = ∫ 𝑓(sin𝑥, cos𝑥)𝑑𝑥 Thực hiện phép đổi biến, đặt: 𝑡 = tg𝑥

2 Khi đó: sin 𝑥 = 2𝑡

1+𝑡 2, cos 𝑡 =1−𝑡2

1+𝑡 2, 𝑑𝑥 = 2𝑑𝑡

1+𝑡 2 Tích phân được đưa về dạng: ∫ (𝑄(𝑡))𝑃(𝑡) 𝑑𝑡

o Nếu 𝑓(sin𝑥, cos𝑥) = 𝑓(−sin𝑥, −cos𝑥) thì đổi biến 𝑡 = tg𝑥 hoặc 𝑡 =cotg𝑥

o Nếu 𝑓(sin𝑥, cos𝑥) = −𝑓(sin𝑥, −cos𝑥) thì đổi biến 𝑡 = sin 𝑥

o Nếu 𝑓(sin𝑥, cos𝑥) = −𝑓(−sin𝑥, cos𝑥) thì đổi biến 𝑡 = cos 𝑥

o Nếu 𝑓(sin𝑥, cos𝑥) = sinm𝑥 cosn𝑥:

 Khi m lẻ thì đổi biến 𝑡 = cos 𝑥

 Khi n lẻ thì đổi biến 𝑡 = sin 𝑥

 Khi m, n chẵn và không cùng dương thì đổi biến 𝑡 = tg 𝑥

 Khi m, n chẵn và cùng dương thì tính tích phân bằng cách tuyến tính hóa

 Hàm hữu tỉ đối với 𝑒𝛼𝑥, α ∈ R

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑒𝛼𝑥)𝑑𝑥 Thực hiện phép đổi biến, đặt: 𝑡 = 𝑒𝛼𝑥 khi đó:

𝐼 = 1

𝑎∫

𝑓(𝑡)

𝑡 𝑑𝑡

I.3.3 Một số tính chất của tích phân xác định

 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đối với tích phân

(∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎

)

2

≤ ∫ 𝑓𝑏 2(𝑥)𝑑𝑥𝑎

 Nếu lim

𝑥→∞

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)= 𝐿 thì các tích phân suy rộng ∫𝑎+∞𝑓(𝑥)𝑑𝑥 và ∫𝑎+∞𝑔(𝑥)𝑑𝑥

sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

 Nếu lim

𝑥→∞

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 0 và ∫𝑎+∞𝑔(𝑥)𝑑𝑥 hội tụ thì ∫𝑎+∞𝑓(𝑥)𝑑𝑥 hội tụ

 Nếu lim

𝑥→∞

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = +∞ và ∫𝑎+∞𝑔(𝑥)𝑑𝑥 thì ∫𝑎+∞𝑓(𝑥)𝑑𝑥 phân kỳ

 Tích phân hàm tuần hoàn

Cho hàm 𝑓(𝑥) khả tích, tuần hoàn chu kỳ 𝑇 khi đó

 Tích phân Euler–Poisson (E-P):

∫ 𝑒−𝑥2𝑑𝑥+∞

 Một số tích phân tương tự tích phân Euler–Poisson:

∫ 𝑥2𝑛𝑒−𝛼𝑥 2

𝑑𝑥+∞

−∞

= (−1)𝑛∫ 𝜕𝑛

𝜕𝛼𝑛𝑒−𝛼𝑥 2

𝑑𝑥+∞

∫ 𝑥2𝑛+1𝑒−𝑥

2

𝛼 2𝑑𝑥+∞

−∞

, 𝑏 ∫ (𝑥4+ sin𝑥)𝑒−3𝑥 2

𝑑𝑥+∞

−∞

, 𝑐 ∫ (𝑥 + 1)3𝑒−𝑥 2

𝑑𝑥+∞

−∞

Lời giải:

𝑎

∫ 𝑥4𝑒−2𝑥2𝑑𝑥+∞

Áp dụng tích phân E-P với 𝑛 =

2, 𝑎 = 2

Áp dụng tích phân E-P với

𝑛 = 2, 𝑎 = 3 cho tích phân thứ nhất

Tích phân thứ 2 bằng 0 vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ, tích phân có cận đối xứng.

Tích phân thứ 1, 3 bằng 0

vì hàm dưới dấu tích phân

là hàm lẻ, tích phân có cận đối xứng.

I.3.4 Một số ứng dụng của tích phân xác định

+ ∫ (sin 𝑥 − cos 𝑥)𝑑𝑥

5𝜋 4 𝜋 4

+ ∫ (cos 𝑥 − sin 𝑥)𝑑𝑥

2𝜋 5𝜋 4 = 4√2 (đơn vị diện tích)

 Tính độ dài đường cong phẳng:

𝐿 = ∫ 1 + 𝑓𝑏 ′2(𝑥)𝑑𝑥𝑎

I.4 Chuỗi số, dãy hàm và chuỗi hàm

5𝜋 4

Nếu lim

𝑛→∞𝑆𝑛 = 𝑆 (hữu hạn) thì nói rằng chuỗi số (1.19) hội tụ và có tổng là S, khi đó kí hiệu là ∑∞ 𝑎𝑘

𝑘=1 = 𝑆 Nếu không xảy ra điều trên nói rằng chuỗi (1.19) phân kỳ

 Điều kiện hội tụ của chuỗi số

Điều kiện cần của chuỗi số hội tụ là số hạng tổng quát 𝑎𝑛 dần đến 0 khi 𝑛 → ∞

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0

 Các tiêu chuẩn hội tụ

 Tiêu chuẩn D’Alembert

Giả sử lim

𝑛→∞

𝑎 𝑛+1

𝑎𝑛 = 𝐷, khi đó:

Nếu 𝐷 > 1 thì chuỗi hội tụ

Nếu 𝐷 < 1 thì chuỗi phân kỳ

Nếu 𝐷 = 1 thì chưa thể kết luận được

 Tiêu chuẩn Cauchy

Giả sử lim

𝑛→∞𝑛 𝑎𝑛 = C, khi đó:

Nếu 𝐶 > 1 thì chuỗi phân kỳ

Nếu 𝐶 < 1 thì chuỗi hội tụ

Nếu 𝐶 = 1 thì chưa thể kết luận được

 Chuỗi Fourier

Cho hàm 𝑓(𝑥) đơn điệu từng đoạn, bị chặn trên đoạn [−𝐿, 𝐿], tuần hoàn chu kỳ 2𝐿 chuỗi hàm có dạng:

Nếu trong [−𝐿, 𝐿] chuỗi Fourier (1.23) hội tụ về chính hàm số 𝑓(𝑥) thì ta nói rằng hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier trên [−𝐿, 𝐿]

𝑎0 = 1

𝜋∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝜋

−𝜋 = 1

0

] = 0

t t

2 lim

9

x

x x

2

x

x x

1

1 lim

2

x

x x x

3 2

x

x x

1

x

x x

16 lim

4 lim

2

x

x x

x

x x

0

sin 2 lim sin 3

x

x x

4

x

x x

3 lim

x  x

59

3

1 lim

3

1 lim 3

1

x

x x

67

1

1lim

1

1lim

2lim

3 lim

2

x

x x

3 4

23 𝑦 = log2log3log5𝑥 24 𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥

25 𝑦 = (sin 𝑥)cos 𝑥 26 𝑦 = (𝑥2+ 1)sin 𝑥

27 𝑦 = logcos𝑥sin 𝑥 28 𝑦 = 2222𝑥

sin(𝑥 + 𝑎) sin(𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 24 ∫

cos 2𝑥sin4𝑥 + cos4𝑥𝑑𝑥

Hướng dẫn giải và đáp số bài tập chương 1

1

u

u u

25 Sin(𝑥)Cos(𝑥)(Cos(𝑥)Cot(𝑥) − Ln(Sin(𝑥))Sin(𝑥))

26.(1 + 𝑥2)Sin(𝑥)(Cos(𝑥)Ln(1 + 𝑥2) +2𝑥Sin(𝑥)

(𝑛)

34 𝑦(𝑛) = [𝑥−12+ 𝑥12](𝑛)

35 −40𝑥Cos(𝑥) − 380Sin(𝑥) + (1 + 𝑥2)Sin(𝑥)

Chương II Phép tính vi phân hàm nhiều biến

II.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số

II.1.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến

 Xét không gian Euclid 𝑛 chiều 𝑅𝑛(𝑛 > 1) Gọi một phần tử 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 là một bộ 𝑛

số thực (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛); 𝐷 là một tập hợp trong 𝑅𝑛

 Khi đó ánh xạ:

𝑓: 𝐷 → 𝑅 xác định bởi:

( 1, 2) ( 1, 2, ( ( 1, 2))

( 1, 2)

II.1.2 Một số hệ tọa độ cơ bản:

 Hệ tọa độ Descartes: Hệ tọa độ Decartes gồm ba trục vuông góc với nhau từng đôi một 𝑥′𝑂𝑥, 𝑦′𝑂𝑦, 𝑧′𝑂𝑧, mà trên đó đã chọn ba vector đơn vị 𝑖→, 𝑗→, 𝑘→ sao cho độ dài ba

vector này bằng đơn vị Vị trí của một điểm M trong không gian hoàn toàn xác định nếu

ta biết được các thành phần toạ độ (𝑎, 𝑏, 𝑐)

𝑂𝑀

Hình 2.3

 Hệ tọa độ cực: Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó mỗi điểm M bất

kỳ trên một mặt phẳng được biểu diễn bằng hai thành phần:

 Khoảng cách r từ điểm đó tới một điểm gốc 𝑂 (gốc cực) gọi là bán kính

 Góc φ tạo bởi đường thẳng 𝑂𝑀 với hướng gốc cho trước (trục cực)

Hình 2.4

 Hệ tọa độ trụ: Cho một hệ tọa độ Descartes vuông góc 𝑂𝑥𝑦𝑧 Tọa độ trụ của điểm

𝑀 trong không gian là bộ ba (𝑟, 𝜑, 𝑧) được xác định như sau:

 𝑟 ≥ 0 là khoảng cách từ gốc tọa độ 𝑂 đến hình chiếu vuông góc 𝑀′ của 𝑀 xuống mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦

 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 là góc (𝑂𝑥, 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ′

 𝑧 là độ cao của điểm 𝑀

Tọa độ trụ liên hệ với tọa độ Descartes vuông góc bởi biểu thức sau:

{𝑥 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑𝑦 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑧 = 𝑧

Hình 2.5

 Hệ tọa độ cầu: Cho một hệ tọa độ Descartes vuông góc 𝑂𝑥𝑦𝑧 Tọa độ cầu của điểm

M trong không gian là bộ ba số (𝑟, 𝜃, 𝜑) được xác định như sau:

 𝑟 ≥ 0 là khoảng cách từ điểm 𝑀 đến gốc tọa độ 𝑂

II.1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến số

 Gọi 𝑀(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛) ∈ 𝑅𝑛 và 𝑁(𝑦1, 𝑦, … , 𝑦𝑛) ∈ 𝑅𝑛 Khi đó khoảng cách giữa 𝑀

và 𝑁, kí hiệu là 𝑑(𝑀, 𝑁), được tính theo công thức:

 Cho hàm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định lân cận 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) có thể trừ điểm 𝑀0 Ta nói hàm 𝑓(𝑀) có giới hạn là 𝐿 khi 𝑀(𝑥, 𝑦) dần đến 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) nếu mọi dãy điểm

𝑀𝑛(𝑥0, 𝑦0) thuộc lân cận dần đến 𝑀0 ta đều có: 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) = 𝐿

Ký hiệu: 𝑙𝑖𝑚

𝑀→𝑀 0𝑓(𝑀) = 𝐿 hay

lim(𝑥,𝑦)→(𝑥 0 ,𝑦0)𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 (2.4)

Như vậy với mỗi giá trị 𝑐 khác nhau thì 𝑙𝑖𝑚

2 𝑥+𝑦 = 2 Theo định lý thông thường

về giới hạn của thương

II.2 Biểu diễn hình học của hàm số 2 biến số

Trong không gian ba chiều 𝑂𝑥𝑦𝑧 đồ thị của hàm hai biến 𝑓(𝑥, 𝑦) với (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3thường là một mặt cong Sau đây là một số mặt cong đặc biệt có nhiều ứng dụng trong vật lý:

 Mặt phẳng

Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính, phương trình mặt phẳng có dạng: