Công thức toán cho vật lý

 Một số phương trình lươ ̣ng giác thường gặp 1.. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a.. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phư

KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ ÁP DỤNG CHO VẬT LÍ

I- PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:

 Phương trìng lươ ̣ng giác cơ bản:

* sinx=sin  



























2

; 2

k x

Z k k x

* cosx = cos 

























2

; 2

k x

Z k k x

* tanx =tan  x =  +k ; kZ * cotx =cot  x=  +k kZ

 Phương trìng lươ ̣ng giác cơ bản đặc biệt :

* sinx =0  xk *cosx =0  x k

2

* sinx =1  2

2 k

x 

 *cosx =1xk2 vớ i k Z

* sinx = -1  2

2 k

x 

 *cosx =-1 x k2 arcsin + 2

sin + 2







arc os + 2

sin + 2

x arc a k









       

4

4









-

-

-

6 0



6



4



3



2

2

3

3

4

5

độ -180 o

2

-2

-1

2 0

1

2

3

3

2

2

2

1

2

2

2

3

2 1

3

2

2

2

1

1

-2

-3

3 0 1

-1

1

-1

Chú ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại:

 

180

x   x rad

 



; x rad( ) 180.x



 

 



kZ

kZ

- arc cosa + k2 

tan x    a x arc tan + a k  , k  

c x   a c x  c    x   k k  

kZ

kZ

4

2

4

 

 

 







kZ

kZ

kZ

kZ

kZ

kZ

1800



 ; 90

2

0





 Một số phương trình lươ ̣ng giác thường gặp

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công

thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản

b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng

a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình

này ta đặt t bằng hàm số LG (Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2

a b c

Cách giải : Chia hai vế phương trình cho a2b2 , ta được:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

Đặt:

2a 2 cos ; 2b 2 sin

  Khi đó phương trình tương đương:

2 2

cos sinx sin cosx c

a b

 hay sinx  2c 2 sin

a b



3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:

Dạng: asin2

x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*)

Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với

2

x  k

+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2

x ta được: atan2x+btanx+c=0

Chú ý: 12 tan2 1

2

 

     

4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

Dạng: a(sinx  cosx)+ bsinxcosx=c Cách giải: Đặt t= sinx  cosx Điều kiện  t  2

II- CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

1) Công thức cộng:

 cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

 cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

 tan(a - b) = tana - tanb

1 + tana.tanb

 sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

 tan(a + b) = tana + tanb

1 - tana.tanb

 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

2) Công thức nhân đôi :

 sin2x = 2sinxcosx

 cos2x = cos 2

x – sin2x = 2cos2x - 1

= 1 – 2sin2x

 tan2x = 2 2

1

tanx tan x



 cot2x =

2 1 2

cot x

cotx



3) Công thức nhân 3:

 sin3x = 3sinx4sin3x

 cos3x = 4cos 3

x – 3cosx

 tan3x =

3 2

3

1 3

tanx tan x

tan x





4) Công thức hạ bậc:

os

2

cos x

c x 



 2 1 os2 sin

2

c x

x 

5) Công thức tích thành tổng.

 cosxcosy=

1

2 cos xy cos xy

 sinxcosy=

 ( ) ( ) 2

1

y x Sin y x Sin   

 sinxsiny=

1

2 cos x y cos x y

6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:

 sinx + siny = 2sin

x y x y cos

   

   

   

 sinx – siny = 2 os

x y x y

c   sin  

   

   

 cosx + cosy = 2 cos

x y x y cos

   

   

   

 cosx – cosy = 2sin

x y x y sin

   

   

 tanx + tany = ( )

cos

sin x y xcosy



 tanx – tany = ( )

cos

sin x y xcosy



 cotx + coty = ( )

sin

sin x y xsiny



 cotx – coty = ( )

sin

sin y x xsiny



III- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT 1) Cung đối nhau:

 cos(–x) = cosx

 sin(–x) = – sinx

 tan(–x) = – tanx

 cot(–x) = – cotx

2) Cung bù nhau:

 sin( x)sinx

 cos( x)cosx

 tan( x)tanx

 cot( x)cotx

3) Cung hơn kém:

 sin( x)sinx

 cos( x)cosx

 tan( x) tanx

 cot( x) cotx

4) Cung phụ nhau

 sin )

2

( x

= cosx  cosx = sin (900 – x )

 cos )

2

( x

= sinx  sinx = cos (900 – x )

 tan )

2

( x

= cotx  cotx = tan (900 – x )

 cot )

2

( x

= tanx  tanx = cotx (900 – x )

5) Cung hơn kém

 sin( )

2 x cosx

  

 cosx = sin (900 + x )

 cos )

2 ( x

= sinx - sinx = cos (900

+ x )

 tan )

2 ( x

= cotx  - cotx = tan (900

+ x )

 cot )

2 ( x

= tanx  - tanx = cotx (900

+ x )

Ghi nhớ: Cos đối – Sin bù – Phụ chéo

 t anx= sinx , (x k )

cosx 2



  

 c otx= cosx , (x k )

sinx  

 sin x2  cos x 12 

2

1

1 tan x,(x k )

2 cos x



    

2

1

 t anx.cotx=1,(x k )

2





sin x  c os x  (sinx  cos )(1 sinx.cos ) x  x

sin x  c os x  (sinx  cos )(1 sinx.cos ) x  x

sin cos 1 sin 2

2

sin cos 1 sin 2

4

1 sin 2  x  sin x  cos x

x x sin x   cos x  

x x sin x    cos x  