Một số tính chất của hình tứ diện

Định nghĩa 3 Trong một tứ diện, đoạn thẳng nối mỗi đỉnh và trọng tâm của mặt đối diện được gọi là đường trung tuyến.. Định lý 1 Trong hình tứ diện, bốn đường trung tuyến và ba đường tru

mét sè tÝnh chÊt cña h×nh tø diÖn

(khãa luËn tèt nghiÖp)

Mục lục

2.1 Tứ diện vuông Một số tính chất của tứ diện vuông 26 2.2 Tứ diện trực tâm Một số tính chất của tứ diện trực tâm 33 2.3 Tứ diện gần đều Một số tính chất của tứ diện gần đều 41

Đặc điểm quan trọng nhất của hình học không gian là được cấu trúc theo

hệ tiên đề Các chứng minh được suy luận chặt chẽ, có căn cứ

Đặc điểm thứ hai là học sinh phải vẽ hình dựa vào các tính chất của phép chiếu song song và trí tưởng tượng không gian

Hiện nay trong các trường THPT một tình trạng vẫn còn tồn tại đó là một

bộ phận không nhỏ học sinh chưa hình dung được hình học không gian, không biết vẽ hình cũng như giải toán Bên cạnh đó nhiều giáo viên cũng gặp khó khăn trong quá trình dạy học hình học không gian Với mục đích giúp cho học sinh có cái nhìn rõ ràng, sâu sắc, cụ thể hơn về một đối tượng hình học, tôi quyết định chọn đề tài: “Một số tính chất của hình tứ diện”

Trong khoá luận này chúng tôi nghiên cứu các tính chất của tứ diện bằng phương pháp tổng hợp, xét một số tứ diện đặc biệt và một số bài toán về tứ diện Trước hết đề tài này hữu ích đối với tác giả và sau đó là tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên Toán THPT, sinh viên các trường ĐHSP Toán, ngoài ra nó còn có ích cho sự phát triển khả năng tư duy hình học của học sinh

Ngoài lời nói đầu, mục lục tham khảo, khoá luận gồm 60 trang chia làm

ba chương:

Chương 1 Hình tứ diện

Chương 2 Một số loại tứ diện đặc biệt

Chương 3 Một số bài toán liên quan đến tứ diện

Chương 1 trình bày khá đầy đủ các tính chất chung của tứ diện, ngoài ra còn đề cập đến mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp, mặt cầu giả nội tiếp và mặt cầu giả bàng tiếp của tứ diện Khái niệm và tính chất của các tứ diện đặc biệt

được trình bày ở chương 2 một cách cụ thể và khoa học Chương 3 gồm một số bài toán hay về tứ diện để giúp bạn đọc áp dụng và hiểu sâu hơn các tính chất của hình tứ diện đã được trình bày ở hai chương trước

Mặc dù đã rất cố gắng tuy nhiên do hạn chế về thời gian cùng vốn kiến thức của bản thân nên hình vẽ chưa được đẹp và tài liệu sẽ không tránh khỏi những hạn chế, rất mong nhận được sự hướng dẫn của các thầy cô và sự góp ý của bạn bè để khoá luận được hoàn thiện hơn

Qua đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong hội đồng Khoa học, các thầy cô giáo trong khoa KHTN và các bạn sinh viên lớp K2_ sư phạm Toán đã tạo mọi điều kiện quan tâm giúp đỡ Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Chí Thanh đã dành thời gian đọc và sửa chữa bản thảo giúp đỡ tôi hoàn thành được khoá luận

Phú Thọ, ngày 30 tháng 04 năm 2008 Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hiền

Các kí hiệu viết tắt trong khoá luận

+) mp (P): mặt phẳng (P)

+) SABC : diện tích tam giác ABC

+) VABCD: thể tích tứ diện ABCD

+) hA, hB, hC, hD: độ dài các đường cao của tứ diện xuất phát từ các đỉnh A, B, C,

D

+) R, r: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp tứ diện

+) S ,xq S : Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của tứ diện tp

+) (α ) ≡ β( ): Hai mặt phẳng ( α ) và β( ) trùng nhau

+) ⊂ αd ( ) : Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( α )

+) d // ( ): Đường thẳng d song song với mặt phẳng (α ) α

+) ⊥ αd ( ): Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( α )

Chương 1 hình tứ diện 1.1 Tứ diện Một số tính chất của hình tứ diện

1.1.1 Định nghĩa 1

Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Ba trong bốn điểm đó xác

định một miền tam giác Có bốn miền tam giác đó là ABC, ABD, ACD, BCD Hình gồm bốn miền đó được gọi là hình tứ diện và kí hiệu là ABCD

Trong một hình tứ diện ABCD:

- Mỗi một miền tam giác được gọi là một mặt của hình tứ diện

- Các điểm A, B, C, D được gọi là các đỉnh của hình tứ diện

- Các cạnh của các tam giác (6 đoạn thẳng) được gọi là các cạnh của hình tứ diện

- Hai cạnh của tứ diện không có điểm chung được gọi là hai cạnh đối diện

- Mỗi đỉnh có một mặt đối diện với nó, là mặt không chứa đỉnh đó

Chú ý

Ta cũng có thể định nghĩa tứ diện thông qua khái niệm hình chóp như sau: Trong mặt phẳng (P) cho đa giác lồi n cạnh A1A2 An và cho một điểm S nằm ngoài (P) Hình gồm các miền tam giác S A1 A2, S A2 A3, , S An A1 và miền đa giác A1A2 An được gọi là hình chóp, kí hiệu là S.A1 A2 An

- Miền đa giác được gọi là đáy của hình chóp

- Các tam giác S A1 A2, S A2 A3, , S An A1 được gọi là các mặt bên của hình chóp

- Khi n = 3, ta có hình chóp S.ABC, và cũng là hình tứ diện hoặc hình chóp tam giác

1.1.2 Định nghĩa 2

Đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện được gọi là

đường trung bình của tứ diện ấy Một tứ diện có ba đường trung bình

1.1.3 Định nghĩa 3

Trong một tứ diện, đoạn thẳng nối mỗi đỉnh và trọng tâm của mặt đối diện

được gọi là đường trung tuyến Một tứ diện có bốn đường trung tuyến

1.1.4 Định lý 1

Trong hình tứ diện, bốn đường trung tuyến và ba đường trung bình đồng quy tại một điểm, điểm đó được gọi là trọng

tâm của tứ diện

Trọng tâm của tứ diện có tính chất là trung

điểm của các đường trung bình và ở 3

4 mỗi

đường trung tuyến kể từ đỉnh

Chứng minh

Giả sử ABCD là hình tứ diện Gọi M, N,

P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC, CD, DA, AC, BD

Gọi G là trung điểm của MP (hình 1)

Ta chứng minh ba đường trung bình của tứ diện đồng quy tại một điểm

Do MQ // BD và MQ = 1

2BD

NP // BD và NP = 1

2BD nên MNPQ là hình bình hành Vì vậy MP và NQ giao nhau tại trung điểm G của mỗi đường

Tương tự ta cũng có EFMP là hình bình hành

nên EF cũng nhận trung điểm G của MP làm

trung điểm

Vậy ba đường trung bình MP, NQ, EF đồng quy

tại trung điểm G của mỗi đường

Ta đi chứng minh bốn đường trung tuyến đồng

Hình 2 C

A

M Q

E G

B D

F

N P

C Hình 1

Giả sử AG giao với BP tại A’ Ta chỉ ra A’ là trọng tâm của tam giác BCD (hình 2)

Thật vậy, trong mặt phẳng (ABP) kẻ MM’ // AA’ (M’ thuộc BP)

Vì M là trung điểm của AB nên M’ là trung điểm của BA’ Trong tam giác PMM’ có G là trung điểm của PM, GA’ // MM’ nên A’ là trung điểm của PM’ Vậy BM’ = M’A’ = A’P suy ra A’ là trọng tâm của tam giác BCD

Vậy bốn đường trung tuyến đồng quy tại G

Lại có GA’ là đường trung bình của tam giác PMM’ nên GA’ = 1

2MM’; MM’ là

đường trung bình của tam giác BAA’ nên MM’ = 1

2AA’ Suy ra GA’ = 1

A’ N

Hình 3 C

VABCD = 4VGBCA

Vậy VGBCD = VGACD = VGBAD = VGBCA =1

4 VABCD 1.1.5 Định lý 2

Mọi mặt phẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện trong một tứ diện,

đều chia khối tứ diện đó thành hai khối tương đương

Chứng minh

Giả sử ABCD là hình tứ diện Gọi I, J là trung điểm của AB và CD; (α ) là mặt phẳng bất kì chứa I, J và cắt AC và BD tại E và F

Dễ thấy IE, JF và BC song song với nhau từng đôi một hoặc đồng quy tại K

Xét trường hợp IE, JF và BC song song với nhau từng

đôi một Khi đó E, F là trung điểm của AC và BD

Suy ra kết quả là hiển nhiên

Xét trường hợp IE, JF và BC đồng quy tại K (hình 4),

ta có: V1 = VADJEIF = VAIEJF + VADJF

V2 = VBCIEJF = VBIEJF + VBJEC

Do IA = IB nên VAIEJF = VBIEJF

Mặt khác: VAJFD = 1

3 hA.SJFD (hA là đường cao của hình chóp A.JFD hạ từ A)

VBJEC = 1

3 hE.SBCJ (1) (hE là đường cao của hình chóp E.BCJ hạ từ E)

F D

B E

J

C

K Hình 4

1.1.6 Định lý 3

Tỉ số thể tích của hai khối tứ diện có một góc tam diện bằng nhau, bằng

tích các tỉ số của các cạnh của góc tam diện đó

Chứng minh

Giả sử SABC và SA’B’C’ là hai

khối tứ diện có góc tam diện đỉnh S

bằng nhau Khi đó ta có thể coi: A’

thuộc SA, B’ thuộc SB, C’ thuộc SC Ta

A

S β C

α H C’ H’

D

B B’

Hình 5

Ta cÇn chøng minh víi tø diÖn

ABCD bÊt k× lu«n cã

(AC + BD)2 + (AD + BC)2 > (AB + CD)2

ThËt vËy gäi O, M, N, P, Q lÇn l−ît lµ

trung ®iÓm cña DC, AC, BC, DB, DA

(h×nh 6) ThÕ th× MNPQ lµ h×nh b×nh

hµnh vµ do O kh«ng n»m trong mÆt ph¼ng

(MNPQ), nªn MOP vµ NOQ lµ c¸c tam

gi¸c thùc sù Theo tÝnh chÊt c¸c c¹nh cña

D

Q O

A P C

M

N

B

H×nh 6

(
AOB AOC AOD BOC COD DOB ) > 3 π +
+
+
+
+

Thật vậy gọi I là giao điểm của đường thẳng DO và mặt phẳng (ABC), K là giao

điểm của đường thẳng AI và BC (hình 7)

Ta biết rằng trong một góc tam diện, độ lớn của một mặt nhỏ hơn tổng độ lớn của hai mặt kia nên

AOB BOC AOB BOK KOC AOK KOC

Vậy
AOB BOC+
> (π ưAOD) (
+ π ưDOC)

Hay
AOB BOC+
+
AOD DOC+
> 2 π ( )1

Chứng minh tương tự ta có:

AOB COD AOC BOD+
+
+
> 2 π, ( )2

AOC DOB AOD BOC+
+
+
> 2 π ( )3

Cộng theo vế của ( )1 , ( )2 , ( )3 ta được:

2(
AOB AOC AOD BOC COD DOB+
+
+
+
+
) > 6 π

Suy ra (
AOB AOC AOD BOC COD DOB+
+
+
+
+
) > 3 π (đpcm)

D O C

K

B

Hình 7

Ta sẽ chỉ ra ba mặt của góc tam diện này đều nhọn:

Thật vậy nếu trong ba mặt của góc tam diện này có một góc tù thì nó lớn hơn tổng của hai mặt còn lại Như vậy sẽ mâu thuẫn với tính chất: “Trong một góc tam diện tổng của hai mặt sẽ lớn hơn mặt còn lại”

Suy ra trong một tứ diện bất kì, bao giờ cũng

có ít nhất một góc tam diện mà cả ba mặt đều

nhọn

1.1.10 Định lý 7

Trong một tứ diện, mặt phẳng phân giác

của một nhị diện chia cạnh đối thành hai đoạn

tỉ lệ với diện tích hai mặt bên là hai mặt của

nhị diện

Chứng minh

Giả sử SABC là một tứ diện

Ta xét góc nhị diện cạnh SB bằng α và mặt phẳng phân giác của nó cắt AC tại I (hình 8)

Kẻ các đường cao AM, CN của các tam giác SAB, SBC Gọi AH, KC lần lượt là các đường cao của tứ diện ASBI và CSBI thì:

1.1.11 Định lý 8 (Định lý hàm số sin cho tứ diện)

Trong một tứ diện tích của các cặp cạnh đối chia cho tích của sin các nhị diện của từng cặp đó là bằng nhau

Hình 8

Bổ đề 1

Gọi α , V là góc nhị diện cạnh AB và thể tích của tứ diện ABCD Khi đó

ta có =2SABC ABDS sinα

Trở lại bài toán ta giả sử AB = a, CD = c là hai cặp

cạnh đối diện của tứ diện ABCD Gọi α và β tương ứng là các góc nhị diện cạnh AB, CD của tứ diện đó Đặt S1 = SABC, S2 = SABD, S3 = SBCD,S4 = SACD

sin sinα β= 9V (1) Vì vế trái (1) là biểu thức hoàn toàn bình đẳng với các cạnh và sin α , sinβ của

các góc nhị diện tương ứng, nên 1 2 3 4

2

4S S S S9V là giá trị chung cho tỷ số của tích các cặp cạnh đối tứ diện với tích các sin của các nhị diện của từng cặp cạnh đối

đó

Chú ý

Nếu gọi AB = a; BC = b; CD = c; DA = d; AC = e; BD = f và α γ β δ θ ω, , , , , tương ứng là góc nhị diện của các nhị diện cạnh a, b, c, d, e, f thì Định lý 8 cho

Chứng minh

Giả sử ABCD là hình tứ diện Xét mặt

phẳng ( α ) đi qua AB song song với MN, ở

đây M là trung điểm của cạnh CD (hình 10)

Giả sử I là trung điểm của AB, và G là trung

điểm của IM, (nh− vậy G là trọng tâm của tứ

diện)

Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua G thì suy

ra tứ giác INMN’ là hình bình hành suy ra

Chứng minh

Giả sử ABCD là hình tứ diện Xét mặt phẳng ( α ) đi qua trung điểm I của

AB và vuông góc với CD

Hình 10

Gọi J là trung điểm của CD và G là trung điểm

của IJ Khi đó G là trọng tâm của tứ diện (hình

11) Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện

và O’ đối xứng của O qua G

Khi đó IO’JO là hình bình hành nên IO’// OJ

Do OA = OB = OC = OD, mà J là trung điểm

của CD nên OJ ⊥ CD suy ra IO’ ⊥ CD

Vậy ( α ) là mặt phẳng vuông góc với CD và

qua I mà IO’ ⊥ CD

Suy ra IO’⊂ ( α ) hay ( α ) qua O’

Lập luận tương tự, cả 5 mặt còn lại đều đi qua O’ Như vậy cả 6 mặt phẳng đều

đi qua O’, đó là điểm đối xứng của tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện qua trọng tâm

G tức là 6 mặt phẳng đã cho giao nhau tại một điểm O’

1.1.14 Định lý 11

Sáu mặt phẳng trung trực của các cạnh của một tứ diện đồng quy tại một

điểm, điểm đó cách đều 4 đỉnh của tứ diện và gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Chứng minh

Cho tứ diện ABCD Gọi I là giao điểm của ba

đường trung trực của tam giác BCD Suy ra I là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD (hình 12)

Hai mặt trung trực của hai cạnh BC và CD có điểm

chung I, nên phải cắt nhau theo giao tuyến d

Suy ra d ⊥ (BCD)

Hai mặt phẳng trung trực của BD và CD cũng có

chung điểm I, nên phải cắt nhau theo giao tuyến d’

I

C Hình 12

J

C Hình 11

Cạnh AB xiên góc so với mặt phẳng (BCD), nên mặt phẳng trung trực của AB cắt

đường thẳng d tại một điểm O

Suy ra O là điểm chung của bốn mặt trung trực của bốn cạnh BC, CD, DB và AB, vì vậy OB = OC = OD = OA Các đẳng thức OC = OA và OD = OA chứng tỏ O cũng đồng thời thuộc các mặt trung trực của AC và AD

Vậy O là giao điểm của sáu mặt phẳng trung trực của các cạnh của tứ diện đã cho, O cũng chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó

1.1.15 Định nghĩa 4

Mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện của một tứ diện gọi là mặt phẳng trung diện của tứ diện đó

1.1.16 Định lý 12

Sáu mặt phẳng trung diện đồng quy tại trọng

tâm tứ diện Mỗi mặt phẳng đó chia khối tứ diện

thành hai phần tương đương

Chứng minh

Giả sử ABCD là hình tứ diện Gọi M, N, P, Q,

E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD,

DA, AC, BD (hình 13) Khi đó MP, NQ, EF đồng

quy tại trọng tâm G của tứ diện

Suy ra các mặt phẳng (ABP), (CDM), (AND), (BCQ), (ACF), (BDE) là mặt phẳng trung diện của tứ diện và sáu mặt phẳng trung diện này đồng quy tại trọng tâm của tứ diện

Vì mỗi mặt phẳng này đều đi qua đường trung bình của tứ diện nên theo Định lý

2 mỗi mặt phẳng này chia khối tứ diện thành hai phần tương đương Ta có đpcm

1.2 Mặt cầu nội, ngoại tiếp tứ diện

1.2.1 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

N P

C

Hình 13

Giả sử A1A2…An là một đa giác nội tiếp Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp

đáy Qua H dựng đường thẳng vuông góc với đáy (A1A2…An) Dựng mặt phẳng trung trực ( η) của một cạnh bên bất kỳ của chóp (chẳng hạn cạnh SA1) Do ∆ không song song với ( η) nên ∆ ∩ (η) = O

Khi đó: OS = OA1 = OA2 = … = OAn

Chứng tỏ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đa giác S.A1A2…An

Vậy điều kiện cần và đủ để hình chóp S.A1A2…An nội tiếp trong mặt cầu là đa giác đáy A1A2…An phải là đa giác nội tiếp

Như vậy tứ diện luôn tồn tại mặt cầu ngoại tiếp

Từ đó ta có cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện SA1A2A3 như sau:

- Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy A1A2A3

- Dựng đường thẳng ∆ vuông góc với đáy A1A2A3 tại H

- Vẽ một mặt phẳng trung trực ( η) của một cạnh bên bất kỳ của hình chóp

- Giả sử ∆ ∩ (η) = O Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần dựng

1.2.2 MÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn

1.2.2.2 §Þnh lý 14

Trong mét tø diÖn ta lu«n cã

tp

3VrS

= víi r, V vµ Stp t−¬ng øng lµ b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp, thÓ tÝch vµ diÖn tÝch toµn phÇn cña tø diÖn

= với r, V và Stp tương ứng là bán kính mặt cầu nội tiếp, thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp

G1G2 // AB, G1G4 //AD, G1G3 // AC Vậy

hai tứ diện ABCD và G1G2G3G4 là hai tứ

diện đồng dạng theo tỉ số 1

3 Gọi R’ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G1G2G3G4 thì R' R

1.2.2.4 Định lý 16

Gọi r, V là bán kính mặt cầu nội tiếp và thể tích của tứ diện A1A2A3A4;

h1, h2, h3, h4 tương ứng là chiều cao của hình tứ diện kẻ từ A1 , A2 , A3 , A4

Khi đó ta có

h +h + h + h = rChứng minh

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp của tứ diện tứ diện đã cho và gọi V1, V2, V3, V4lần lượt là thể tích của các hình chóp đỉnh I với các đáy A2A3A4, A1A3A4,

Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh (không

kể phần kéo dài) của tứ diện

Chứng minh

+) Điều kiện cần

Giả sử tồn tại mặt cầu tâm O, tiếp xúc với

AB, BC, CD, DA, AC, BD tại M, N, P, Q, R, S

Giả sử đã có (1) Gọi (O1, r1), (O2, r2) là các đường tròn nội tiếp ∆BCD,

∆ACD và các tiếp điểm trên CD tương ứng là P’ và P

Khi đó dễ dàng chứng minh:

O1O ⊥ (BCD) hay OO1 là trục đường tròn nội tiếp ∆BCD

Ta cũng có OO2 là trục đường tròn nội tiếp ∆ACD Hai trục này cắt nhau tại O Tương tự ta chứng minh được các trục của các đường tròn nội tiếp các mặt của tứ diện đôi một cắt nhau Vì không có ba trong bốn trục nào đồng phẳng nên chúng

A

M Q

R S

B D

đồng quy (tại O) Khi đó O cách đều các cạnh của tứ diện nên O là tâm mặt cầu giả nội tiếp tứ diện Ta có đpcm

Khi nghiên cứu về mặt cầu giả nội tiếp tứ diện ta thường xét trường hợp

đặc biệt là tâm mặt cầu giả nội tiếp nằm trên một cạnh của tứ diện Điều kiện cần

và đủ để tồn tại mặt cầu đó được trình bày ở định lý sau:

1.2.3.3 Định lý 18

Điều kiện cần và đủ để tồn tại một mặt cầu có tâm nằm trên cạnh AB của

tứ diện ABCD đồng thời tiếp xúc với các cạnh AC, AD, BC, BD là AC = AD và

BC = BD

Chứng minh

+) Điều kiện cần

Giả sử mặt cầu tâm S với S nằm trên AB

tiếp xúc với các cạnh AD, AC, BC, BD lần lượt

tại các điểm M, N, Q, P (hình 19)

Vì BP = BQ, SP = SQ nên SBP∆ = ∆SBQ

Suy ra
SBC SBD.=
Tương tự
SAD SAC.=

Vậy ∆ABD = ∆ABC hay AD = AC, BC = BD

+) Điều kiện đủ

Giả sử AC = AD, BC = BD, khi đó ∆ ABD = ∆ ABC

Suy ra
DAB CAB=
(1)

Đường phân giác trong của góc
ADB cắt AB tại S thì SA AD AC

A N C

P

S Q

B

Hình 19

tại N, P, S đồng thời tiếp xúc với

các tia đối của các tia BA, CA,

Từ (1) và (2) suy ra OO1⊥ mp(BCD) và OO2⊥ mp(ABC) Vậy O cách đều các

đường thẳng BC, CD, DB, AC, AB Tương tự nếu gọi O3 là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ACD (ứng với đỉnh A) thì cũng có OO3 ⊥ mp (ADC)

Từ đó O cách đều các đường thẳng AD, AC, CD Vậy O là tâm mặt cầu giả bàng tiếp trong góc tam diện đỉnh A

Hệ quả 2

Mọi tứ diện gần đều (xem 2.3.1) luôn tồn tại mặt cầu giả bàng tiếp

Kết luận chương 1

Chương này gồm 8 định nghĩa, 19 định lý, 2 hệ quả và 1 bổ đề về tứ diện

Từ định lý 1 đến định lý 12 thể hiện các tính chất chung của tứ diện, đó là các tính chất về trọng tâm, mối liên hệ giữa các cạnh, thể tích của tứ diện và các mặt phẳng đặc biệt Các tính chất về mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, giả nội tiếp và giả bàng tiếp tứ diện được trình bày khá đầy đủ từ định lý 13 đến định lý 19 Mỗi loại mặt cầu đều có định nghĩa, điều kiện tồn tại và cách xác định tâm Mặt cầu giả nội tiếp và giả bàng tiếp là vấn đề mới, mở rộng hơn so với chương trình Toán phổ thông, tạo điều kiện thuận lợi cho bạn đọc muốn tìm hiểu thêm về các loại mặt cầu

D’ C’

A’ B’

D C

Một tứ diện được gọi là tứ diện vuông nếu

nó có một góc tam diện vuông Mặt đối diện với

góc tam diện vuông gọi là mặt huyền, các mặt còn

lại gọi là mặt vuông

Ví dụ

Trong hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ thì khối

tứ diện ABDA’ có ABD, ABA’, ADA’ là các tam

giác vuông tại A, vậy ABDA’ là tứ diện vuông

(hình 22) Khi đó ABA’, ABD, ADA’ được gọi là các mặt vuông, BDA’ được gọi

là mặt huyền

2.1.2 Định lý 20

Cho tứ diện vuông SABC, đỉnh S với SA = a, SB = b, SC = c, đường cao

SH = h Khi đó ta có:

a) Tam giác ABC là tam giác nhọn

b) a2tgA = b2tgB = c2tgC với A, B, C là các góc của tam giác ABC

c) H là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi SH vuông góc với mặt phẳng (ABC)

cos + cos + cos = 1

h) (AB+BC+CA)2 ≤ 6(SA2+SB2+SC2)

Chøng minh

a) XÐt ∆SBC vu«ng t¹i S (h×nh 23) ta cã:

BC2 = SB2 + SC2 = b2 + c2

∆SAB vu«ng t¹i S ta cã: AB2 = SA2 + SB2 = a2 + b2

∆SAC vu«ng t¹i S ta cã: AC2 = SA2 + SC2 = a2 + c2

¸p dông §Þnh lý hµm sè cosin cho tam gi¸c ABC

VËy tam gi¸c ABC nhän

b) Ta cÇn chøng minh a2tgA = b2tgB = c2tgC (A, B, C lµ c¸c gãc trong cña tam gi¸c ABC vµ SA = a, SB = b, SC = c)

Trong mp(ABC) kÎ AA’ ⊥ BC (h×nh 24)

A’

B

H×nh 24

(⇐) Giả sử SH⊥(ABC), ta chứng minh H là

trực tâm tam giác ABC

Thật vậy trong mặt phẳng (ABC), AH cắt BC tại

Vậy H là trực tâm tam giác ABC

d) Trong tam giác vuông ASM (hình 25), đỉnh S với đường cao SH thuộc cạnh huyền ta có 12 = 12 + 1 2

SH SA SM (3) Tương tự trong tam giác vuông SBC với đường

cao SM thuộc cạnh huyền ta có

tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ta cần chứng

B Hình 26

Trong mặt phẳng xác định bởi SA và Mx, dựng trung trực của SA (tức là qua trung điểm N của SA và song song với SM) Đường thẳng này cắt Mx tại I

Dễ thấy IA = IB = IC = IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC

Trong (SA, Mx), giả sử SI ∩AM = G Theo Định lý Talet có:

Do G nằm trên trung tuyến AM, mà AG

GM = 2 suy ra G là trọng tâm tam giác ABC Nói cách khác ba điểm S, G, I thẳng hàng

Mặt khác (AB + BC + CA)2 = AB2 + BC2 + AC2 + 2AB.BC + 2.AB.CA + 2.BC.CA ≤ AB2 + BC2 + AC2 + (AB2 + BC2) + (AB2 + CA2) + (BC2 + CA2)

= 3.( AB2 + BC2 + AC2)

Vậy (AB + BC +CA)2 ≤ 6.(SA2 + SB2 +SC2)

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi AB = BC = CA ⇔ SA = SB = SC

2.1.3 Định lý 21

Cho tứ diện vuông SABC, đỉnh S, H là trực tâm tam giác ABC Khi đó thì: a) S2SAB =SHAB.SABC

b) S2ABC =S2SAB+S2SBC+S2SAC.(Định lý Pitago trong tứ diện vuông)

c) SSAB+SSBC+SSCA ≤ 3.SABC

c) Theo bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có

SAB SBC SAC

S +S +S ≤ (1+1+1)(S2SAB+SSBC2 +SSAC2 ) = 3 S2ABC= 3.SABC

Vậy ta có: 3.SABC ≥SSAB+SSBC+SSAC

B

Hình 28

2.1.4 Định lý 22

Cho tứ diện vuông OABC đỉnh O với OA = a, OB = b, OC = c,

OAB 1 OBC 2 OCA 3

S =S , S =S , S =S và SABC = Gọi r là bán kính mặt cầu nội Stiếp tứ diện OABC thì ta có

S +S +S -S1 2 3

r =

a + b+c Chứng minh

áp dụng công thức r =

tp

3.V

S (1) với V, S tương ứng là thể tích, diện tích tptoàn phần của tứ diện

Gọi OABC là tứ diện vuông đỉnh O với OA = a, OB = b, OC = c, S1 = SOAB,

S2 = SOBC, S3 = SOCA và S = SABC ta có

ab + bc + ac + a b + b c + a c2

a + b + c ab+ bc+ ac+ a b + b c + a c2R

R r.h 3 Chøng minh

Ta còn phải chứng minh 2(ab + bc + ca)2 2 2 2

33(a + b + c ) ≤ (3)

Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ (là hình hộp có

tất cả các mặt là hình thoi) Tứ diện ACB’D’ là tứ

diện trực tâm vì có AB’ ⊥ CD’, AC ⊥ B’D’, AD’

⊥ B’C (Hình 29)

2.2.2 Định lý 25

Điều kiện cần và đủ để một tứ diện là tứ

diện trực tâm là một trong những tính chất sau được thỏa mãn:

a) Các đường cao của tứ diện đồng quy

b) Đường cao của tứ diện đi qua trực tâm của mặt đáy tương ứng

c) Các đường thẳng nối các trung điểm của các cặp cạnh đối bằng nhau

d) Tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng nhau

Chứng minh

a) Tứ diện ABCD là tứ diện trực tâm khi và chỉ khi các đường cao đồng quy (⇒) Giả sử ABCD là tứ diện trực tâm, ta cần chứng minh các đường cao của tứ diện đồng quy

Giả sử AA1 là đường cao hạ từ A (hình 30) Ta có:

BC⊥AA1 (do AA1⊥(BCD))

BC⊥AD (vì ABCD là tứ diện trực tâm)

B C

A

D B’ C’ A’ D’

Hình 29