đại số tổ hợp 11

Đại số Tổ hợp không chỉ có trong lĩnh vực giảng dạy và nghiên cứu, mà còn ứng dụng trong công nghệ thông tin, Điện – Điện tử và các ngành kinh tế – kỹ thuật.. Chúng tôi hy vọng với quyển

Nguyễn Phú Khánh

   

TỰ LUẬN VÀ TRẮÉC NGHIỆM

ĐẠI SỐ TỔ HỢP

TẬP 1

Lời Mở Đầu

Các em học sinh thân mến! Trong những năm gần đây những đề thi hay thường có một lượng nhỏ dạng toán tổ hợp Từ đó thấy rằng Đại số Tổ hợp chiếm một vị trí khá quan trọng Đây là dạng toán tương đối khó, khá hay, khổ thay hơn nữa tài liệu tham khảo hoàn chỉnh phần này không nhiều lắm Hiện nay có rất nhiều tài liệu về Đại số tổ hợp không phù hợp với sự tự học và ôn luyện, mà phù hợp cho học sinh chuyên chọn Bởi vậy, chúng tôi đã nghiên cứu và tinh lọc những dạng toán hỗn hợp phù hợp và bám sát chương trình của Bộ Giáo Dục ban hành Do vậy tài liệu này đã được nhiều bạn đọc và đồng nghiệp đánh giá cao

Đại số Tổ hợp không chỉ có trong lĩnh vực giảng dạy và nghiên cứu, mà còn ứng dụng trong công nghệ thông tin, Điện – Điện tử và các ngành kinh tế – kỹ thuật Chính vì lẽ đó, từng dạng toán trong tổ hợp càng mang tính khoa học và trí tuệ

Tài liệu đã được biên soạn khá công phu, phân loại từng dạng toán và đề cập nhiều bài toán sai lầm phổ biến khi giải toán đại số tổ hợp trong trường phổ thông, do tính kế thừa phương pháp trắc nghiệm trong tuyển sinh, chúng tôi đã tinh lọc và giới thiệu dạng trắc nghiệm cho bạn đọc Chúng tôi hy vọng với quyển sách này, các em có thể tự luyện tập để khỏi bỡ ngỡ trước các đề toán kiểm tra và thi bằng phương pháp trắc nghiệm phần đại số tổ hợp

Dù biên soạn hết sức thận trọng, song cũng không thể tránh những thiếu sót Rất mong được sự đóng góp chân tình của quý bạn đọc và đồng nghiệp, để tập sách này được hoàn thiện Mọi sự đóng góp xin vui lòng liên hệ : 79/1 đường 3/2 , Dalat, Lâm Đồng

Dalat, mùa thi 2007 – 2008 Nguyễn Phú Khánh

GIAI THỪA

I Giai thừa: với mọi số tự nhiên n ≠ 0, tích 1.2.3 n được gọi là n giai thừa và được ký hiệu là n! ; n! = n(n – 1)(n – 2) 2.1

II Công thức:

n .

2) p 1)(n p

(n )!

(

!

+ +

= p n

n! = (n – 1)!n , n! (n + 1) = (n+1)!

Ví dụ 1: Giải phương trình :

6

1 )!

1 m (

)!

1 m (

! m

= +

1

m

(

) 1 m ( )!

1 m

(

= +

! 0

• Nếu m ≥ 2 thì phương trình dạng

6

1 ) 1 m ( m

1 m

= +

4 n )(

3 n ( 12

)!

1 n ( n

! 4 )!

3 n (

)!

1 n ( 1 n

−

Theo đề n ≥ 4 Bất phương trình dạng

5 6

) 1 n ( n

! 4

n ) 1 n )(

2 n (

! 4

n ) 1 n )(

2 n (

của nghiệm là

6 n

QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN

I Quy tắc cộng: nếu có m 1 cách chọn x1, m2 cách chọn đối tượng x2 ,

mn cách chọn xn và nếu cách chọn đối tượng xj không trùng với bất kỳ cách chọn j nào (i≠j), j = 1, 2, 3 ,n) thì có m1 + m2 + + mn cách chọn đối tượng “x1 hoặc x2 hoặc xn “

II Quy tắc nhân: Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước lên tiếp Bước 1 có m1 cách chọn đối tượng x2 , bước 2 có m1 cách chọn đối tượng x 2 và cứ thế cho đến bước n có m n cách chọn đối tượng x n Cuối cùng, với cách chọn x1, x2 xn–1, xn như thế ta thực hiện theo m1, m2 mncách khác nhau

Vd1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số và chia hết cho 5?

Bg: Gọi số cần tìm dạng a1a2a3a4a5a6 và E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

* x dạng a1a2a3a4a50 : a1 ∈ E\{0} ⇒ a1 có 9 cách chọn;

a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ∈ E ⇒ a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = 10 cách Do vậy có 9.104 = 90.000 số dạng a1a2a3a4a50

* x dạng: a1a2a3a4a55 tương tự có 90.000 số dạng a1a2a3a4a55 Vậy có 90.000 + 90.000 = 180.000 số

TỔ HỢP

I Số tập con của một hợp có n phần tử:

Cho tập hợp A có n phần tử Ta hãy xét xem tập hợp tất cả các tập con của nó T(A) có bao nhiêu phần tử

Định lý: Số tất cả các tập con của một tập hợp có n phần tử bằng 2 n

m(T(A)) = 2 n

II Số tập con K phần tử của 1 tập hợp n phần tử

Định lý :Số tất cả các tập con K phần tử của một tập hợp n phần tử bằng

m(Tk(A)) =

)! k n ( k

! n C

)!

k n ( k

! n k

3 2 1

) 1 k n (

) 1 n (

−

−

III Tổ hợp:

1 Định nghĩa: Một tập con k phần tử của một tập hợp n phần tử được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử

2 Số tổ hợp chập k của n phần tử :

Số đó chính là C = m(Tkn K (A))

k

n

C =

K

3 2 1

) 1 K n ) (

1 n ( n )!

K n ( K

4 n

C =

24

) 3 n )(

2 n )(

1 n (

Ví dụ 2: Xác định số lớn nhất trong các số: n

n

K n

2 n

1 n

0

n , C , C , C , C C

k

n

n k

C −1 ≤ nếu − +1 ≥ 1

k

k n

2

1

1 m 2

m 1 m

+ + = là lớn nhất

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

0

; ,

) 1 (

2

2

x

y x y

x

C

x y N y x C

) 1 (

2

x x

=

− 16 y

) x y 18 ( )!

2 y (

! 18 )!

y 18 ( y

! 18

Vậy hệ có nghiệm là (x = 8, y = 18)

3 Một số tính chất quan trọng của k

(

!

k

Aknk

=

k 1 n

ở vị trí thứ n –1 thì b đứng ở vị trí thứ n và chúng có thể đổi chỗ cho nhau Với mỗi cách đó có (n–2)! cách hoán vị các phần tử khác Do đó hoán vị

a, b đứng cạnh nhau là 2(n – 1).(n – 2)! = 2(n – 1)! Vậy số hoán vị 2 phần tử đã cho không đứng cạnh nhau: n! – 2(n – 1)! = (n – 1)!(n – 2)

Ví dụ 2:Có thể lập được bao nhiêu số từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sao cho:

1 Mỗi chữ số đều có mặt một lần trong các số được lập?

2 Chữ số 0 không đứng ở vị trí thứ nhất bên trái?

Theo 1 la có 10! , Số đầu tiên khác 0 có 9! Do vậy để thỏa điều kiện 1,2 ta có: 10! – 9! = 9! 9 = 3265920

Ví dụ 3 :Có bao nhiêu cách xếp 6 người ngồi xung quanh bàn tròn.’ Th1: Nếu các ghế được đánh số rõ ràng, mỗi cách xếp là hoán vị của 6 phần tử Do vậy có P6 = 6! = 720 cách

Th2 : Nếu các ghế trên kh6ong được đánh số thì mỗi hoán vị của 6 người thì được tính đổi chỗ 6 lần theo 1 chiều và có khả năng đổi chỗ ngược lại Do vậy có

6 6

P6+ = 60 cách

II Chỉnh hợp: các tập con sắp thứ tự k phần tử của một tập hợp có

n phần tử được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử đó Số chỉnh hợp khác nhau chập k của n phần tử là:

)! k n (

! n ) 1 k n (

) 1 n ( n

Akn

−

= +

Ví dụ 2 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên trong đó không có số nào lặp lại?

5 chữ số trên ta có 5! cách, trong đó 4! cách lập 5 chữ số bắt đầu bởi

Theo ycbt có: 96 + 96 + 48 + 16 + 5 = 261 số

CHỈNH HỢP CÓ LẶP

I Định nghĩa: Cho 1 tập hợp A có n phần tử Ta rút ra từ A một phần tử bất kỳ, ký hiệu là a1 rồi thả lại vào tập hợp A Ta lại rút ra từ A một phần tử, ký hiệu là a 2 (a 2 có thể trùng a 1 ) rồi trả lại nó vào tập hợp A Cứ thế cho đến k lần (k ≤ n) và như vậy ta tìm được một dãy (a1 ,a2 ak) gồm k phần tử (có thể trùng nhau) của A Một dãy như thế gọi là 1 chỉnh hợp có lặp

II Định lý: Số chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử, ký hiệu là

Số phải tìm là số chỉnh hợp có lặp của 4 chữ số chập 6:

Ta có A64 = 4 6 = 4096

HOÁN VỊ CÓ LẶP

I Hoán vị tròn: Khi n phần tử được sắp xếp vào n vị trí của dãy sắp xếp khép kín thì số hoán vị tròn (không thẳng) là:

c n

! k

! k

! n

s 2 1

Ví dụ 1 : Có bao nhiêu cách phân phối 7 chuyên gia trẻ vào 3 ban, theo thứ tự cần 1 ,2 ,4 chuyên gia?

Số cách phân phối là: C7 (1, 2, 4) =

! 4

! 2

! 1

! 7 = 105 cách Chú ý: Số hoán vị có lặp của 2 phần tử cấp m kiểu (k, m – k) bằng số tổ hợp chập k của m phần tử C m (k, m – k) = C = km

TỔ HỢP CÓ LẶP

I Định nghĩa: Cho m phần tử khác nhau Một tập hợp có lặp chập n (n ≤ m) của m phần tử đã cho là một tập hợp chứa n phần tử, trong đó mỗi phần tử là 1 trong m phần tử đã cho

II Định lý: Số tổ hợp lặp chập n của m phần tử, ký hiệu là C nm

1 m 1 m n

n 1 m n

k n k n 1

n 1 n 0 n 0 n k

0 k

k k n k n 1

T Số hạng thứ 1: k = 0 : T1 = C0nanb0 = an

Số hạng thứ k: Tk = T(k – 1) + 1 = Ckn−1an−(k−1)bn−k

Số hạng thứ k + 1 : Tk+1 = Cknan−kbk

Số hạng thứ n + 1 : Tn+1 = Cnnan−nbn = bn

II Nhị thức dưới dạng tường minh

(a + b) n = a n + na n–1 b +

2 1

) 1 ( − n n

.a n –2b 2 + +

n 1 n k

k

n b nab b a

k

2 1

) 1 k n (

) 1 n ( n

+ +

+ +

−

III Tổng quát:

n 2 1

m 1

m 1

a m

n 2

n 1 n

n

2

nn 0 n 0 1 2 m

n n 2

! n

! n

! n

! n )

a

a

a

= + + +

≥

≥

= + +

+

Bài Tập Bài tập 1

1 Cho tập hợp S = {1, 2, 3, 4, 6, 8} Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi một được thành lập S

2 Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là 1 số chẵn

a chọn cách 4 Có

⇒ Có 4.3 = 12 số Cách 2: 2

a a a số 3 chọn cách A Có

2 4

3 2 1

Rõ ràng a1 có 9 cách chọn, và có 10 5 cách chọn cho a2, a3, a4, a5, a6 Vậy có 5.9.105 = 4500000 số

Bài tập 2

Có 5 miếng bìa, mỗi miếng ghi một trong 5 chỉ số 0, 1, 2, 3, 4 Lấy 4 miếng bìa từ 5 miếng bìa này lần lượt đặt cạnh nhau từ trái sang phải để được các số gồm 3 chữ số.Hỏi có thể lập bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số trong đó bao nhiêu số chẵn.?

chọn cách 4 có a : a

chọn cách 4 có a : 0 a

3 3

2 2

1 1

⇒ Có 4.4.3 = 48 số khác nhau

chọn cách 4 có a

chọn cách 3 có a

5

A – 2

4

A = 48 số có 3 chữ số khác nhau

Do x chẵn: nên a3 = {0, 2, 4} có 3 cách chọn và có 2

Vậy có cả thảy ( 3

a Không có điều kiện gì thêm?

b x phải là số chẵn

chọn cách 5 có a

chọn cách 6 có a

3 2

chọn cách 5 có a

2

1 ⇒ Có 5.4 = 20 số dạng a1a22 Tương tự cũng có 20 số cho: a1a24 hoặc a1a26 hoặc a1a28

Vậy có cả thảy: 20 + 20 + 20 + 20 = 80 số chẵn

Cách 2: Theo câu 1: ta có 120 số có 3 chữ số khác nhau, trong đó có

Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các số đã cho ta lập được:

1 Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau đôi một?

2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đôi một ?

3 Bao nhiêu số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau

chọn cách 4 có a

chọn cách 5 có a

3 2

1

⇒ Có 5.4.3 = 60 số dạng a1a2a30

chọn cách 4 có a

) 0 a ( chọn cách 4 có : a

chọn cách 2 có : a

3 2

1 1

4

⇒ Có 2.4.4.3 = 96 số dạng a1a2a32 , a1a2a34

Vậy có tất cả 60 + 96 = 156 số

Cách 2: a4 = {0, 2, 4}: có 3 cách chọn ⇒ có 3

A số lẻ Có a1 = 0

Vậy có cả thảy: 4

0 a a dạng số 20 Có

2 1

5 cho hết chia số chữ 3 có số A 2 Có

1

1 4

2 5

.

4

5 hết chia không số chữ 3 có số

A

.

4

0 a đầu bắt

số

A

nhau khác số chữ 3 có

+ Khi {a1, a2, a3} = {2, 3, 4} thì có: 3! = 6 số chia hết cho 9

Vậy có tất cả : 4 + 6 + 6 = 16 số chia hết cho 9

Bài tập 5

1 Số điện thoại của Huyện Nghĩa Hành có 6 chữ số và bắt đầu bởi 3 chữ số đầu tiên là 861 Hỏi Huyện Nghĩa Hành có tối đa bao nhiêu máy điện thoại ?

2 Hãy tìm tất cả các máy điện thoại có 7 chữ số bắt đầu bằng chữ số 8?

Bài Giải

1 Gọi số điện thoại có 6 chữ số và được bắt đầu bởi 3 số 861 có dạng x = 861 abc Và như vậy a, b, c là 3 chữ số chọn bất kỳ chữ số nào trong 10 số tự nhiên trong E = { 9 0 } Có 10 ; 3 cách chọn

Vậy số máy tối đa của Huyện Nghĩa Hành là 103 = 1000 máy

2 Gọi số máy cần tìm dạng x = a2a3a4a5a6a7 và a2, a3 ,a4 , a5, a6 ,

a 7 là 6 chữ số chọn bất kỳ chữ số nào trong E = { 0 ; 9 } nên có 106 cách chọn Vậy có 10 6 = 1.000.000 máy

3 Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số 1,

2, 3, 4, 5, 6 mà các chữ số đó nhỏ hơn 345?

chọn cách 4 Có : a

2 3

chọn cách 3 Có : a

2 3

chọn cách 4 Có : a

2 3

⇒ Có 4.6 = 24 số

Vậy có cả thảy: 28.3 + 21.3 + 24 = 171 số

2 Gọi x = a1a2a3 là số cần tìm và x chẵn nên a3 = {2, 4} có 2 cách chọn và có 2

4

A cách chọn a1a2 ⇒ có tất cả 2 2

4

A = 24 số

3 Gọi x = a1a2a3 là số cần tìm và x < 345 ⇒ a1 có thể ;à 1, 2, 3

• TH1: Nếu a 1 = 1 thì x = 1 aa2 3 và có 2

• TH2: Nếu a2 = 4 thì x = 34 a3 và a3 có 2 cách chọn {1, 2}

⇒ có 2 số Vậy có cả thảy 2

2 Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500.000?

5 số chữ cho trí vị 4

) 0 1 ( chọn cách 5 Có : a

3 5

4 8 1 6

a a a a chọn cách A

chọn cách 8 : a

chọn cách 5 : a

4 , 3 , 2 , 1 là thể có Chỉ : a

6 1

4 8 6 1

a a a a chọn cách A

chọn cách 5 Có : a

chọn cách 2 Có : a

⇒ Có 2.5 4

8

A = 16800 + Nếu a 1 lẻ

4 8 6 1

a a a a chọn cách A

chọn cách 4 Có : a

chọn cách 2 Có : a

4 8

6

a a a a chọn cách A

chọn cách 4 Có : a

4 8

6

a a a a chọn cách A

chọn cách 5 Có : a

9 a hoặc 7 a cho số 2 : A 4 (

1

4 8

1 1

1 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2?

1 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt 2 chữ số 1 và 6?

Bài Giải

1 Gọi x = a1a2a3a4a5 là số cần tìm:





2 số chữ mặt có không và một đôi nhau khác số chữ 5 có

Số

A

Có

một đôi nhau khác số chữ 5 có

2 số chữ xếp trí vị 5 Có

4 5

⇒ Có 5 4

5

A = 600 số

Có

6 và 1 số chữ trí vị 2 cho A

Có

3 4

2

5

A 3 4

Có

6 số chữ có không mà 1 số chữ cho số A

Có

kỳ bất số chữ 5 cho số A

Có

5 5

5 5

5 6

5 5 5 5

A − = 180 số

Bài tập 9

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được:

1 Bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

1 Bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

nhau khác số chữ 4 có A Có

1 3

4

4 5

4 4

A − = 96 số

Cách 2:

a

chọn cách 3 Có

:

a

chọn cách 4 Có

:

a

) 0 1 ( chọn cách 4 Có

2 3

1 1

4

aachọncáchA

)0a(chọncách3Có:a

chọncách4Có:}3,1{a

chọncách3Có:a

chọncách4Có:a

3 2 1

Có

:

a

chọncách3

Có

:

a

)01a(chọncách3

Số máy điện thoại ở Việt Nam là một số gồm 6 chữ số Hỏi

1 Có tất cả bao nhiêu máy điện thoại?

2 Thực tế người ta chỉ dùng số 7, 8, 9 làm chữ số đầu tiên Có bao nhiêu máy như vậy?

Bài Giải Gọi số cần tìm dạng x = a1a2a3a4a5a6 là số cần tìm

6 5 4 3 2 5

6 5 4 3 2 5

a a a a a dạng máy 10

Có

a a a a a dạng máy 10

Có

a a a a a dạng máy 10

:

a

chọn cách 6 Có : a chọn cách 6 Có

:

a

chọn cách 8 Có : a chọn cách 8 Có

:

a

4 3

5 2

6 1

a chọn cách 7 Có

a chọn cách 8 Có

a chọn cách 9 Có

a chọn cách 10 Có

⇒ Có 10.9.8.7 = 5040 biển số

Cách 2: Chọn 4 số thứ tự trong 10 số có 4

1 Tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau?

2 Có bao nhiêu số lớn hơn 5000?

3 Có bao nhiêu số chia hết cho 5?

chọn cách 3 có a

chọn cách 4 có a

) 0 a ( chọn cách 4 có a

2 3 2

1 1

A có : 5 trong 4 Chọn

1 4 3

4

4 4

A − = 96 số

2 Số lớn hơn 5000 thì a1 ≥ 5

Cách 1: a1 ≥ 5: nên a1 có 3 cách chọn và 3

4

A cách chọn 3 vị trí a2a3a4trong 4 vị trí còn lại ⇒ Có 3 3

4

A = 72 số

Cách 2: Có 4.3.2 = 24 số dạng a2a3a4a5 Tương tự cũng có 24 số dạng a2a3a4a5; 24 số dạng a2a3a4a5

Vậy có 24 + 24 + 24 = 72 số

3 Số x chia hết cho 5 nên : a5 = 0 hoặc a5 = 5

3 4

5 5

A là 0 a có số các Số

A 2 là 5 cho hết chia số chữ 4 có số các Số

chọn cách 2 có a : } , 0 a

3 3

chọn cách 2 có : a

chọn cách 3 có : a

chọn cách 4 có : a

4 3 2 1

⇒ 4.3.2.1 = 24 số

chọn cách 2 có : a

chọn cách 3 có : a

chọn cách 3 có : a

4 3 2 1

⇒ 3.3.2.1 = 18 số

Vậy có 24 + 18 = 42 số

Bài tập 13

Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

1 Có bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

2 Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400?

Bài Giải

1 Gọi x = a1a2a3a4 là số cần tìm x chẵn

Cách 1: a5 = { 0, 2, 4, 6} ⇒ a5 : 4 cách chọn nên có 4 4

6

A số có 5 chữ số chẵn khác nhau và có 3 3

chọn cách 4 có : a

chọn cách 5 có : a

chọn cách 6 có : a

4 3 2 1

⇒ Có 6.5.4.3 = 360 số dạng a1a2a3a40

a

chọn cách 4 có

:

a

chọn cách 5 có :

a

) 0 a ( chọn cách 5 có

⇒ Có 5.5.4.3 = 300 số dạng

Tương tự có 300 số dạng a1a2a3a44 , 300 số dạng a1a2a3a46

Vậy có 360 + 300 + 300 + 300 = 1260 số

2 Gọi x = a1a2a3 là số cần tìm; x lẻ nên a3 = {1, 3, 5}

) 0 a ( chọn cách 5 có : a

0 a và 3 , 2 , 1 : là thể có a

3

1 1

chọn cách 2 Có : a

chọn cách 3 Có : a

2

3

⇒ Có 3.5 = 15 số

chọn cách 2 Có : a

2

3

⇒ Có 2.5 = 10 số

Vậy có cả thảy: 10 + 15 + 10 = 35 số có 3 chữ số khác nhau là sổ lẻ và nhỏ hơn 400

số A 3 Có : 2 a

số A 2 Có : 1 a

1 5 1

1 5 1

1 5 1

5 1 5 1

A

chọn cách 4 Có : a

chọn cách 4 Có : a

Có

:

a

chọn cách 5

Có

:

a

chọn cách 5

số

24

4 a a a a dạng

số

24

3 a a a a dạng

số

24

2 a a a a dạng

số

24

1 a a a a dạng

số

24

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

⇒

vạn hàng

số

Tổng

360000 :

nghìn hàng

số

Tổng

36000 : trăm hàng

số

Tổng

3600 : chục hàng

số

Tổng

360 ) 5 4 3 2 1 ( 24 : vị đơn hàng

số

Tổng

⇒ Σ120 số = 360 (1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) = 3999960 số Cách 2: Trong 120 số sẽ có 1 số dạng 12345 và một số dạng 54321 để cho tổng chúng là 66666

Như vậy trong 120 số x, nếu có 1 số dạng x 1 = a1a2a3a4a5 và tồn tại một số có dạng x2 = b1b2b3b4b5 để cho tổng x1 + x2 = 66666

⇒ Tổng S = 66666.

2

120 = 3999960 số

(Học sinh xem thêm các Bài Giải sau và chuyên đề sai lầm phổ

! 6

= 360 ⇒ Có 5 360 = 1800 số

Bài tập 17

Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành 1 hàng

1 Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành

2 Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành

1 Quyển thứ nhất ở kế quyển thứ hai

2 Quyển thứ nhất không kế quyển thứ hai

Bài Giải

1 Quyển thứ nhất luôn kề quyển thứ hai Có 9! cách xếp Khi thay đổi vị trí của 2 cuốn sách nên có 2! cách xếp Vậy có 9! 2! = 725760 cách xếp

2 10 cuốn sách cho ta có 10! cách xếp tùy ý

⇒ Có 10! – 9! 2! = 2903040 cách xếp mà cuốn sách thứ nhất không kề quyển 2

Bài tập 20

Trong một mặt phẳngcho 5 đường thẳng song song với nhau lần lượt cắt tất cả 10 đường thẳng song song khác Có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên?

2 Trong mặt phẳng cho 15 điểm A, B, C và không có ba điểm nào thẳng hàng

a Có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ 15 điểm trên

b Có tất cả bao nhiêu đường thẳng qua 2 trong 15 điểm trên

Bài Giải

1 Mỗi hình bình hành được tạo nên là do 2 đường thẳng song song trong 5 đường thẳng trên cắt 2 đường thẳng song song trong 10 đường thẳng tạo nên:

– Chọn 2 đường thẳng trong đường thẳng trên có 2

5

C 2 10

Bài tập (Toán vui)

Bốn ông khách: Duy, Sang, Oai, Tâm vào quán nhậu Trường Sơn Họ gọi 1 lít rượu và 1 đĩa mồi Lít rượu được chia thành 4 phần vào 4 ly bằng nhau Mỗi lần họ cạn ly thì người nào cũng phải uống hết phần rượu của mình Biết rằng Duy uống 4 ly, Oai uống 3 ly, Sang uống 2 ly, Tâm uống 1 ly thì tất cả đều say Hỏi bốn ông khách này cần gọi vừa đủ bao nhiêu lít rượu thì tất cả đều say?

Bài Giải

–Khi gọi 1 lít rượu đầu tiên: Tất cả đều uống hết và Tâm say

–Khi gọi 1 lít rượu thứ 2, do ông Tâm say nên còn 0,25l và ông Oai say

–Khi gọi 1 lít rượu thứ 3, do ông Tâm, Sang say nên còn 0,5l và ông Duy say

–Khi gọi 1 lít rượu thứ 4, do ông Tâm, Sang và Oai say nên còn 0,75l và ông Duy say

Vậy sau 4 lít rượu thì khách phải trả lại cho chủ quán:

Bài Giải Có 8! cách xếp 8 học sinh ngồi vào 8 chỗ trên bàn bàn dài trong đó cứa cả An và Duy ngồi cạnh nhau Nếu tách An và Duy thành một cụm thì 6 học sinh còn lại có 7! cách xếp khác nhau và An và Duy đổi chỗ cho nhau thì có 2! cách Như vậy có 8! – 7! 2! = 30240 cách xếp An – Duy kông ngồi cạnh nhau

Bài tập 22

1 Cho 2 đường thẳng song song Trên đường thứ nhất có 10 điểm Trên đường thứ hai có 15 điểm Có bao nhiêu tam giác tạo bới các điểm đã cho?

2 Trong một kỳ thi, một học sinh phải trả lời 7 trong 10 câu hỏi

a Có bao nhiêu cách chọn nếu 4 câu hỏi đầu là bắt buộc?

b Nếu chọn tùy ý

Bài Giải

1 + Tam giác tạo bời 1 điểm trên đường thứ nhất và 2 điểm trên đường thứ hai ta có : 10 2

kn

1 (

1

!

1

k k

k

2

1 1

!

1 ) 1 (

* Giả sử : (1) đúng khi n = k , k ∈ Z + , ta có : k! =

ke

e

k k =

Do đó (3) đúng Vậy n ! >

2 Dùng phương pháp quy nạp

* Khi n = 3 ta có 3! = 6 > 2 2 = 4 đúng

* Giảsử bài toán đúng với n = k , k ∈ Z + và k ≥ 3, nghĩa là k ! > 2 k-1

1 + 2 n

n ) 1 n ( −

<

! 2

1

= 2

1 ≤ 2 1 1

n ) 1 n )(

2 n

<

! 3

1 ≤ 3 2 1

nnpn

!

)1)(

−

! n

! n <

! n

1

<

n)1n(

1 + 3 2

1 + +

n ) 1 n (

1

− (2) mặt khác :

2 1

1

= 1

1

- 2

1 ; 3 2

1

= 2

1

- 3 1

⇒

n )

1 + 3 2

1 + +

n ) 1 n (

1

− = 1 - n

1

< 1 Vậy (2) ⇒

1 +

! 3

1 + +

! n

4 4

1

VT

! n

1

! 3

1

! 2

1

! 1 1

1 + + + + + <

4 4 4 4 4

4 4 4 4

1

VT

n ) 1 n (

1

4 3

1 3 2

1 2 1

1 1

− + + + + +

1

= 2 +1 –

n

1

1 +

! 2

1 +

! 3

1 + +

! n

C = 16.1.210 + 12.10.36 +9.45.1

a4 = 8085

Khi f(1) = (1 + 2 + 3) 10 = a0 + a1+ a2 + +a20

⇒ S = 6 10

NHỮNG SAI LẦM PHỔ BIẾN KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP Bài 1

Từ các chữ số 0,1,2,6,4,5 Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó:

1 Chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần?

2 Chữ số 1 có mặt 1 lần, chữ số 0 có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần?

A = 5880 số số lập được

Cách khác: Chữ số đầu tiên không thể là 0, nên có 7 cách chọn mỗi chữ số tiếp theo là bất kỳ trong 7 chữ số còn lại trong tập hợp nên có 7! cách Cho nên có 7.7! số Riêng chữ số 1 có mặt 3 lần nên có 3! cách xếp Vậy có:

! 3

! 7 7 = 5880 số

2 Theo trên có 4

7

A số Nếu thay 1 trong 3 chữ số 1 bởi số 0, có thêm

3 cách 011, 101, 110, do đó có 3 4

1 Có bao nhiêu cách xếp 6 người xung quanh 1 bàn tròn?

2 Có bao nhiêu đa giác nhận 6 điểm A, B, C, D, E, F làm đỉnh?

Bài Giải

1 Sắp xếp 6 người ngồi vào 6 vị trí là hoán vị P 6 và mỗi hoán vị của

6 người được tính 6 lần do mỗi chỗ vòng quanh bàn, do đó có

6

P6

=120 cách

2 Tương tự trên, ta có P6 cóvà mỗi hoán vị theo vòng có 2.6 = 12 lần (cùng chiều và ngược chiều) Do đó có

12

P6 = 60 cách

Bài 3

Cho E ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Để kiểm soát số xe gắn máy, người ta lập các bảng số xe, mỗi bảng số xe có 4 chữ số

1 Hỏi có thể lập được bao nhiêu bảng số xe như thế?

2 Có bao nhiêu bảng số xe mà 4 chữ số khác nhau?

3 Có bao nhiêu bảng số xe mà chữ số sau lớn hơn chữ số trước?

Bài Giải

1 Bảng số có 4 chữ số có dạng: a1a2a3a4 , có thể a1 = 0 và 4 chữ số giống nhau nên lập được 10 4 bảng Mặc nhiên không có chiếc xe nào mang biển số 0000 Do đó có 10 4 – 1 = 9999 bảng số

2 Bảng số xe có 4 chữ số khác nhau có 4

6

A = 360 số dạng a1a2a3a4 ; a1 ≠ 0

Để ý rằng a1a2a3a4 luôn tìm được duy nhất số b1b2b3b4 mà b1, b2,

b3, b4 lấy trong 1, 2 ,3, 4, 5, 6

= +

= +

= +

7 b a

7 b a

7 b a

7 b

a

4 4

3 3

2 2

1 1

⇒ có 180 cặp, mỗi cặp bằng 7777

a1 ∈ E\{0}: có 5 cách và có 4

5

A cách chọn a2a3a4a5 Vậy có: 5 4

5

A = 600 số

Do x không chia hết cho 3, có 2 khả năng

Khả năng 1: x: thành lập từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9: có 4 4

4

A = 96 số Khả năng 2: x: thành lập từ 5 chữ số 0, 2, 3, 6, 9: có 4 4

4

A = 96 số Vậy có: 600 – (96 + 96) = 408 số không chia hết cho 3

Bài 6

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau, mà tổng các chữ số bằng 18? có bao nhiêu số lẻ thỏa mãn bài toán?

Bài Giải Gọi x = a1a2a3a4a5a6 a 1 ∈ E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2 ≤ i ≤ 6

a1 ∈ E\{0} Nếu tổng các chữ số khác nhau bằng 18 thì có 3 cách chọn : 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 8 (1)

18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7 (2)

18 = 0 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6 (3)

Ứng với mỗi cách chọn đó có 5 cách chọn a1 ≠ 0 Và như vậy có tất cả 3.5.5! = 1800 số khác nhau có tổng là 18

Nếu x: là số lẻ thì a 6 lẻ Do vậy cũng có 3 khả năng

(1): Có 2.4.4! = 192 số có a6 = (1, 3)

(2): Có 4.4.4! = 384 số có a6 = (1, 3, 5, 7) và (3) có 192 số

Vậy có tất cả: 192 + 384 + 192 = 768 số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số tận cùng bằng 18

2 4

2 6

2 8

! 12

• Mà giả thiết cho 6 hộp giống nhau nên có:

10395 6

) 2 (

! 12

! 6

C C C C

2 4

2 6

2 8

Bài Giải Số cách chọn 7 người vào 10 tầng lầu khác nhau có 7

10

A cách

Còn nếu 7 người vào trong 10 tầng bất kỳ thì có A = 10 107 7 cách Bài 9

Số máy điện thoại ở Đà Lạt là 1 số gồm 5 chữ số (Ví dụ: 30162 ; 27125; 28086 )

1 Hỏi có thể đặt được bao nhiêu máy điện thoại ở Đà Lạt ?

2 Thực tế: Người ta chỉ dùng 4 chữ số 1, 2, 3, 5 làm chữ số đầu của máy điện thoại ở Đà Lạt Vậy thực tế ở Đà Lạt có tất cả bao nhiêu máy điện thoại?

Bài Giải

1 Ký hiệu số máy điện thoại có 5 chữ số là xyztu Chia làm 5 giai đoạn:

Giai đoạn 1: x có 10 cách chọn từ 0 → 9

Giai đoạn 2: y có 10 cách chọn từ 0 → 9

Giai đoạn 3: z có 10 cách chọn từ 0 → 9

Giai đoạn 4: t có 10 cách chọn từ 0 → 9

Giai đoạn 5: u có 10 cách chọn từ 0 → 9

Vậy có 10 5 cách

2 Tương tự có 4.10 4 cách chọn

Bài 10

Cho 4 chữ số 1, 2, 3, 6

1 Có bao nhiêu số tự nhiên tạo nên từ 4 số đó (mỗi số có mặt 1 lần)

2 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên được tạo nên từ 4 chữ số đó mỗi số có thể có mặt từ 1 đến tối đa là 4 lần?

3 4

2 4

1 4

A là số chữ 4 có nhiên

tự

Số

A là số chữ 3 có nhiên

tự

Số

A là số chữ 2 có nhiên

tự

Số

A là số chữ 1 có nhiên

2 4

1

A + + + = 64 số

2