một số bài toán về bđt cực hay

Chứng minh rằng: Giải: Ta có:... Khi đó bất đẳng thức trên trở thành:.

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có:

3 2

Giải:

Xét các biểu thức sau

S

  

A

  

B

c b c a a b

Ta có A + B = 3 Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy thì:

3

a b b c c a

S A

b c c a a b

3

a b b c c a

S A

b c c a a b

Cộng theo vế ta có

A + B +2S ≥3 S≥ 32 (Điều phải chứng minh)

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c, d ta có:

2

b c c d  d a  a b 

Giải : Đặt

S

b c c d d a a b

A

b c c d d a a b

B

b c c d d a a b

Theo bất đẳng thức Cauchy thì:

a c b d c a d b

S A

b c c d d a a b

a c c a b d d b

b c d a c d a b

4(a c)

a b c d





  

4

b d

a b c d



  

Cộng theo vế ta có A+B+2S ≥8 mà A+B=4 vậy S≥ 4 (Điều phải chứng minh)

Bài 3: Cho x, y, z >0 và xyz = 1, chứng minh rằng:

3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4

Ta có:

3

3

Tương tự ta có:

3

3

3

3

Cộng theo vế rồi rút gọn ta có:

3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4

3

xyz

x   y z

vậy

3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4

Bài 4: Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1, chứng minh rằng:

1 3

b c d  c d a  a b d  a b c 

Ta có (a + b + c + d)2 = [(a + c)+(b + d)]2 ≥4(a + c)(b + d)

= 4(ab + bc + cd + da) = 4a + b + c + d ≥ 2 ( a, b, c, d >0)

3

1 2

 

 

Tương tự ta có

3

1 2

 

 

3

1 2

a b d

 

 

3

1 2

a b c

 

 

Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có:

1 2 1 1

  

       

vậy

1 3

b c d  c d a  a b d  a b c 

Bài 5: Cho a, b, c>0, chứng minh rằng:

2

a a b b b c  c a c  a b c

Giải:

VT(1) ≥ 3

3 3

3

http://kinhhoa.violet.vn

*

 

Dấu ‘=’ xảy ra

a b c

a b b c c a

 



     

Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có:

a b abc  b c abc  a c abc  abc

Giải

a, b, c >0 ta luôn có

(a - b)2(a + b) ≥0 (a - b)(a2 - b2) ≥0a3+b3-a2b-ab2≥0

 a3+b3≥ a2

b+ab2 a3+b3≥ab(a+b)

 3 3

( )

a b abc  ab a b abc  a b c

Tương tự ta có

3 3

3 3

Cộng theo vế ta có:

3 abc3 3 abc3 3 abc3 a b c 1

a b abc b c abc a c abc a b c

 

a b abc  b c abc  a c abc  abc

Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z dương thoả mãn điều kiện

x2+ y2+z2=3 Chứng minh rằng:

3

Giải : Ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 x y y z z x x y y z x y z x y z z x

 2 2 2

2 x y z

x y y z z x

z  x  y  2 2 2

x  y z VT(1) bình phương ta được:

x y y z z x

z  x  y  2 2 2

+ 2 x  y z

 x2  y2  z2  2 2 2

+ 2 x  y z =  2 2 2

3 x  y z =VP(1) bình phương

Lấy căn bậc hai hai vế (hai vế đều dương) ta được điều phải chứng

minh

Bài 8:Cho các số dương x, y, z có tích bằng 1 Chứng minh rằng:

x xy y  y y z  x xz z 

Giải:

x, y, z dương ta luôn có: (x-y)2

(x+y)(x2+xy+y2) 0

(x2-y2)(x3-y3) 0x5-y5x2y2(x+y)

xy



   2 2 

x y x y

xy

1

z

xy x y x y z

Tương tự ta có

 

2 2

zy z z  x y z

    , 2 2  

zx z x z x  x y z

cộng theo vế các bất đẳng thức ta có

 

Bài 9: Cho các số thực dương x1, x2, , xn thoả mãn

1 x  1 x   1 xn 

Chứng minh rằng: x1.x2 xn (n-1)n

Giải:Ta có

1

1

2

1

1

n

n

Nhân hai vế của n bất đẳng thức trên ta có:

1

1

n n

n n

n

n

n





x1.x2 xn (n-1)n

Bài 10: Cho các số dương a, b, c, d thoã mãn điều kiện a+b+c+d=4

Chứng minh rằng:

Giải:

Ta có:

2 2



2

a

b c



 



Tương tự ta có:

2

b

c d



 

c

c d



 

2

d

d a



 



Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ta có:

b c  c d  d a  a b 

1 4

a b c     d ab bc cd    da  abc bcd   cda  dab

Mặt khác ta có:

42 = (a+b+c+d)24(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da)

hay ab+bc+cd+da  a+b+c+d

Tương tự abc+bcd+cda+dab a+b+c+d

vậy

b c  c d  d a  a b 

1 2

a b c     d a b c    d

=

2 a b c  d  2  (điều phải chứng minh)

Bài 11:Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 3, chứng minh rằng:

Giải:

 

2

Do đó ta chỉ cần chứng minh

(a2 +b2+c2)2 a3

+ b3+ c3+2(a2b2+ c2b2+ a2c2)

a4+ b4+ c4 a3

+ b3+ c3 Thật vậy

3(a3+ b3+ c3) = (a3+ b3+ c3)(a+b+c) (a2

+b2+c2)2

(a2 +b2+c2)(1+1+1) (a+b+c)2=9

Do đó a2

+b2+c23, suy ra a3

+ b3+ c3 a2

+b2+c2 (a4+ b4+ c4)( a2 +b2+c2) (a3+ b3+ c3)2 a4+ b4+ c4 a3+ b3+ c3

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Bài 12: Giả sử xyz0, chứng minh rằng:

Giải:Từ giả thiết ta có:

    

0

xy yz zx x y y z x z

xyz

2

x y y z z x x y y z z x x z y x z y

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:

2

x y y z z x x z y x z y

x y z

 

2

2

Bài 13:Giả sử x, y, z1 và 1 1 1 2

x   y z , chứng minh rằng:

x  y z x  y  z

Giải:

Ta có: 1 1 1 2

x   y z x 1 y 1 z 1 1

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:

x+y+z=( x+y+z)

      

 x  y z x 1 y 1 z1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=3/2

Bài 14:Chứng minh rằng nếu a, b, c1 và abc=1 ta luôn có:

1

2 a  2 b  2 c 

Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Luôn tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho a = x/y, b = y/z, c = z/x Khi đó bất đẳng thức trên trở thành:

/ / /

1

1

theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

1

x y z

x y y z z x x x y y y z z z x

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c= 1

Bài 15:Cho các số thực không âm a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh

rằng:

Giải:Xét các biểu thức:

2

Theo bất đẳng thức Holder ta có:

S3.P(a +b +c)4

 S3(a +b +c)2

= 1S1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3

Bài 16: Cho a1,a2, ,an dương và có tổng bằng 1, tìm GTNN của biếu

n n

a

Giải:

1 2

n

n

a

A

B = a1(1 - a1) + a2(1 – a2) + + an(1 – an)

Theo bất đẳng thức Holder ta có : A2

B(a1 + a2 + + an)3

= 1

Dễ thấy B =1-(a12+ a22+ + an2)≤ 1-  2

a a a n 1

do đó A n n1

Đẳng thức xáy ra khi ai =1 i 1,n

Bài 17: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + zx = 1 Chứng minh : 1 1 1 2 1

2

Giả sử x = max(x, y, z) và đặt a = y + z > 0 ta có ax = 1 – yz  1

a



Xét hàm số sau

1

f x

x

   



2

2

1

x a



Mặt khác:

 

'

3

1

0,

yz x x x

f x

    nên f x nghịch biến  

1

a

 



 

       

2 2

1

2

a a

2

2

f x f

a

 

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =1, z = 0 hoặc các hoán

vị