Trong các bài toán biện luận nghiệm thì nhớ rằng mấy hệ này có nghiêm x,y sẽ có nghiệm y,x, -x,y,…tuỳ từng bài II... -Bài 6 cho ta cái nhìn về hệ đx 1 có phương pháp giải không mẫu mựcdù
Trang 1Hệ đối xứng
I Lý thuyết
1.Hệ đx loại 1: Khi ta đổi chỗ x,y thì hệ vẫn y nguyên VD:
x + y + xy = 7
x + y + x y = 21
ìï í ïî
Phương pháp: Đặt S=x+y và P=xy rồi đưa hệ về ẩn S, P
2.Hệ đx loại 2: Khi ta đổi chỗ x,y thì phương trình trong hệ đổi chỗ VD:
3 3
5 5
x x y
y y x
ï í
ïî
Phương pháp: C/m x=y bằng cách trừ vế-vế hoặc dùng BĐT
Trong các bài toán biện luận nghiệm thì nhớ rằng mấy hệ này có nghiêm (x,y) sẽ có nghiệm (y,x), (-x,y),…(tuỳ từng bài)
II Bài tập
Bài 1
a/
( )( )
x y
xy x y
ï
x + y + xy = 7
x + y + x y = 21
ìï í
3
6
xy x y
x y xy y
x
+ = -ìï
í
ïî
Bài 2
a/
x + y = 1
x + y = 1
ìï í
x + y = 1
x + y = x y
ìï í
+
x + y = 1
x + y = 1
ìï í
x + y = 27
x + y = 81
ìï í ïî
Bài 3
x y xy
ï í
4
x y
ï í
ïî
Bài 4
a/ (x + y)(xy + 8) = 23 3
x + y = 19
ì í
( ) ( )
( ) ( )
3 15
x y x y
x y x y
ï í
ïî
Bài 5
a/ x(x + 2)+(2x + y) = 9 2
x + 4x + y = 6
ì í
1
ï
î
( )
x y xy
ï í
ïî
Bài 6
1 2
2 (1 2 ) (1 2 )
9
xy
í
ïî
í
ïî
c/
2008 2008 8 ( )2005
xy
y x
ï í
î
2008 2008
1
-ï í
ïî
Trang 2HD và nhận xét
-Ta có thể thay S=x^2+y^2 (bài 1b) hoặc P=căn xy (bài 3a) miễn là hệ mới biểu diễn dễ theo S, P
-Cần kiên trì biến đổi và hệ SP thường giải bằng rút thế Note x2+y2 =S2-2P, x3+y3 =S3-3SP
-Bài 5 cần ẩn phụ tinh tế khi x(x + 2)+(2x + y) = x + 4x + y , 2 ( )2 2
( 1)
x y+ + xy- = , 2 2
-Bài 6 cho ta cái nhìn về hệ đx 1 có phương pháp giải không mẫu mực(dùng BĐT) 6a có pt1 dạng Jensen 6b nghĩ đến BĐT tổng căn bình phương(vectơ), 6c dùng cauchy c/m ?<xy<?, 6d thì dễ mà
-Câu 1c là hệ đối xứng với (-x,y)
-Bài 2 là dạng đx bậc cao PP giải chung là trừ vế về rồi thế
VD: x6+y6-(x5+y5)=x x5( - + = -1) (1 y5)(x- + =1) (x-1)(y-1)( ) 0= -Câu 2d hãy nghĩ xem 3^3=27 và 81=3^4 là sao ????
Bài 1
a/
3
3
5 5
x x y
y y x
ï
í
ï í
ï í
ïî
Bài 2
a/
2
2
x
y x y
x y
ïï
í
ïî
2 2
2 2
1
7
x x
y y x
y
ì + + = ïï
í
ïî
Bài 3
a/
ï
í
y x
x y
ì
ï ï í
ï î
ï í
ïî
Bài 4
a/
3
3
(2 3 ) 8
x y
ï
í
2
1
x x
y
y y x y
ï í
-î
Bài 5
x 1978 1
1978 1
-b.18 x2 - 37 x + 5 = 14 x + 9
2002
2001 x
-ø
ö çç
è
d.3 x2 - 2 = 2 - x3
e
2
2
x+ x =
-f.x2+6x-14= 98 35- x-6x2
g.(x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)= + x 4
Trang 3HD và nhận xét
-Đx mà bậc 2 thì thôi khỏi cần làm Với bậc 3 ngoài trừ vế vế để có x-y ta còn cộng vế vế để thu hệ mới đối xứng 1 VD 1a
í
ïî
-Bài 2a dễ nhưng khi 1/… chiếm đa số ta đặt 1/x=t sẽ có hệ mới chỉ còn 1 con 1/t (thuận lợi trong toán
biện luận) 2b thì cộng rồi trừ 2 pt cho nhau ta được hệ ĐX2
-Bài 3 cho ta 1 cách nhìn BĐT cho bậc 2 này Mục tiêu c/m x=y thì g/s x>y=> vô lý sẽ được x=y Ngoài
ra thì chỗ nào có căn cần nhân tử sẽ phải Liên hợp
-Bài 4 là chút ít ẩn phụ thử 2/x=t xem ?? còn câu b chia pt2 cho y^2 rồi t=1/y xem
Bài 5 tổng hợp 1 số phương trình quy về hệ đối xứng Cứ nhìn cho kĩ và tích cực nghĩ sẽ ra