Ôn CĐ- ĐH năm 2011-2012.

Tìm trên C những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của C nhỏ nhấtCõu II 2 điểm:1 Giải phương trỡnh: Cõu IV 1 điểm:Trờn đường thẳng vuụng gúc tại A với mặt phẳng của hỡnh vuụng AB

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI ĐẠI HỌC MễN TOÁN NĂM 2012

ĐỀ THAM KHẢO Thời gian làm bài: 180 phỳt

ĐỀ

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Cõu I (2 điểm): Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=+

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhấtCõu II (2 điểm):1) Giải phương trỡnh:

Cõu IV (1 điểm):Trờn đường thẳng vuụng gúc tại A với mặt phẳng của hỡnh vuụng ABCD cạnh a

ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B’, D’ là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn SB và SD Mặt phẳng (AB’D’ ) cắt SC tại C’ Tớnh thể tớch khối đa diện ABCDD’ C’ B’.

Cõu V (1 điểm): Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu các góc thoả mãn:

cos cos cos cos cos cos 3

cosA B+ cosB C+ cosC A= 2

II PHẦN RIấNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRèNH ( 3 điểm)

Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trỡnh Chuẩn:

1 Cõu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường trũn ( C) :

− Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa (d 1 ) và hợp với (d 2) một gúc 300.

Cõu VII.a (1 điểm): Chứng minh rằng với a, b, c>0 ta cú:

4a+4b+4c ≥a 3b b+ 3c c+ 3a ≥ a 2b c b+ 2c a c+ 2a b

2 Theo chương trỡnh Nõng cao:

Cõu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy cho đường trũn (C) tõm I(-1; 1), bỏn kớnh R=1, M là

một điểm trờn ( ) :d x y− + =2 0 Hai tiếp tuyến qua M tạo với (d) một gúc 450 tiếp xỳc với (C)

tại A, B Viết phương trỡnh đường thẳng AB.

ĐÁP ÁN Đấ̀ 1

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Cõu I (2 điểm): Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=+

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhấtCõu II (2 điểm):1) Giải phương trỡnh:

x= +π kπ

,arccos( 2 / 4) / 4 2

§k y≠0

2 2

3 3

x x

dt t

+ Tính:

0 3

1 2

< < )

Câu IV (1 điểm):Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a

ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B’, D’ là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD Mặt phẳng

(AB’D’ ) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối đa diện ABCDD’ C’ B’.

+ Trong tam giác SAB hạ AB'⊥SC

Trong tam giác SAD hạ AD'⊥SD

D'

' ' '

1445

S ABCD S AB C D

V V= −V = a

Chỳ ý: Vẽ hỡnh sai khụng chấm.

Cõu V (1 điểm): Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu các góc thoả mãn:

cos cos cos cos cos cos 3

y z+ z x+ x y ≥

Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi x=y=z hay tam giác ABC đều

II PHẦN RIấNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRèNH ( 3 điểm)

Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trỡnh Chuẩn:

2/.Cõu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường trũn ( C) :

18 11421

a a

Cộng (4), (5) và (6) theo vế với vế ta có điều phải chứng minh.

2 Theo chương trình Nâng cao:

Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(-1; 1), bán kính R=1, M là

một điểm trên ( ) :d x y− + =2 0 Hai tiếp tuyến qua M tạo với (d) một góc 450 tiếp xúc với (C)

tại A, B Viết phương trình đường thẳng AB.

Dễ thấy I∈( )d Hai tiếp tuyến hợp với (d) một góc 450 suy ra tam giác MAB vuông cân và tam giác IAM cũng vuông cân Suy ra: IM = 2

Suy ra có 2 điểm thỏa mãn: M1(0; 2) và M2 (-2; 0)

+ Đường tròn tâm M1 bán kinh R1=1 là (C1): x2+y2−4y+ =3 0

Khi đó AB đi qua giao điểm của (C ) và (C1) nên AB:

+ Đường tròn tâm M2 bán kinh R2=1 là (C2): x2+y2+4x+ =3 0

Khi đó AB đi qua giao điểm của (C ) và (C2) nên AB:

+ KL: Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x y+ − =1 0 và x y+ + =1 0

2).Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2),

DH ⊥ ABC và DH =3 với H là trực tâm tam giác ABC Tính góc giữa (DAB) và (ABC) Trong tam giác ABC, gọi K CH= ∩AB

Khi đó, dễ thấy AB⊥(DCK) Suy ra góc giữa (DAB) và

(ABC) chính là góc DKH∠ .Ta tìm tọa độ điểm H rồi

x

x−− có đồ thị là (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A,

b sao cho AB ngắn nhất

1.Theo chương trình chuẩn:

Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0;khoảng cách từ C đến (∆ ) bằng 2 lần khoảng cách từ B đến (∆) Tìm A, C biết C thuộc trục tung.Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai đường thẳng :

2.Theo chương trình nâng cao:

Câu 6b: Cho ∆ ABC có diện tích bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0.tìm bán kinh đường tròn nội tiếp ∆ ABC

Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

(P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0

Tìm tất cả các giá trị của m để (S) cắt (d) tại 2 điểm MN sao cho MN= 8

ĐÁP ÁN ĐỀ 2Câu 1: Cho hàm số y = 2 3

2

x

x−− có đồ thị là (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A,

(∆ ) ∩ TCN = B (2x0 –2; 2)

0 0

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)

Gọi M là trung điểm của BC và O là hình chiếu của S lên AM Suy ra:

SM =AM =a23; ·AMS= 60 0 và SO ⊥ mp(ABC)

⇒ d(S; BAC) = SO =34a ⇒ V(S.ABC) =1 ( ). 3 3

3dt ABC SO=a16

Mặt khác, V(S.ABC) =1 ( ) ( ; )

3dt SAC d B SAC

∆SAC cân tại C có CS =CA =a; SA =a23⇒ dt(SAC) = a2 1613 3

Vậy d(B; SAC) = dt SAC(3V ) = 313a

Phần riêng:

1.Theo chương trình chuẩn:

Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0;khoảng cách từ C đến (∆ ) bằng 2 lần khoảng cách từ B đến (∆) Tìm A, C biết C thuộc trục tung.Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của B, C lên (∆)

M là đối xứng của B qua ∆⇒ M ∈ AC và M là trung điểm của AC

=



 = −



2.Theo chương trình nâng cao:

Câu 6b: Cho ∆ ABC có diện tích bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0.tìm bán kinh đường tròn nội tiếp ∆ ABC

C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) = 5 2

S

p = + +

(2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ r= =S p 2 2 5+3

Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

(P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0

Tìm tất cả các giá trị của m để (S) cắt (d) tại 2 điểm MN sao cho MN= 8

(S) tâm I(-2;3;0), bán kính R= 13− =m IM m( <13)

Gọi H là trung điểm của MN ⇒ MH= 4 ⇒ IH = d(I; d) = − −m 3

(d) qua A(0;1;-1), VTCP ur=(2;1;2)⇒ d(I; d) = ;

3

u AI u

r uurrVậy : − −m 3=3 ⇔ m = –12( thỏa đk)

ĐỀ 3

A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y =x3 −3(m+1)x2 +9x−m , với m là tham số thực.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m=1

2 Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1−x2 ≤2.

Câu II (2,0 điểm)

2sin(

2cossin

2sincot

x

2 Giải phương trình: 2log5(3x−1)+1=log3 5(2x+1).

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân =∫5 ++

1

2

13

1

dx x x

x

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB=1,CC'=m (m>0).

Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB và ' BC' bằng 60 0

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x ,,y z thoả mãn x2 +y2 +z2 =3 Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức

z y x zx yz xy A

+++++

B PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b).

a Theo chương trình Chuẩn:

Câu VIa (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác , ABC có A(4;6),

phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là

013

2x−y+ = và 6x−13y+29=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình vuông MNPQ có , M(5;3;−1), P(2;3;−4).

Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng (γ):x+y−z−6=0

Câu VIIa (1,0 điểm) Cho tập E={0,1,2,3,4,5,6} Từ các chữ số của tập E lập được bao nhiêu

số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

b Theo chương trình Nâng cao:

Câu VIb 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy xét elíp ), (E đi qua điểm M(−2;−3) và có phương trình một đường chuẩn là x+8=0 Viết phương trình chính tắc của (E)

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm , A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) và mặtphẳng (α): x+2y+2=0. Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A,B,C và

mặt phẳng (α)

Câu VIIb (1,0 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức 1−x+2(1−x)2 + +n(1−x)n thu được đathức P(x)=a0 +a1x+ +a n x n Tính hệ số a biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn8

n C

C n n

171

3

ĐÁP ÁN ĐỀ 3

A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y =x3 −3(m+1)x2 +9x−m , với m là tham số thực.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m=1

§å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0,−1).

2.Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1−x2 ≤2.

=

∆

⇔

31

310

3)1(

Tõ (1) vµ (2) suy ra gi¸ trÞ cña m lµ −3≤m<−1− 3 vµ −1+ 3<m≤1

Câu II (2,0 điểm)

2sin(

2cossin

2sincot

cossin2sin2

+

x x

x x x

x

02sin)4sin(

cos

0cossin

cos2sin

−

⇔

x x

x

x x

x x

x

20

=

⇔+

n x

m x

n x

x

m x

x x

3

24

242

42

24

2)4sin(

2

sin

ππ

ππ

π

ππ

ππ

π

3 5

2 5

)12()13(5

)12(log)13(5log

x x

x

§èi chiÕu ®iÒu kiÖn (*), ta cã nghiÖm cña pt lµ x=2.

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân =∫5 ++

1

2

13

1

dx x x

32

31

x

dx dt

3

2 31

13

1

tdt t

t

t

2 2 4

2

2

12

)1(9

2

t

dt dt

t

.5

9ln27

1002

41

1ln2

t

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB=1,CC'=m (m>0).

Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB và ' BC'

bằng 60 0

- KÎ BD//AB' (D∈A'B')

060)',()

* Chú ý: - Nếu HS chỉ xét trờng hợp góc 60 thì chỉ cho 0,5đ khi giải đúng.0

- HS có thể giải bằng phơng pháp vectơ hoặc toạ độ với nhận xét:

''

'.')'

,'cos(

BC AB BC

AB BC

Cõu V (1,0 điểm) Cho cỏc số thực khụng õm x ,,y z thoả món x2 +y2 +z2 =3 Tỡm giỏ trị lớnnhất của biểu thức

z y x zx yz xy A

+++++

Đặt t=x+y+z ⇒

2

3)

(23

2

zx yz xy zx

yz xy

2

≤

≤

−+

t

t t f

Suy ra f (t) đồng biến trên [ 3,3] Do đó

3

14)3()(t ≤ f =

B PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b).

a Theo chương trỡnh Chuẩn:

Cõu VIa (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giỏc ABC cú,

A ,phương trỡnh cỏc đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần

lượt là 2x−y+13=0 và 6x−13y+29=0 Viết phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam

0132

−

=+

−

C y

x

y x

-AB⊥CH ⇒n AB =u CH =(1,2)

⇒pt AB:x+2y−16=0

C(-7; -1)

B(8; 4)

02913

6

0162

M y

x

y x

−

=

−+

−

−

=+++

=+++

07

50

04

880

06

452

p n m

p n m

p n m

p n

m

Suy ra pt đờng tròn: x2+y2−4x+6y−72=0 hay (x−2)2+(y+3)2 =85.

2 Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hỡnh vuụng MNPQ cú , M(5;3;−1), P(2;3;−4).

Tỡm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng (γ):x+y−z−6=0

PN MN

−+

−

−

++

−+

−

=++

−+

−

⇔

0)4)(

1()3()2)(

5(

)4()3()2()1()3()5(

0 0

2 0 0

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

z z y

x x

z y

x z

y x

+

−+

−

−

=

−+

⇔

)3(0

)4)(

1()3()2)(

5(

)2(0

1

0 0

2 0 0

0

0 0

z z y

x x

z x

0 0

x z

x y

1,3

1,

3,2

0 0 0

0 0

0

z y x

z y

;1

;3(

)1

;3

;2(

;2

Cõu VIIa (1,0 điểm) Cho tập E={0,1,2,3,4,5,6} Từ cỏc chữ số của tập E lập được bao

nhiờu số tự nhiờn chẵn gồm 4 chữ số đụi một khỏc nhau?

Giả sử abcd là số thoả mãn ycbt Suy ra d∈{0,2,4,6}

Câu VIb (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy xét elíp ), (E đi qua điểm

)3

)1(194

2

2 2

c a

b a

Ta cã (2)⇔a2 =8c⇒b2 =a2 −c2 =8c−c2 =c(8−c).

)8(

98

−

⇔

213

20

2617

2 2

c

c c

c

1216:)(12,

16

2 2 2

39,

52

2 2 2

2()3()

1()

1

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

++

=

−+

−+

=+

−+

=++

=++

−

−+

−+

=+

−+

+

−+

=++

−

⇔

)3(5

)22()

1

(

)2()

2()3()

1(

)1()

1()

1

(

2 0 0 2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

y x z y x

z y

x z y

x

z y

x z y x

0 0

3 x z

x y

0 0

2

0 8 10) (3 2)3

23

;3

23(

)2

;1

;1(

M M

Câu VIIb (1,0 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức 1−x+2(1−x)2 + +n(1−x)n thu được đa

n x a x

a a x

P( )= 0 + 1 + + Tính hệ số a biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn8

n C

C n n

171

n n

n n n

n

n n C

)2)(

1(

!3.7)

1(2

31

7

1

3 2

9

0365

Suy ra a lµ hÖ sè cña 8 x trong biÓu thøc 8 8(1−x)8+9(1−x)9

Câu I (2 điểm)

Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông gócnhau

Câu II (2 điểm)

=

−+

−

−

0322

6)2)(

1)(

1(

2

x

y x y x

2/ Giải phương trình : tan2x + cotx = 8cos2x

Câu III.(1 điểm)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2x, y = 3 – x , trục hòanh vàtrục tung

Câu IV.(1 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD Biết mặt bên của hình chóp

là tam giác đều và khỏang cách từ O đến mặt bên là d Tính thể tích khối chóp đã cho

Câu V (1 điểm)

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có:

2sin.2sin.2

sin4

sin.4sin.4

II PHẦN RIÊNG (3điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc b)

Câu VI a.(2 điểm)

1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa Oxy ,cho elip (E): 1

46

2 2

=+ y

Câu VII a.(1 điểm)

Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4x – 4m(2x – 1) = 0

Câu VI b.(2 điểm)

1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho hai điểm A(1 ; 2), B(1 ; 6) và đường tròn

(C): (x - 2)2 + (y - 1)2 = 2 Lập phương trình đường tròn (C’) qua B và tiếp xúc với (C) tại A

2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0 ; 0 ; c) với a, b,

c là những số dương thay đổi sao cho a2 + b2 + c2 = 3 Xác định a, b, c để khỏang cách từ O đến mp(ABC) lớn nhất

Câu VII b.(1 điểm)

Tìm m để phương trình: 4(log ) log 0

2 1

2

2 x − x+m= có nghiệm trong khỏang (0 ; 1).

ĐÁP ÁN ĐỀ 4I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm)

Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc nhau.Phương trình hòanh độ giao điểm của (C) và (d): x3 – (m + 3)x – m – 2 = 0

3,1

x

y x

(*) phải có hai nghiệm phân biệt ( m > )

⇔

3

2233

2230

118

9 2

m

m m

=

−+

−

−

0322

6)2)(

1)(

1(

2

x

y x y x

=+

=+

−

=

−+

6)(0

5

6)(0

5)1()

1

(

6)11)(

1)(

1

(

2 2

2 2

v u uv v

u

v u uv y

x

y x y x

52

6

S P

S

S P

u, v là nghiệm của phương trình: X2 – 3X + 2 = 0

111

1

212

1

y

x y

x X

X

Vậy nghiệm của hệ: (3 ; 2), (2 ; 3)

2/ Giải phương trình : tan2x + cotx = 8cos2x

x x

x

x x x

x x

x x

x

sin.2cos

cossin

.2cos

cos2cossin

.2sinsin

cos2

cos2

24

2

πππ

π

ππ

k x

k x

k x

Câu III.(1 điểm)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2x, y = 3 – x , trục hòanh và trục

tung

Phương trình : 2x = -x + 3 có một nghiệm duy nhất x = 1 Do đó đồ thị hai hàm số cắt nhau tại

điểm có hòanh độ x = 1 Vậy diện tích cần tính là:

1)

3(

Câu IV.(1 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD Biết mặt bên của

hình chóp là tam giác đều và khỏang cách từ O đến mặt bên

62

6

1

3

d d

d SO CD

Câu V (1 điểm)

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có:

2sin.2sin.2

sin4

sin.4sin.4

cos4

sin2

sin2

sin2

12

cos4

sin2

sin2

sin2

12

cos4

sin2

sin2

sin2

12

sin

2

sin

B A

C A C A

C A

C

A C

B C B C

B C

B

C B

A B A B

A B

A

πππ

Nhân vế với vế được bất đẳng thức cần chứng minh

II PHẦN RIÊNG (3điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc b)

Câu VI a.(2 điểm)

1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa Oxy ,cho elip (E): 1

46

2 2

=+ y

D

CB

A

S

−

=

246

4

1)1(

2

x

x k y

Suy ra: (6k2 + 4)x2 – 2(6k2 – k)x + 6k2 – 2k – 23 = 0 (*)

46

6246

)6

(2

2

2 2

−

⇔

=+

−

k k

k k k

k k

260

cos),

B A

B A n

+++

Câu VII a.(1 điểm)

Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4x – 4m(2x – 1) = 0

y’ = 0⇔t =0∨t=2

Từ bảng biến thiên ta có : m < 0 ∨m≥1

Câu VI b.(2 điểm)

1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho hai điểm A(1 ; 2), B(1 ; 6) và đường tròn

(C): (x - 2)2 + (y - 1)2 = 2 Lập phương trình đường tròn (C’) qua B và tiếp xúc với (C) tại A

(C) có tâm I(2 ; 1) và phương trình của đường thẳng AI: x + y – 3 = 0

Pt của (C’) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 có tâm I’(-a ; -b)

A(1 ; 2), B(1 ; 6) thuộc (C’) và tâm I’ thuộc đường thẳng AI Ta có hệ phương trình:

2

54

2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0 ; 0 ; c) với a, b,

c là những số dương thay đổi sao cho a2 + b2 + c2 = 3 Xác định a, b, c để khỏang cách từ O đến

2

yy'

Pt mp(ABC):

2 2 2

111

1))

(

;(1

c b a

ABC O d c

z b

y a

x

++

−

=

⇒

=++

2 2 2 2

2 2

13111

c b a c

31113

111

2 2 2 2

2

c b a c

b a

Dấu = xảy ra khi a2 = b2 = c2 hay a = b = c = 1

Vậy d lớn nhất bắng

3

1 khi a = b = c = 1Cõu VII b.(1 điểm)

Tỡm m để phương trỡnh: 4(log ) log 0

2 1

2

2 x − x+m= cú nghiệm trong khỏang (0 ; 1).

2

1

2 2

y’ + 0 -

y

4

1

2 x y

−

+

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Cho điểm A(0;a) Xác định a đẻ từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tơng ứng nằm về hai phía trục ox

Cõu II (2,0điểm)

=+

−+

−

0222

0964

2 2

2 2 4

y x

y x

y y

x x

++

Cõu IV (2,0 điểm)Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO

⊥(ABCD) Gọi M, N lần lợt là trung điểm của SA và BC Tính góc giữa đờng thẳng MN và mặtphẳng (ABCD) và thể tích khối chóp M.ABCD, biết rằng .

abc

c b a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA = a3(b+c)+

− .Viết phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng đi qua điểm M,

cắt và vuụng gúc với đường thẳng d và tìm toạ độ của điểm M’ đối xứng với M qua d

Câu VII.a (1 điểm) Một lớp học có 40 học sinh, cần cử ra một ban cán sự gồm một lớp trởng, mộtlớp phó và 3 ủy viên (Biết rằng không phân biệt các chức danh là ủy viên) Hỏi có bao nhiêucách lập ra một ban cán sự

B Theo chơng trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm) 1)Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) :

x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M Tỡm B∈( ) àd v C∈( ')d sao cho A là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MBC

2) Trong kg Oxyz cho đường thảng (∆): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết

PT mặt cầu(S) cú tõm I∈∆và khoảng cỏch từ I đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giaotuyến đường trũn (C)cú bỏn kớnh r=3

Câu VII.b (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để đờng thẳng y=−2x+m cắt đồ thị hàm số

= tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung

ĐÁP ÁN Đấ̀ 5

I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Cõu I (2,0 điểm)Cho hàm số

1 x

2 x y

−

+

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Cho điểm A(0;a) Xác định a đẻ từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tơng ứng nằm về hai phía trục ox

Phơng trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1)

) 3 ( k ) 1 x ( 3

) 2 ( a kx 1 x

2 x

1 a 0

6 a 3 '

0 3 ) 1 (

1 a

Hoành độ tiếp điểm x1; x2 là nghiệm của (4)

Tung độ tiếp điểm là

1 x

2 x y

2 x y

1 x (

) 2 x )(

2 x ( 0 y y

2 1

2 1

⇔

<

3

2 a 0 3

6 a 9 0 1 ) x x

(

x

x

4 ) x x

2

1

2 1

−

+ + +

3

2 < ≠

− thoả mãn đkiệnbài toán

Cõu II (2,0điểm)

=+

−+

−

0222

0964

2 2

2 2 4

y x

y x

y y

x x

+

=

−+

−

022)

2

(

4)3(

)

2

(

2 2

2 2

u v

x y

x y

x y

Cõu III (1,0điểm) Tớnh tớch phõn I=

4 4

−

++

Tớnh tớch phõn I=

4 4

−

++

Cõu IV (2,0 điểm)Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO

⊥(ABCD) Gọi M, N lần lợt là trung điểm của SA và BC Tính góc giữa đờng thẳng MN và mặt

phẳng (ABCD) và thể tích khối chóp M.ABCD, biết rằng .

2

10

a

MN =

SO⊥(ABCD) Dựng MH//SO, H thuộc AC, khi đó MH

⊥(ABCD), suy ra góc giữa đờng thẳng MN với

mp(ABCD) chính là góc M NˆH =α. Ta cần tính α

Xét tam giác CNH có :

.2

,4

23

4

CN

a AC

0 2

2.4

10

a

a MN

M

a

α

210

a

8

302

3.4

1060

tan.60

308

30.3

1

3

a MH S

abc

c b a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA = a3(b+c)+

y

a

1,

1,

1

=

=+

++

+

+

=

x y

z z x

y z

y

x

A

1111

1

1

3 3

3

2

3

3 3

3

≥+

++

+

xy z x z

xz y z y

yz

Do abc=1 ⇒ xyz=1 nên ta có

y x

z x z

y z y

x A

+

++

++

Ta chứng minh bất đẳng thức

2

c b

a+ +

2 2

2

a b

c a c

b c b

a

+

++

++

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dơng ta có:

a c b c b

c + + ≥

2

.Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có :

2

c b

a+ +

2 2

2

a b

c a c

b c b

a

+

++

++

3

2 2

2

=

≥++

≥+

++

+

z y x y x

z x z

y z y x

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 Vậy minA =

2

3 khi a = b = c =1.

 Phần Riêng: (3 điểm)

Thí sinh chỉ đ ợc chọn làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A Theo chơng trình chuẩn

Câu VI.a (2 điểm) 1)Cho ∆ABC có PT hai cạnh là:5x−2y+6=0, 4x+7y-21=0.Trực tâm

của tam giác trùng với gốc toạ độ O, lập phơng trình cạnh còn lại

Ta giả sử tam giác ABC có cạnh AB : 5x−2y+6=0

AC: 4x+7y-21=0, suy ra tọa độ của A là

A

B’

A’

Vậy phơng trình cạnh còn lại của tam giác ABC là y = -7.

2.Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d với

d : x 1 y 1 z

− .Viết phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng đi qua điểm M,

cắt và vuụng gúc với đường thẳng d và tìm toạ độ của điểm M’ đối xứng với M qua d

Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn d, ta cú MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuụng gúc với d

trởng, một lớp phó và 3 ủy viên (Biết rằng không phân biệt các chức danh là ủy viên) Hỏi

có bao nhiêu cách lập ra một ban cán sự

• Đầu tiên ta chọn ra 2 học sinh để làm lớp trởng và lớp phó, (chú ý rằng hai chức danh đó làkhác nhau)

• Tiếp đó ta chọn 3 học sinh làm ủy viên (không phân biệt thứ tự)

Số cách chọn 3 học sinh làm ủy viên là 3

Câu VI.b (2 điểm) 1)Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) :

x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M Tỡm B∈( ) àd v C∈( ')d sao cho A là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MBC

2) Trong kg Oxyz cho đường thảng (∆): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết

PT mặt cầu(S) cú tõm I∈∆và khoảng cỏch từ I đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt

mp(P )theo giao tuyến đường trũn (C)cú bỏn kớnh r=3

m cầu(S) cú tõm I∈∆g sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT của∆(1)

*d I P( ;( ) ) =2 (2)

= tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.

 Phơng trình hoành độ giao điểm:

)0(01)1(32

⇔+

−

=++

x x

m x

m x x

x

 Hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

6

12

I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Cõu I (2.0 điểm) Cho hàm số y x= 4−5x2+4, cú đồ thị (C)

Câu IV (2.0 điểm)

1.Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5= và BAC∧ =120o.

Gọi M là trung điểm của cạnh CC1

a/.Chứng minh MB⊥MA1

b/.Tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)

II PHẦN RIÊNG (3.0 điểm)

1)Câu VI.a (2.0 điểm)

1 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1; 3; -2), B (-3; 7; -18) và mặt phẳng

(P): 2x - y + z + 1 = 0

a Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P)

b Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất

log x + + −x 1 log x=2x x−

2)Câu V.b (1,5điểm)

1 Giải bất phương trình: (log 8 log x )logx + 4 2 2 2x 0≥

2.(1.5 điểm) Cho x, y, z là các số dương Chứng minh :

3x+2y+4z≥ xy+3 yz+5 zx

ĐÁP ÁN ĐỀ 6

I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y x= 4−5x2+4, có đồ thị (C)

(1) ⇔− cos22x − cosxcos2x = 2cos2x và sin2x ≠ 0

⇔ cos2x 0 v2 cos x cosx 1 0(VN)= 2 + + =

1.Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5= và BAC∧ =120o Gọi M là

trung điểm của cạnh CC1

Ta có: uuuur uuuuurBM.MA1=a ( 5 0 5) 02 − + + = ⇒BM MA⊥ 1

b.Tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)

II PHẦN RIÊNG (3.0 điểm)

1)Câu VI.a (2.0 điểm)

1 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1; 3; -2), B (-3; 7; -18) và mặt phẳng

(P): 2x - y + z + 1 = 0

a Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P)

Ta có AB ( 2,4, 16)uuur= − − cùng phương với a ( 1,2, 8)r= − −

mp(P) có VTPT uurn (2, 1,1)= −

Ta có uur r

[ n ,a] = (6 ;15 ;3) cùng phương với (2;5;1)

Phương trình mp(Q) chứa AB và vuông góc với (P) là :

2(x + 1) + 5(y − 3) + 1(z + 2) = 0

⇔ 2x + 5y + z − 11 = 0

b Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất

Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với Mp (P)

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P) ; Pt AA' : x 1 y 3 z 2

Câu I :( 2, 0 điểm) Cho hàm số y (m 2)x= + 3+3x2+mx 5− , m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 0

2 Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành

độ là các số dương

Câu II :( 2, 0 điểm) Giải các phương trình

1 4sin x.c 3x 4cos x.sin 3x 3 3c 4x 33 os + 3 + os =

log (x +5x 6) log (x+ + +9x 20) 1 log 8 + = +

Câu III :( 1, 0 điểm) Tìm giá trị của tích phân :

3

1

ln xI

x 1 ln x

=

+

∫

CâuVI :( 1, 0 điểm) Một mặt phẳng qua đỉnh S của một hình nón cắt đường tròn đáy theo cung

»AB có số đo bằng α Mặt phẳng (SAB) tạo với đáy góc β Biết khoảng cách từ tâm O của đáyhình nón đến mặt phẳng (SAB) bằng a Hãy tìm thể tích hình nón theoα,βvà a

CâuV :( 1, 0 điểm) Cho x, y, z là ba số dương Chứng minh bất đẳng thức sau :

2 x3 2 2 y3 2 32 z2 12 12 12

x y + y z + z x ≤ x + y + z

B.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần 1 hoặc 2)

1.Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa :(2,0 điểm)

1/ Trong mặt phẳng (Oxy), cho đường tròn (C ): 2 2

2x +2y −7x 2 0− = và hai điểm A(-2; 0), B(4;3) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm của (C ) với đường thẳng AB

2/ Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(2; -1; 2) , song song với Oy

và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x – y + 3z + 4 = 0

Câu VIIa :(1,0 điểm) Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu số tự

nhiên có 7 chữ số khác nhau đôi một sao cho hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau , được lập

từ các chữ số đã cho

2.Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb :(2,0 điểm)

1/ Trong mặt phẳng (Oxy), cho đường tròn (C ):2x2+2y2−7x 2 0− = và hai điểm A(-2; 0), B(4;3) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm của (C ) với đường thẳng AB

tiếp xúc với parabol y = x2 +5

Câu VIIb :(1,0 điểm) Cho khai triển ( x 1 )

rằng số hạng thứ 6 trong khai triển này là 224

ĐÁP ÁN ĐỀ 7A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7.0 điểm)

Câu I :( 2, 0 điểm) Cho hàm số y (m 2)x= + 3+3x2+mx 5− , m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 0

2 Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành

độ là các số dương

Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

⇔PT y ' 3(m 2)x = + 2 + 6x m + = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Câu II :( 2, 0 điểm) Giải các phương trình

1 4sin x.c 3x 4cos x.sin 3x 3 3c 4x 33 os + 3 + os =

• t = - 4 : x 2 + 7x 12 + = − ⇔ 4 x 2 + 7x 16 0 + = : vô nghiệm

+ Kết luận : PT có hai nghiệm là x = -1 và x = - 6

Câu III :( 1, 0 điểm) Tìm giá trị của tích phân :

3

1

ln xI

x 1 ln x

=

+

∫+ Đặt t 1 ln x 1 ln x t2 dx 2tdt

CâuVI :( 1, 0 điểm) Một mặt phẳng qua đỉnh S của một hình nón cắt đường tròn đáy theo cung

»AB có số đo bằng α Mặt phẳng (SAB) tạo với đáy góc β Biết khoảng cách từ tâm O của đáyhình nón đến mặt phẳng (SAB) bằng a Hãy tìm thể tích hình nón theoα,βvà a

+Gọi I là trung điểm của dây cung AB và H là chân đường cao hạ từ O của tam giác SOI thì :

AB IO⊥ , AB SO⊥ ⇒AB⊥(SIO)⇒AB SI⊥ và AB OH⊥ ,và đã có IS OH⊥ theo cáchdựng Từ giả thiết của đề bài , ta có ·IOA · OH a

a = b = c )

xy + yz+ zx ≤ x + y + z , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z (4)

+ Từ (1), (2), (3) và (4) ta có BĐT cần C/minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x = y = z > 0

B.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần 1 hoặc 2)

1.Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa :(2,0 điểm)

1/ Trong mặt phẳng (Oxy), cho đường tròn (C ): 2 2

2x +2y −7x 2 0− = và hai điểm A(-2; 0), B(4;3) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm của (C ) với đường thẳng AB

Vậy có hai giao điểm là M(0; 1) và N(2; 2)

+ Các tiếp tuyến của (C ) tại M và N lần lượt nhận các vectơ IM 7;1

+ Gọi nrP

là VTPT của mặt phẳng (P) Vì (P) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên nrP ⊥nrQvà nrP ⊥rj , do đó có thể chọn nrP =r rj, nQ=(3;0; 2)− .Mp đi qua M và có VTPT(3;0; 2)− là

3(x - 2) + 0(y+1) -2(z - 2) = 0 , hay là : 3x - 2z - 2 = 0 // Oy Vậy (P) : 3x - 2z - 2 = 0

Cách 2

+ Mặt phẳng (P) song song trục Oy và đi qua M( 2; -1; 2) nên có phương trình dạng :

a( x – 2 ) + c(z – 2) = 0 ⇔ax cz 2a 2c 0+ − − = , với 2 2

a + ≠c 0 và 2a 2c 0− − ≠

+ Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) : 2x – y + 3z + 4 = 0 nên có 2a + 3c = 0 : chọn a =

3 và c = -2 , khi đó -2a – 2c = 2 0− ≠ , do đó PT mp(P) là : 3x – 2z – 2 = 0

Câu VIIa :(1,0 điểm) Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu số tự

nhiên có 7 chữ số khác nhau đôi một sao cho hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau , được lập

từ các chữ số đã cho

Đặt A = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 }

+ Tổng số các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau đôi một lập được từ các chữ số của tập A là 7!+ Trong A có hai chữ số chẵn là 2 và 4 nên : Tổng số các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau đôimột sao cho hai chữ số chẵn luôn đứng cạnh nhau , lập được từ các chữ số của tập A là : 2!6!+ Vậy : Tổng các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là : 7! – 2!6! = 6!(7 – 2) = 6!5 = 3600

(số )

2.Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb :(2,0 điểm)

1/ Trong mặt phẳng (Oxy), cho đường tròn (C ): 2 2

2x +2y −7x 2 0− = và hai điểm A(-2; 0), B(4; 3) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm của (C ) với đường thẳngAB

+ Tìm các giá trị của m sao cho tiệm cận của đồ thị hàm số

tiếp xúc với parabol y = x2 +5

và tiệm cận xiên là đường thẳng (d2) y = 2x + 1 - m

+ Đường thẳng (d1) x = - m luôn cắt parabol parabol y = x2 +5 tại điểm (-m ; m2 +5) ( với mọi

m

2

±

≠ ) và không thể là tiếp tuyến của parabol

+ Tiệm cận xiên (d2) y = 2x + 1 - m tiếp xúc với parabol y = x2 +5 ⇔PT x2 +5 = 2x + 1 - m , hay PT x2 – 2x + 4 +m = 0 có nghiệm kép⇔ ∆ =' 1-(4 + m) = 0 ⇔ = −m 3( thỏa điều kiện)Kết luận : m = -3 là giá trị cần tìm

Câu VIIb :(1,0 điểm) Cho khai triển ( x 1 )

rằng số hạng thứ 6 trong khai triển này là 224

Bài I (2 điểm) Cho hàm số 1 3 2 2

Bài II (2 điểm) Cho phương trỡnh cos3x−sin3x m= (1)

a) Giải phương trỡnh khi m=-1

b) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú đỳng hai nghiệm ;

4 4

x∈ − π π

Bài III (2 điểm)

a) Giải phương trỡnh xlog 9 2 =x2.3log 2x−xlog 3 2

b) Tớnh tớch phõn

2 4

4

sincos (tan 2 tan 5)

Bài IV(2 điểm)

1+ +x x +x = +a a x+ + a x Tỡm hệ số a của khai triển đú.9

b/.Cho a, b, c>0; abc=1 Chứng minh rằng

II-PHẦN RIấNG(3điểm)( Thớ sinh chỉ làm cõu Va hoặc Vb)

Bài Va.(3 điểm)

1 Trong khụng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) cú phương trỡnh

( ) (2 ) (2 )2

x+ + +y + +z = và điểm M(− − −1; 3; 2) Lập phương trỡnh mặt phẳng (P) đi quasao cho (P) cắt (S) theo một giao tuyến là đường trũn cú bỏn kớnh nhỏ nhất

2.Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A( )1;3 nằm ngoài (C): x2+ −y2 6x+2y+ =6 0

Viết phương trỡnh đường thẳng d qua A cắt (C) tại hai điểm B và C sao cho AB=BC

2.(2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt

phẳng (ABCD) và SA=2a Gọi E là trung điểm của cạnh CD

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đờng thẳng BE

b) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Bài II (2 điểm) Cho phương trình cos3x−sin3x m= (1)

a) Giải phương trình khi m=-1

Khi m=-1, phương trình trở thành (cosx−sinx) (1 cos sin+ x x)= −1

Đặt t = cosx−sinx; điều kiện t ≤ 2 Ta có nghiệm 2 2 ( , )

(1) ⇔(cosx−sinx) (1 cos sin+ x x) =m

Đặt t = cosx−sinx; điều kiện t ≤ 2

Bài III (2 điểm)

a) Giải phương trình xlog 9 2 =x2.3log 2x−xlog 3 2

4

sincos (tan 2 tan 5)

2 4

4

sincos (tan 2 tan 5)

xdx I

Bài IV(2 điểm)

II-PHẦN RIÊNG(3điểm)( Thí sinh chỉ làm câu Va hoặc Vb)

Bài Va.(3 điểm)

1 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

( ) (2 ) (2 )2

x+ + +y + +z = và điểm M(− − −1; 3; 2) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi quasao cho (P) cắt (S) theo một giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất

Ta thấy M thuộc miền trong của (S) và (S) có tâm I(− − −1; 2; 3 ,) R= 14 Do đó,

(P) qua M cắt (S) theo một giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất

I F

⇔ ≡ ⇔uuur= − là VTPT của (P) Vậy (P) cú phương trỡnh là y-z+1=0

2.Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A( )1;3 nằm ngoài (C): x2+ −y2 6x+2y+ =6 0

Viết phương trỡnh đường thẳng d qua A cắt (C) tại hai điểm B và C sao cho AB=BC

Theo yờu cầu bài toỏn ⇒A B C, , thẳng hàng và AB=BC.Gọi ( ; ), ( ; ) 2 1

a b m n

2.(2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=2a Gọi E là trung điểm

của cạnh CD

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đờng thẳng BE

Gọi F là trung điểm của BC => AF⊥BE

Vỡ ∆AIB ABF∆

2 2

E A

B

D

C S