bai toan tiep tuyen

Chuyên đề 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số - 3 dạng quan trọngĐÌNH THỦY Giới thiệu - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những bài toán cơ bản khi nghiên cứu về hàm số.. Việc viết p

Chuyên đề 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số - 3 dạng quan trọng

ĐÌNH THỦY

Giới thiệu

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những bài toán cơ bản khi nghiên cứu về hàm số Việc viết phương trình tiếp tuyến trước nay mới chỉ dừng lại ở những đồ thị hàm số hết sức cơ bản ví dụ như parabol, hyperbol… nhưng khi chúng ta đã biết đến đạo hàm thì việc viết phương trình tiếp tuyến đã được mở rộng thêm cho nhiều hàm số phức tạp hơn, và đây cũng chính là một trong những ứng dụng quan trọng của đạo hàm với việc cho biết hệ số góc của tiếp tuyến Sau đây chúng ta sẽ đi tìm hiểu về vấn đề này

Các bài toán mẫu

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc.

- Trước khi đi vào các ví dụ chúng tôi xin nhắc lại tính chất sau: cho hai đường thẳng  d : y k x b1  1  và 1

 d : y k x b2  2  2

+    d1  d2 thì k k1 2   1

+    d1  d2 thì k1k2

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y 1x3 5x2 20x 19

3

    , biết đường thẳng đó

vuông góc với đường thẳng y 1x 2

4

Lời giải:

- TXĐ: 

- Ta có:

2

yf (x) x  10x 20

- Phương trình tiếp tuyến là:

 d : y f x  0 x x 0y0

, trong đó (x ; y ) là tọa độ tiếp điểm.0 0

+ Tiếp tuyến vuông góc với y 1x 2

4

 

 

0 0 2

1

4

7

x 4, y

3







 Vậy phương trình tiếp tuyến là:

 d : y2  4(x 6) 7   4x 17

Chiến thuật

- Các bước giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y f x   khi biết hệ số góc:

+ Tính f x .

+ Áp dụng công thức phuơng trình tiếp tuyến:

y f (x ).(x x ) y    , (x ; y ) là tọa độ tiếp điểm0 0

 Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến rồi giải phương trình f (x ) k 0  , từ đó giải ra x và tìm phương 0 trình tiếp tuyến

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y x2 3x 1

x 1



 tại điểm có hoành độ x0 2

Lời giải:

+ TXĐ: \ 1 

+ x0 2 y0  3

+ Phương trình tiếp tuyến tai tiếp điểm 2; 3 là:

y y (2) x 2   3

Ta có:

 

 

 

2 2

y x

x 1





Vậy phương trình tiếp tuyến là  d : y 4 x 2     3 4x 11

Chiến thuật:

- Các bước giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong y f (x) tại tiếp điểm x ; y0 0

+ Tính f (x) f (x ) 0

+ Thay vào: y f x  0 x x 0y0.

Chú ý: Tiếp tuyến tại tiếp điểm chỉ có một.

- M ột trường hợp đặc biệt là tiếp tuyến tại giao điểm x ; y của đường cong 1 1  

 

u x y

v x

 với trục Ox thì hệ

số góc của tiếp tuyến là  

 11

u x k

v x



CM: Gọix ; y là giao điểm của hàm số với trục Ox1 1 u(x ) 01 

 hệ số góc của tiếp tuyến tại đó:        

 

2 1

k

v x

1

u (x )

k

v(x )



Khi dùng ta phải chứng minh, công thức này hết sức quan trọng trong một số bài toán

Ví dụ 2: Cho hàm số y x2 3x m2

x 2



 Tìm m để hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với Ox vuông góc với nhau

Lời giải:

- TXĐ: \ 2

- Ta thấy:

 

x 2

 Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt do    9 m2  0 m 

- Hệ số góc của hai tiếp tuyến tai giao điểm với trục hoành: 1 1

1

k





 và

2 2 2

k





 , trong đó x , x là 1 2 hoành độ hai tiếp điểm 1 2 2

1 2





Để hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau thì:

 

1 2

2 2

1 m 5 1 m

5

 

5

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến qua một điểm cho trước và sự tiếp xúc của hai đường cong.

- Hai đường cong bất kì y f x   và y g x   muốn tiếp xúc với nhau thì phải thỏa mãn hệ phương trình sau có nghiệm:

f (x ) g (x ) f(x ) g(x )



 , (x là hoành độ tiếp điểm)0

- Từ trên ta ứng dụng vào sự tiếp xúc giữa đường thẳng vào đường cong

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 3x2 x 1

x 2

 



 đi qua điểm A 2;0  

Lời giải:

+ TXĐ: \ 2 

+ Phương trình tiếp tuyến đi qua A 2;0 là  y k x 2   

 

0

0

2

2 0 2

0

0

0 2

0 0

0

k y x

x là hoành ti p i m

k

1 k 2









 







  

độ ế đ ể

Vậy tiếp tuyến là y 1x 1

2

Chiến thuật:

- Cỏc bước giải bài toỏn viết phương trỡnh tiếp tuyến qua điểm A x ; y cho trước với đường cong  1 1

 

y f x :

+ Tiếp tuyến cú dạng: y k x x   1y1

 0 k f x1 10  0



 , (x là hoành độ tiếp điểm) , từ đú giải ra x và tỡm ra k.0

Chỳ ý:

- Những bài toỏn cú tham số, tỡm tham số để f x cú tiếp tuyến qua điểm nào đú thỡ ta đặt điều kiện để hệ  

trờn cú nghiệm

- Tiếp tuyến của một đường cong đi qua một điểm A (cú thể thuộc hoặc khụng thuộc đường cong) cho trước

cú thể cú một hoặc nhiều tiếp tuyến Vỡ vậy khi làm bài ta cần phõn biệt rừ "tại" hay "qua"

Bài tập đề nghị:

Viết phương trỡnh tiếp tuyến của cỏc hàm số sau thỏa món điều kiện:

1, y x 33x2 , vuụng gúc với: 3x 5y 4 02    ĐS: 45x 27y 29 0   và 45x 27y 61 0  

2, y 2x2 7x 7

x 2



 , song song với: y x 4  ĐS: x y 1 0   và x y 3 0  

3, y x2 2x 3

2x 1



 , tại điểm cú hoành độ x 1 ĐS: y 4x 6

4, 3m 1 x m

y

x m



 , tỡm m để tiếp tuyến tại giao điểm với O x song song với đường thẳng 16x 3y 1 0   ĐS: m 1; 1

7

  

5, y x2 2x 1

x 2



 , qua điểm M 6; 4 ĐS: y 4   và y 3x 1

6, y x 33x m , tỡm m để đồ thị hàm số tiếp xỳc với Ox ĐS: m  2

* Trờn đõy chỳng tụi đó giới thiệu đến cỏc bạn 3 dạng viết phương trỡnh tiếp tuyến của một đường cong Mở rộng thờm cũn những bài toỏn nghiờn cứu về sự tiếp xỳc của hai đường cong bất kỡ, tuy nhiờn rất ớt khi gặp,

chúng tôi chỉ xin lưu ý các bạn 3 dạng toán trên sẽ xuất hiện nhiều trong các bài kiểm tra và bài thi Để làm tốt các bạn nên nhớ các bước giải mà chúng tôi đã giới thiệu, chúc các bạn thành công.

©2008-thithu.org-ĐÌNH THỦY