41 bài toán tiếp tuyến cho học sinh 11 và 12

KIẾN THỨC CĨ LIÊN QUAN ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ A... Các quy tắc tính đạo hàm: Đạo hàm của tổng hiệu tích thương các hàm số a... TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG CÁC DẠNG TỐN TIẾP TUYẾN CƠ BẢN 1...

KIẾN THỨC CĨ LIÊN QUAN ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

A TĨM TẮT GIÁO KHOA

1) Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a; b)

Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0, ký hiệu là f'(x0) hay y'(x0) là giới hạn hữu hạn (nếu có)

của

→

−

−

0

f(x) f(x ) lim

x x

0

0

f(x) f(x )

f '(x ) lim

x x

→

−

=

−

2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

• Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 là f'(x0) (C) là đồ thị của hàm số

M (x ;f(x )) (C)0 0 0 ∈ và ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M

a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

• Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm

M (x ;f(x ))

0

k f '(x )= (k tan= α với α =(ox;∆)) b) Phương trình tiếp tuyến:

• Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm

M0(x0;f(x0)) là:

y f '(x )(x x ) f(x )= − +

hay: y −y0 =k x( −x0) trong đĩ : 0 0

0

y f(x )

k f '(x )

=





=



(C): y=f(x)

0

0

f(x )

y

0

3 Các quy tắc tính đạo hàm:

Đạo hàm của tổng hiệu tích thương các hàm số

a Đạo hàm của tổng ( hiệu ): (u±v)′ =u′±v′

b Đạo hàm của tích:

(u.v)′ =u′.v+u.v′ Đặc biệt (C.u)′ =C.u′ Với C là hằng số

c Đạo hàm của thương:

2

v

v u v u v

=

′













Đặc biệt 1 21

′

−

 

=

 

′

= −

d Đạo hàm của hàm số hợp:

Cho hai hàm số y =f( )u và u =g( )x khi đó y =f[g( )x ] được gọi là hàm hợp của hai

hàm số trên, khi đó: y ′x = y ′u u ′x

4 Đạo hàm của các hàm số cơ bản:

( )C′ =0 ( C là hằng số ) ( )x ' 1= (C.x ') =C

Với u là một hàm số

( )n n 1

x ′ =n.x − (n∈N, n≥2) ( )n n 1

u ′ =n.u −.u′

2

′

 

= −

 

′

′

 

= −

 

  ( )

x

x 2

1

=

′

(x>0) ( )

u

u u

2

′

=

′

(sinx)′ =cosx (sinu)′ =u′cosu (cosx)′ =−sinx (cosu)′ =−u′sinu

2

1

cos x

′

2

u

cos u

′

′

′

2

1

sin x

′

2

u

sin u

′

′

′

(cx d)2

b c d a d cx

b ax

+

−

=

′











 +

+

( 1 1)2

1 1 1

2 1 1

1

b x a

c a b b x b a x a a b

x a

c bx ax

+

− + +

=

′













+ +

TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG

CÁC DẠNG TỐN TIẾP TUYẾN CƠ BẢN

1 Dạng 1:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm M (x ;y ) (C)0 0 0 ∈

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng:

y f '(x )(x x ) f(x )= 0 − 0 + 0 hay y - y0 = k ( x - x0 )

Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm

y0: tung độ tiếp điểm và y0 = f(x0)

k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f'(x0)

2 Dạng 2:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( )0 0 ∈ C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : '

0

( )

f x =k, từ đó suy ra y0 = f x( )0 =?

Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta sẽ được pttt cần tìm

(C): y=f(x)

0

0

y

y

0

(C): y=f(x)

0

0

y

y

0

Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:

Định lý 1: Nếu đường thẳng ( ∆ ) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của ( ∆ ) là:

k∆ =a Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) và ( )∆1 ∆2 Khi đó:

1 2

1 2

/ / k k ( )

k k 1

∆ ∆

∆ ∆

3 Dạng 3:

Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA)

Phương pháp : Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm M0(x0;y0) ( )∈ C

( ) :d y= f '( )(x0 x−x0)+ f x( )0 (*)

Bước 2: Định x0 để (d) đi qua điểm A(xA;yA) Ta có:

(d) đi qua điểm A(xA;yA) ⇔ y A = f '( )(x0 x A−x0)+ f x( 0) (1)

Bước 3: Giải pt (1) tìm x0 Thay x0 tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm

x y

A A A

y

O

)

; (x A y A A

) ( :

) (C y= f x

(C): y=f(x)

∆

x y

a

k =−1/

O

b ax

∆ :2

(C): y=f(x)

x

y

a

k =

b ax

1

∆

2

∆

Ngồi cách giải trên ta cĩ dựa vào định lý sau để giải

ĐỊNH LÝ:

Đường thẳng y=ax+ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số b y= f x( ) khi và chỉ khi hệ phương trình sau cĩ nghiệm

'( )

( )

=



 + =

( ) '( )





=



Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A và có hệ số góc là k bởi công thức:

y y− A =k x x( − A) ⇔ y=k x x( − A)+yA (*)

Bước 2: Định k để ( ∆ ) tiếp xúc với (C) Ta có:

tiếp xúc (C) hệ f(x)=k(x-x )' A có nghiệm (1)

f ( )

A

y

+



=



Bước 3: Giải hệ (1) tìm k Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

(Dành cho học sinh các lớp 11 chuyên)

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

Bài 10:

Bài 11:

Bài 12:

Bài 13:

Bài 14:

Bài 15:

Bài 16:

Bài 17:

Bài 18:

Bài 19:

Bài 20:

Bài 21:

Bài 22:

Bài 23:

Bài 24:

Bài 25:

Bài 26:

Bài 27:

Bài 28:

Bài 29:

Bài 30:

Bài 31:

Bài 32:

Bài 33:

Bài 34:

Bài 35:

Bài 36:

Bài 37:

Bài 38:

Bài 39:

Bài 40:

Bài 41:

============Hết============