BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN FECMA-ƯỚC LƯỢNG
Trang 1BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN FECMA-ƯỚC LƯỢNG
Tiếp tuyến:
Với tính nhất hình học dễ thấy rằng khi tiếp tuyến ( )d tt tại một ñiểm trên ñồ thị
( )x
f
y = ngoại trừ ñiểm uốn, thì luôn luôn tồn tại lân cận (α,β) sao cho f( )x ≥d tt
khi lân cận ñó nằm trong giới hạn lồi và f( )x ≤d tt lân cận ñó nằm trong giới hạn lõm
Trong trường hớp với ý ñồ ta giải bằng cách
b
a
x= và hiển nhiên trong những bài toán mà ñẳng thức xảy ra khi a=b=c thì rõ ràng ta viết phương trình tiếp tuyến tại (1 f; ( )1).Để chứng tỏ những ưu ñiểm của cách giải này, chúng ta xét những ví
dụ sau ñây
[Ví dụ]
Cho a ,,b c là các số thực dương.Chứng minh rằng
2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
c b a a ca c
c c
bc b
b b
ab a
+ +
+ + +
+ + +
Giải
Ta sẽ chứng minh x> 0thì
16
3 11 1
2 2
+ +
x x
x
x
thật vậy
Nếu
11
3
0 < x< thì bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng
Nếu
11
3
≥
x thì ta có
( 2 ) ( )2 4
3 11 1 2
256x ≥ x +x+ x−
( )x− 12(14x2+ 39x− 9)≥ 0 luôn luôn ñúng
11
3
≥
x
Từ ñó ta chọn x lần lượt là
a
c c
b b
a
, , vào bất ñẳng thức trên và cộng vế theo vế ta ñược
∑
+
cyclic
b a b
ab a
a
16
3 11
2
2
2
c b a b ab a
a cyclic
+ +
≥ + +
⇒ ∑
Vậy bài toán chứng minh xong
[Ví dụ]
Cho a ,,b c là các số thực dương.Chứng minh rằng
Trang 2(a b c)
c ca
a c b
bc
c b a
ab
b
+
− +
+
− +
+
−
4 6
29 6
29 6
29
2
3 3 2
3 3 2
3 3
Giải
Ta sẽ chứng minh x> 0thì
1 5 6
1 29
2
3
−
≤ +
−
x x
x
x
thật vậy Bất ñẳng ñẳng thức viết lại
6
1 1
1 5 6
1 29
2 2 2
3
>
∀
≤ +
+
−
−
= +
− +
−
x x
x
x x
x x
x
x
Từ ñó ta chọn x lần lượt là
a
c c
b b
a
, , vào bất ñẳng thức trên và cộng vế theo vế ta ñược
∑
+
−
cyclic cyclic
b a a
ab
b a
5 6
29
2
3 3
a ab
b a cyclic
+ +
≤ +
−
⇒ ∑ 4
6
29
2
3 3
Vậy bài toán chứng minh xong
[Ví dụ]
Cho a ,,b c là các số thực dương.Chứng minh rằng
3
2 2
3 2
2 3 2
2
3
c b a a ca c
c c
bc b
b b
ab
a
+ +
+ + +
+ + +
Giải
Ta sẽ chứng minh x> 0thì
3
1 2 1
2
+ +
x x
x
x
thật vậy Bất ñẳng ñẳng thức viết lại
1 3
1 1 3
1 2
2 2
3
≥ + +
+
−
=
−
− +
x x x
x
x
x
Từ ñó ta chọn x lần lượt là
a
c c
b b
a
, , vào bất ñẳng thức trên ta ñược
∑
+
cyclic
b a b
ab a
a
3
2
2 2
3
3
2 2
3
c b a b ab a
a cyclic
+ +
≥ + +
⇒ ∑
Vậy bài toán chứng minh xong
[Ví dụ]
Cho các số thực không âm a,b,c thoả a+b+c= 1 Chứng minh rằng
3 2 1 1
1
13 ≤ a2+a+ + b2 +b+ + c2 +c+ ≤ +
Giải
Trang 3Áp dụng bất ñẳng thức Mincowsky ta có
2 2
2 2
2
3 3 2
3 4
3 2
1
+
+ + +
≥ +
+
= +
cyclic cyclic
⇒ ∑ 2 + + 1 ≥ 13
cyclic
a a
Đẳng thức xảy ra khi
3
1
=
=
=b c a
Ta lại có ∀a∈[ ]0,1 thì a2 +a+ 1 ≤( 3 − 1)a+ 1 thật vậy, ta viết lại như sau ⇔(3 − 2 2)a(a− 1)≥ 0
Tương tư ta có
( 3 1) 1 , 1 ( 3 1) 1
2 +b+ ≤ − b+ c +c+ ≤ − c+
b
Cộng vế theo vế ta ñược
3 2 1
2 + + ≤ +
∑
cyclic
a a
Đẳng thức xảy ra khi a=b= 0 ,c= 1 và các hoán vị
[Lê Khánh Sỹ]
Cho các số thực x1,x2,x3 x n ≤ 7 và
2
2
1
n x n
k
k =
∑≥
=
Chứng minh rằng
5
6 1
1
1
1 1
1 1
1
2 2
3
3 2
2
2 2
1
x
x x
x x
x x
x
n
+
+ + + +
+ + +
+ + +
+
Giải
Với x≤ 7ta luôn có :
1 25
1 2 7 25
4 32 1
1
2 2
+
−
−
=
−
− +
+
x
x x
x x
x
25
4 32 1
1
2
x x
+
+
⇒
=
=
−
≤ +
+
k n
k k
k
x n
x
x
1 1
2
25
4 25
32 1 1
5
6 1
1
1
2
n x
x
n
k k
+
+
⇒∑
=
Vậy bài toán chứng minh xong
[Ví dụ]
Cho các số thực dương a ,,b c Chứng minh rằng
c a
c
b c
b
a
+ +
≥ +
+ +
+
9
2 2
2
Giải
Bất ñẳng thức trên là thuần nhất vì f(ta,tb,tc)=t−1f(a,b,c)Do ñó không mất tính tổng quát của bài toán ta chuẩn hóa a+b+c= 9
Trang 4Vậy bài toán ñược viết lại
1
−
∑
cyclic a
a
với a+b+c= 9
Dễ thấy
1 18
a a
a
( )
1 9
12
3 18
9
2
2
≥
−
⇒
− + +
≥
−
⇒
∑
∑
cyclic
cyclic
a a
c b a a a
Vậy bài toán chứng minh xong
[Ví dụ]
Cho các số thực dương a ,,b c thoả a2 +b2+c2 +d2 = 1 Chứng minh rằng
1 1 1
1
≥ + + +
−
+ +
d c b
a
Giải
Từ hệ thức
2
1 2
>
∀
≥ +
x
Suy ra
4
11 5
1 , 4
11 5
+
−
≥
− +
−
≥
b a
a
, 4
11 5
1 , 4
11 5
1 − ≥ − 2 + −d≥ − d2 +
d c
c
c
Cộng vế theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh
[Ví dụ]
Cho các số thực dương a,b,c,d thoả a+b+c+d = 1.Chứng minh rằng
8
1
6a3 +b3+c3+d3 ≥a2+b2 +c2+d2 +
Giải
Bài toán trên có thể viết lại như sau
Với các số thực dương x,y,z,tthoả mãn ñiều kiện x+y+z+t = 4 thì ta có
6x3 +y3+z3+t3 ≥ x2 + y2 +z2 +t2 +
Thật vậy từ hệ thức
(m− 1) (2 6m+ 8)≥ 0 , ∀m> 0 ta thay m lần lượt cho các biến thì ⇒ 6x3 ≥ 4x2 + 2 +(10x− 10)
Và 6y3 ≥ 4y2 + 2 +(10y− 10)
2 4
6z3 ≥ z2 + + z−
6t3 ≥ 4t2+ 2 +(10t− 10)
Trang 5Cộng vế theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi
1
=
=
=
= y z t
4
1
=
=
=
=b c d
Ước lượng ñánh giá
Bằng cách phân hoạch ñều của bất ñẳng thức , và ñẳng thức xảy ra khi nào ? lúc
ñó ta sẽ nhận xét và ñánh giá nó , tuy nhiên chúnh ta cũng có thể sai lầm do nó không phải là tổng quát của một cách giải nào
[Lê Khánh Sỹ]
Cho ba số dương a ,,b c thoả abc= 1 Chứng minh rằng
1 1
1 1
4 4 4
4 4
+ +
+ + +
+ +
a
Giải
Ta chọn số thực α sao cho
α α α
α
c b a
a c
b
−1 4
4
1
c b a c
( ) ( ) 1 4 4
c b bc
c
Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thức và bất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn
2
3
4 = α − ta tìm ñược ngay α = 2do ñó ta có
2 2 2 4 4
2 2 2 4 4
2 2 2 4 4
1
1
1
c b a
c b
a
c
c b a
b a
c
b
c b a
a c
b
a
+ +
≤ + +
+ +
≤ + +
+ +
≤ + +
Ta lại có
c b a c b
a2 + 2 + 2 ≥ + +
với abc= 1
Vậy bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi a=b=c= 1
[Lê Khánh Sỹ]
Cho các số thực dương a1,a2,a3, ,a n thoả a1a2a3, ,a n =1,∀i,j=1;n ,n≥3,k≥1 Chứng minh rằng
1 1
1
,
, 1
≤
+
∑
∑
=
≠
=
n
i
n
j i i
k i
a
Giải
Ta chọn số thực α sao cho
∑
∑
=
−
≠
=
≤
i i
j n
j i i
k i
a a a
1 1
, 1
1
α α
Trang 6
+
≤
≠
=
−
=
n
j i i
k i j
j n
i
a
, 1 1
1
α α
≠
=
−
≠
=
≤
j i i
k i j
n
j
i
i
a
, 1 1 ,
1
α α
≠
=
≠
=
−
≠
=
≤
j i i
k i n
j i i i n
j
i
i
a
, 1 ,
1 1
,
1
α α
Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thức và bất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn
( )(n−1 α−1)+α =k ta tìm ñược ngay
n
n
k+ − 1
=
α do ñó ñể bất ñẳng thức ñúng thì
ta cần chứng minh
∑
∑
=
−
− +
=
− +
≥ n
i n n k
i n
i
n n k
a
1
1 1
1
1
Bất ñẳng thức trên luôn ñúng vì theo bất ñẳng thức hoán vị thì
∑
∏
∑
=
−
− +
=
=
− +
i n n k
i n
n
I i n
i
n n k
a
1
1 1
1 1
1
1
=
∏
=
n
I i a
[Ví dụ]
Cho ba số thực dương a,b,c thoả abc= 1 Chứng minh rằng
1 1
1 1
4 4 2 4 4 2 4 4
+ +
+ + +
+ +
a
Giải
Ta chọn số thực α sao cho
α α α
α
c b a
a c
b
− 2 4
4 2
1
c b a c
( ) ( ) 2 4 4
c b bc
c
Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thức và bất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn
4
3
4 = α− ta tìm ñược ngay
3
8
=
α do ñó ta có
3 8 3 8 3 8 3 2
4 4 2
3 8 3 8 3 8 3 2
4 4 2
3 8 3 8 3 8 3 2
4 4 2
1
1
1
c b a
c b
a
c
c b a
b a
c
b
c b a
a c
b
a
+ +
≤ + +
+ +
≤ + +
+ +
≤ + +
Vậy ta cần chứng minh
Trang 73 3 3 3 3
Bất ñẳng thức trên luôn ñúng vì ta có
8 8
8 +y +z ≥ xyz x +y +z xyz=
x
Vậy bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi a=b=c= 1
[Ví dụ]
Cho ba số thực dương a,b,c Chứng minh rằng
2
3
2 2 2 2
2 2 2
2
2
≥ +
+ +
+
c a
c
b c
b
a
Giải
Thật ra ñây chỉ là biến thể của Nesbitt mà ta chứng minh rồi !
Ta chọn số thực α sao cho
+ +
≥
α
c b a
a c
b
a
2
3 2 2
2
( 2 2) 2
3 2 2
2aα + bα + cα ≥ aα − b +c
Ta lại có
3 2 3
3
α α α α α
b a b b
3 2 3
3
α α α α α
c a c c
Cộng vế theo vế và ñồng nhất với giả thiết ta ñược α = 3do ñó ta có
+ +
≥ +
+ +
≥ +
+ +
≥ +
3 3 3 3 2
2
2
3 3 3 3 2
2
2
3 3 3 3 2
2
2
2 3 2 3 2 3
c b a
a b
a
c
c b a
b a
c
b
c b a
a c
b
a
Cộng vế theo vế thì bài toán chứng minh xong
[Lê Khánh Sỹ]
Cho ba số dương a ,,b c thoả abc= 1 Chứng minh rằng
1
3 3 3
3 3
+ +
+ + +
+ +
c a
c b
b c
b
a
a
Giải
Ta chọn số thực α sao cho
α α α
α
c b a
a c
b
a
a
+ +
≤ + + 3 3
c b a c
( ) ( ) 1 3 3
c b bc
c
Trang 8Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thức và bất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn
2
3
3 = α − ta tìm ñược ngay
3
5
=
α do ñó ta có
3 5 3 5 3 5 3 5
3 3
3 5 3 5 3 5 3 5
3 3
3 5 3 5 3 5 3 5
3 3
c b a
c b
a
c
c
c b a
b a
c
b
b
c b a
a c
b
a
a
+ +
≤ + +
+ +
≤ + +
+ +
≤ + +
Cộng vế theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh
[Ví dụ]
Cho ba số thực dương a ,,b c Chứng minh rằng
3 3
3 3 3
3
3
≥ + +
+ + +
+ +
c a
c b
b c
b a
a
Giải
Ta chọn số thực α sao cho
α
c b a
a c
b a
a
+ +
≥ +
3
3
Bất ñẳng thức ñúng thì hiển nhiên ñúng với b=c= 1 do ñó suy ra
( 2)2 2 ( 3 8)
3 a + ≥a a +
( )
3 3 2
3 3
4 :
2 :
a a
a a
f
a a a a
f
+ +
+
−
=
′
+ +
−
=
+
−
+
α α
α α
α α
Ta cần có
( )1 :=−4 +( +3)+3=0⇔ =2
f
Với α = 2ta ñược
2 3
3
3
c b a
a c
b a
a
+ +
≥ + +
2 2
2 2 3
1
+ +
≤
+
+
⇒
a
c b a
c b
2 3
2
1 1
+ +
≤
+
+
⇒
a
c b a
c b
⇒t2( )t− 2 2 ≥ 0 với
a
c b
t= +
luôn luôn ñúng
Trang 9Tóm lại ta ñược
2 3
3
3
c b a
a c
b a
a
+ +
≥ + +
Xây dựng tương tự các bất ñẳng thức còn lại và cộng vế theo vế thì bài toán chứng minh xong
[Turkey 2007]
Cho ba số thực dương a,b,c thoả a+b+c= 1 Chứng minh rằng
ca bc ab b b ca a a bc c c
1 2
2
1 2
2
1 2
2
1
2 2
2
Giải
abc a
c c
b
ca bc ab
ab c
c ab
2 2
2
2 2
1
2 2
2 2
2
2 2
+
≥ + + +
+
+ +
≥ + +
2 2
2 2
2
2abc
a c c
Xây dựng tương tự các bất ñẳng thức còn lại và cộng vế theo vế thì bài toán chứng minh xong
[Moldova]
Cho các số thực x1,x2, ,x n∈[ ]0 , 1 Chứng minh rằng
3
1 1
2
1 2 1
2 3
1
− + + + +
− + +
+
− +
n x S n
x x
S n
x x
S n
x
1 3
1 x x n x
Giải
Bài toán chứng minh xong khi ta chứng minh ñược bất ñẳng thức sau
∀ 0,1 , 1; , 2 1 3 3 1 2 , ,
Do ñó ta xây dựng bài toán như sau
i
n n
x n S
n S
x x
x x x
x
− + +
≤
+
=
+ + + + + +
≤ + + +
1 2 2
2
2 2
, ,
Vậy bài toán chứng minh xong
[Crux-Mathematicorum]
Cho các số thực x1,x2, ,x6∈[ ]0 , 1 Chứng minh rằng
5
3 5
5
3 6 5
2
3 2 5
1
3
+
− + + +
−
+ +
x x
S
x x
S
x
6 5 5 5 4 5 3 5 2 5
x
Giải
Bài toán chứng minh xong khi ta chứng minh ñược bất ñẳng thức sau
6 3
2 3 1 5
3
5 5 ,
6
; 1 , 1 ,
∀
Do ñó ta xây dựng bài toán như sau
Trang 10( ) ( ) ( ) ( )
5 4
3
2
2 3 2 3
3
5
5
5 6 5
2 5
1 3
6 3
2 3
1
+
−
≤
+
=
+ + + + + +
≤ + + +
i
x S S
x x
x x
x x
Vậy bài toán chứng minh xong
[Lê Khánh Sỹ]
Cho các số thực x1,x2, ,x n∈[ ]0 , 1 , ∀i= 1 ,nvà hai số tự nhiên α ≥β ≥ 1 Chứng minh rằng
β β
α
β β
α
β β
β α
β α
β
≤
− +
− +
+
+
− +
− +
+
− +
−
n
x
n S
x x
n S
x x
n
S
x
1
1
2
1 1
Trong ñó S=x1α +xα2 + +x nα
Giải
Áp dụng AM−GM cho α số dương ta có
β β
α β
α α
− 43
4 2 1 4
4 3 4
4 2
Do ñó ta có
β β
β α
α α
β α
β
α
β β α
α β α β
α β α β
n
n n
x x
x
n
S
x x
x n
x x
x
x x
+ + +
≥
− +
+ + +
≥
− + + + +
≥
− +
2 1
2 1 2
1
Vì x1,x2, ,x n∈[ ]0 , 1 nên ta suy ra
β
α
β β
α
n
x
n
S+ − + 1 − ≥ 1 + 2 + +
β α
β
α
β β
β
i
i
x x
x
x x
n
S
x
+ + +
≤
− +
−
Cho i chạy từ 1 ,n và cộng theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh
Bài tập hướng dẫn
[Ví dụ]
Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng
3 2
2
3 2
2 3 2
2
3
c b a a c
c c
b
b b
a
+
+ +
+ +
Hướng dẫn :
0
>
∀x thì ta luôn có
9
4 7 2
2
+
x x
x
[Ví dụ]
Trang 11Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng
3
3 2
3 2
3 2 3
3
c b a a c
c c b
b b
a
+
+ +
+ +
Hướng dẫn :
0
>
∀x thì ta luôn có
4
1 5 1
3 3
3
+
x x
x
[Ví dụ]
Cho hai bộ số dương a1,a2,a3, ,a n ;b1,b2,b3, ,b n thoả
1
3
2
1 +a +a + +a n =b +b +b + +b n =
2
1
2
3 3
2 3 2
2
2 2 1
1
2
+ + + +
+ +
+
n b a
a b
a
a b a
a b
a
a
Hướng dẫn :
0
>
x thì ta có
4
1 3 1
+
x x
x
[Ví dụ]
Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng
c b a c ac
c a c bc
b c b ab
a
+
− + +
− + +
−
2
3 3 2
3 3 2
3 3
3
5 3
5 3
5
Hướng dẫn :
0
>
3
1 5
2
3 3
−
≤ +
−
x x x x
[Ví dụ]
Cho các số thực a,b,c∈[ ]0,1 và thoả a+b+c= 1.Chứng minh rằng
10
27 1
1 1
1 1
1 2
5
2 2
+
+ +
+ +
≤
c b
a
Hướng dẫn :
Ta luôn có ∀x∈[ ]0,1 thì :
−
≥ +
+
−
≤ +
2
2 1
1
10
54 27 1
1
2
2
x x
x x
[Olympic BaLan]
Cho các số thực
4
3 , ,b c≥ −
a và thoả a+b+c= 1.Chứng minh rằng
10
9 1
1
+
+ +
+
c b
b a
a
Hướng dẫn :
Trang 12
−
∈
2
5
; 4
3
x thì ta luôn có
50
3 36
+
≤ +
x x
x
[Ví dụ]
Cho a,b,c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng
+
+ +
+ +
≥ + + + + +
a c c b b a c b a c b
a
1 1
1 4 9
1 1
1
Hướng dẫn :
Bất ñẳng thức trên là thuần nhất ño ñó ta chuẩn hóa a+b+c= 3.khi ñó quay về bài tiếp tuyến quen thuộc
[Ví dụ]
Cho ba số dương a,b,c thoả a+b+c= 3 Chứng minh rằng
3 1 2
1 1
2
1 1
2
1
2 2
+
+ +
+
a
Hướng dẫn :
3
0 <x< thì ta có
9
3 5 3 2 1 2
1 2
+
−
≥ +
x x
[Ví dụ]
Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
7
9 3
3
c b a b
a c
c b a b
a b
b c a c
b a
a c
b
+ +
+ +
≥ + +
− + + + +
− + + + +
− +
Hướng dẫn :
Rõ ràng bất ñẳng thức trên là thuần nhất do ñó không mất tính tổng quát ta chuẩn hóa a+b+c= 3 Do ñó ta viết lại bất ñẳng thức như sau
3
2
2 2
2
c b a a a
a cyclic
+ +
≥
− +
−
∑
Để giải quyết bất ñẳng thức trên ta ñi chứng minh bổ ñề sau
49
1 3
3
2
2 2
2
+
−
≥
− +
−
x x
x x
x
với 0 <x< 3
0 2 3 49 9 6 4 44 44 7
2 2
2 2
2
≤
−
−
−
≤
−
− +
− +
−
x x
x
x x
x x
x
[Ví dụ]
Cho ba số thực dương a ,,b c.Chứng minh rằng
b a
c a c
b c
b
+
+ +
+
3
Hướng dẫn :
Bất ñẳng thức trên là thuần nhất do ñó ta chuẩn hóa a+b+c= 6 khi ñó ta cần chứng minh
Trang 130 <x< thì ta có
8
2 5 6
−
≥
−
x x x
[Ví dụ]
Cho ba số thực không âm a ,,b c thoả mãn a2+b2+c2 = 1.Chứng minh rằng
2 1
1
+
+ +
+
c ca
b bc
a
Hướng dẫn :
Ước lượng
c b a
a bc
a
+ +
≤ +
2 1
[Ví dụ]
Cho ba số thực dương a ,,b c thoả mãn abc= 1 và n≥ 1 Chứng minh rằng
3 2 3
2 3
2 3 2 + + + +
+ +
≤ +
n
n n
c b b
a c
b
a
a
[Ví dụ]
Cho ba số thực dương a ,,b c thoả mãn abc= 1 và 0 <n≤ 1 Chứng minh rằng
3 2 1 3 2 1 3 2 1
3 1
1
n n
n n
n
c b
a
a c
b
−
+ +
≤ + +
Chương trình quảng bá hocmai.vn Khanhsy1452@yahoo.com