Chuyên đề môn Toán: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Nhằm giúp các em học sinh trang bị kiến thức để giải bài toán liên quan đến khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong đề thi Trung học phổ thông Quốc Gia được tốt hơn, tôi xin giới thiệu chuyên đề “Tiếp tuyến của đồ thị hàm số”. Chuyên đề giới thiệu với các em các dạng toán về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và một số bài toán liên quan.Chuyên đề được soạn theo hướng: Cơ sở lí thuyếtPhân loại dạng toán.Phương pháp giải.Ví dụ minh hoạ.Bài tập tương tự.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT ………

Chuyên đ ề môn Toán

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Giáo viên thực hiện: …………

Tổ Toán – Tin - trường THPT ………

Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi THPT Quốc Gia

Số tiết dự kiến:10T trên lớp + 10T tự học

……

MỤC LỤC

A.Đặt vấn đề

B.Nội dung

I CƠ SỞ LÍ LUẬN

1 Khái niệm về sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm

2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

II CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

y = f(x) biết tiếp điểm là M 0 (x 0 , y 0 ).

Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

y = f(x) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến đó thỏa mãn điều kiện K

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M 1 (x 1 , y 1 ).

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Nhằm giúp các em học sinh trang bị kiến thức để giải bài toán liên quan đếnkhảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong đề thi Trung học phổ thông QuốcGia được tốt hơn, tôi xin giới thiệu chuyên đề “Tiếp tuyến của đồ thị hàm số”.Chuyên đề giới thiệu với các em các dạng toán về viết phương trình tiếp tuyếncủa đồ thị hàm số và một số bài toán liên quan

Chuyên đề được soạn theo hướng:

I CƠ SỞ LÍ LUẬN

1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1:

Cho đường cong (C): y = f(x) Tiếp tuyến

với đồ thị (C) tại M0 là vị trí giới hạn của cát

tuyến M0M1 khi M1 dịch chuyển trên (C) dần tới M0

M0 là điểm chung của hai đồ thị và tiếp tuyến

với hai đồ thị tại M0 trùng nhau

Từ định nghĩa trên ta có kết quả sau :

Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi hệ sau

2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x0 thuộc khoảng (a; b) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó Khi đó

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M(x 0 ; f(x 0 )).

Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm ta có kết quả sau:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x 0 ; f(x 0 )) có dạng

* Thuật ngữ thường dùng trong bài toán là từ “tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 )”, khi đó điểm

M0(x0; y0) phải thuộc đồ thị y = f(x), y0 = f(x0) và M0(x0 ; y0) chính là tiếp điểm

* Trong một số bài toán chỉ cho biết một tọa độ của tiếp điểm ( hoành độ hoặc tung

độ ) khi đó ta cần tìm tọa độ điểm M từ phương trình y0 = f(x0)

Ví dụ 1 Cho hàm số y= − +x3 3x2−2

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(-1;2)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng 0

00

x

x y

x

y y

Tọa độ giao điểm của (C) và trục Ox là M (-1; 0)

b) Tại điểm có tung độ y = - 1

< 2 > Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

( C 1 ) Đưa về bài toán tìm tiếp điểm:

Gọi M0 (x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị hàm số

Từ phương trình f ’(x0) = k ta tìm được x0, tính y0 = f(x0) Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = k(x - x0) + y0

( C 2 ) Sử dụng điều kiện tiếp xúc của đạo hàm:

Thay b vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm

Chú ý: Hệ số góc k cũng có khi cho dưới dạng gián tiếp như:

- Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b ( => k = a )

- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b ( => k = -

a

1

)

- Tiếp tuyến tạo với chiều dương của 0x 1 góc α ( => k =tan α)

- Tiếp tuyến tạo với 0x 1 góc α ( => k =tan α)

- Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax + b một góc α ( sử dụng công thức

góc giữa hai đường thẳng có hệ số góc k1, k2: α = −

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( )= −x3 3x−2 biết

hệ số góc của tiếp tuyến là 9

( Khối D năm 2014 )

Bài giải:

- Phương trình đường thẳng có hệ số góc 9 có dạng (t) y = 9x+b

- Để (t) là tiếp tuyến của (C) thì hệ

3 2

Với x=2 thì b = -18 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x - 18

Với x= −2 thì b = 14 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - 9x + 14

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( )= − −x4 x2 +6 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1 1

6x− ( Khối D năm 2010 )

Bài giải:

Vì tiếp tuyến của cần tìm vuông góc với đường thẳng y = 1 1

6x− nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 6

Phương trình đường thẳng (t) có hệ số góc - 6 có dạng y = - 6x + b

Để (t) là tiếp tuyến của (C) thì hệ

4 2 3

Giải (2) được x =1

Với x=1thì b=10 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = − +6x 10

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2

1

x y x

Phương trình tiếp tuyến tại x = 2 là y = −1(x− +2) 4 hay y = − +x 6.

Phương trình tiếp tuyến tại x = 0 là y = −1(x− +0) 2 hay y = − +x 2.

Ví dụ 4: Cho hàm số 2

x y x

+

=+ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm

số biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB cân đỉnh O

3 ) 2

(x ≠ − là tiếp điểm thì hệ số góc của tiếp tuyến là

0 0 2

• Với x0 = − ⇒1 y(x ) 1.0 = Phương trình tiếp tuyến có dạng y= −x ( loại ).

• Với x0 = − ⇒2 y(x ) 0.0 = Phương trình tiếp tuyến có dạng y= − −x 2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạngy= − −x 2

Bài tập tương tự:

< 1 > Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2, viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm sốbiết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: 5y - 3x + 4 = 0

< 2 > Cho đồ thị (C): y = x3 - 3x2 , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng: y = x

(C), giả sử (C) cắt Ox, Oy tại A và B Hãy viết phương

trình tiếp tuyến với (C) sao cho tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng AB

< 4 > Cho hàm số 1 (C)

3

x y x

+

=

- Tìm tọa độ các giao điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) với trục hoành , biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường y = x + 2001

< 5 > Cho hàm số y x= -3 3x2+1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết

tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y = 9x + 2001

< 6 > Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3

x y x

+

=+ biết tiếp tuyến cắt

Ox, Oy tại A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến đó thỏa mãn điều kiện K

Cách giải : Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì phương trình tiếp tuyến tại

tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt tại A, B sao cho tam giác IAB cân, với I là giao điểm của hai đường tiệm cận

dạng: ( )2( 0) 0

0 0

1

22

x

x x

+

+Tiệm cận đứng của ( C ) là đường thẳng x = -2

Tiệm cận ngang của ( C ) là đường thẳng y = 1

Giao hai đường tiệm cận là I( - 2; 1 )

Tọa độ giao của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng của (C) là nghiệm của hệ

2

x y

Với x0 = - 1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = x + 1

Với x0 = - 3 Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = x + 5

Ví dụ 2: Cho hàm số 1

x y

x

−

=+ có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ

thị (C) biết tiếp tuyến cách điểm 1; 1

; 1

12

1 ) 2

(x ≠ − có dạng:

0 0

2

0 0

−

++

Khoảng cách từ I đến ( )∆ là ( )

0 4 0

,

22

0 2

2

0 0

Với x0 = 0 Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ = − +:y 3x 1.

Với x0 = -1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ = −:y 3x− 5.

Với x0 = 1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng 1.

−

=

− có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)

biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao cho OA = 4OB

11

x

x x

Tọa độ giao của tiếp tuyến ( d) với Oy là

2

2 0

Với câu hỏi trên sau khi tìm được x0 thay vào tọa độ M sẽ ra kết quả bài toán

• Cách làm trên còn có thể áp dụng cho các bài toán tìm tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M thỏa mãn điều kiện cho trước.

Ví dụ 4: Cho hàm số 2

1

x y x

= + Tìm M trên đồ thị (C) biết tiếp tuyến với đồ thị (C)

tại M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là 1

4 (Khối D năm 2007)

Giả sử M(x0; 0

0 0

2 ) ( ), 1 1

2 2

1 1

x

x x

− có đồ thị (C) Tìm các điểm M trên (C) để TT với

(C) tại M cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang của (C) lần lượt tại A, B sao cho tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, ở đó I là giao của hai tiệm cận

1

2 2

x

x x

Nhận thấy M là trung điểm của AB, giao của hai tiệm cận là I(2; 2)

Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích là

Có hai điểm phải tìm là M(1;1) và M(3;3).

Bài tập tương tự:

< 1 > Cho hàm số 2 1

1

x y x

−

= + có đồ thị (C) Tìm trên (C) điểm N sao cho tiếp tuyến tại

N và đường thẳng đi qua N và giao điểm của hai tiệm cận có tích hệ số góc bằng -9

< 2 > Cho hàm số 2

1

x y

x

−

=

− có đồ thị (C) Tìm trên (C) điểm M sao cho tiếp tuyến

tại M và đường thẳng đi qua M và giao điểm của hai tiệm cận vuông góc với nhau

< 3 > Cho hàm số =1 3− +1

3

y x x Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thi hãy tìm tiếptuyến có hệ số góc nhỏ nhất

< 4 > Tìm phương trình của tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm

số y= (x2 − 1) 2 tại đúng hai điểm phân biệt

− có đồ thị (C) Tìm các điểm M trên (C) để TT với

(C) tại M vuông góc với đường thẳng IM với I là giao điểm của hai đường tiệm cận

< 6 > Cho hàm số 3 2

1

x y

x

−

= + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết

tiếp tuyến đó cách đều hai điểm A(-7;6), B(-3;10)

< 8 > Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=

− có đồ thị (C) Tìm các điểm M trên (C) sao cho khoảng

cách từ I(1;2) tới tiếp tuyến của (C) tại M đạt giá trị lớn nhất

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M 1 (x 1 ; y 1 ).

Chú ý: * Nhận dạng bài toán: Thuật ngữ thường dùng trong bài toán này là từ " đi qua '', " kẻ từ ''( khác với bài toán 1 dùng từ " tại '' )

* Điểm M1(x1; y1) có thể thuộc hoặc không thuộc đồ thị y = f(x)

Cách giải : Có 2 cách giải như bài toán 2

Cách 1: Đưa về bài toán 1 tìm tiếp điểm: Gọi M0 (x0, y0) là tiếp điểm thì :

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

y - f(x0) = f /(x0)(x - x0) (D)

- Vì (D) đi qua điểm M1(x1 ; y1) nên toạ độ M1thoả mãn phương trình của (D):y1 - f(x0) = f ’(x0)(x1 - x0) ( *) Đây là phương trình ẩn x0

- Giải ( *) tìm được x0

- Thay vào (1) được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Cách 2 : Sử dụng điều kiện tiếp xúc bằng đạo hàm:

- Đường thẳng (T) đi qua điểm M1(x1 ; y1) nên phương trình tiếp tuyến códạng: y = k(x - x1) + y1

- Đường thẳng (T) là tiếp tuyến của đồ thị y = f(x)

Từ việc đặt điều kiện hệ có nghiệm => k

- Thay vào (* ) ta có phương trình tiếp tuyến phải tìm

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = (2 - x2)2 biếtrằng tiếp tuyến đó đi qua A(0; 4)

Lời giải:

Cách 1: Ta có: y = (2 - x2)2 = x4 - 4x2 + 4

y’ = 4x3 - 8x

Gọi Mo (x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến và (C) thì: y0 = x04 - 4 x02 + 4

và tiếp tuyến cần tìm có phương trình dạng: y = y’(x0)(x - x0) + y0

⇔ y = (4 x03 - 8 x0)(x - x0) + x04 - 4 x02 + 4 (*)

Do tiếp tuyến lại đi qua A(0; 4) ⇒ 4 = - 3 x0 4 + 4 x02 + 4

⇔ x02(4 - 3 x02) = 0

Khi x0 = 0 thay vào (*) có phương trình tiếp tuyến thứ nhất là: ( t1 ): y = 4

Khi 0

2 3

x = thay vào (*) có phương trình tiếp tuyến thứ hai là: ( t2 ): 16 3 4

2

Khi 0

2 3

Giải hệ trên ta tìm được k = 11 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 11x - 22

Bài tập tương tự:

0 0

x x

Ví dụ 1: Cho hàm số 1

2 1

x y

x

−

=

− có đồ thị (C) Chứng minh rằng với mọi m đường

thẳng y = x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của tiếptuyến tại A và B Tìm m để k1 + k2 lớn nhất

Phương trình (*) có ∆ =m2+ 2m+ > ∀2 0, m suy ra đường thẳng y = x + m luôn cắt

đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt

Gọi x1, x2 là nghiệm của (*), theo viét ta có x1 + = −x2 m x x; 1 2 =− −m 1 nên

Vậy k1 +k2 lớn nhất là – 2 khi và chỉ khi m = - 1.

Ví dụ 2: Xác định m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị (C) của hàm số

x có 2 nghiệm phân biệt.

⇔2x2+(m−3)x m− − =1 0 có 2 nghiêm phân biệt khác 1

⇔Phương trình − 2x2 +(3a− 2)x+ 3a− = 2 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

; 1 3

Để đường thẳng y = 1 cắt (Cm) tại 3 điểm khác nhau thì phương trình

x3 + 3x2 +mx+ = 1 1có 3 nghiệm phân biệt

=-íï = ïî

Tiệm cận ngang của (C):y= 2; Giao điểm I(1; 2) của hai tiệm cận

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(a; y(a)) : ( ) ( )

Chu vi tam giác IAB là C IAB=AB IA IB+ + ³ 2 3 4 3 6 3 + =

Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất khi IA=IB hay a= ± 1 3 , Vậy có hai điểm

Ví dụ 6: Cho hàm số: y x= + −3 (1 2m x) 2−mx m+ Tìm m để f(x) tiếp xúc với trục hoành

301

x x

m= m= m= − thì f(x) tiếp xúc với Ox.

Ví dụ 7: Tìm m để đường thẳng :∆ = −y 49x+98 tiếp xúc với đồ thị (Cm):

y x= −3 (m+1)x2−(2m2−3m+2)x+2 (2m m−1)

0 49 1 2 1

2

/ 2

2

m m x m x x

m m x m x x

2 ]

49 1 2 1

[

0 49 1 2 1

2 2

2

m x x

m m x m x

m m x m x x

2 2

Hệ (I) có nghiệm ⇔ hệ (A) có nghiệm hoặc hệ( B) có nghiệm

⇔ g(x) có nghiệm x = 2 hoặc g(x) có nghiệm x=

2

1

−

m

02

m g

0652

3

0552

2

2

m m

m m

2

11

;5

m m

m m

Vậy m=5;m=−112;m=−133 là các gá trị cần tìm

Bài tập tương tự

< 1 > Cho hàm số y x= −3 m x m− +1,(Cm). Tìm m sao cho tiếp tuyến tại giao điểm

của (Cm)với Oy chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích là 8

< 2 > Cho hàm số y x= −3 (m+1)x2+ +x 2m+1,m là số thực,có đồ thị (C) Tìm m đểđường thẳng (d): y = x + m + 1 cắt đồ thị ( C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao chotổng hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A, B, C bằng 12

( Đề thi HSG lớp 12 Vĩnh Phúc năm học 2012-2013)

< 3 > Cho hàm y x= − + 3 3x 1 có đồ thị ( )C và đường thẳng d : y mx m= + + 3 Tìm m

để d cắt (C) tại M(-1;3), N, P sao cho tiếp tuyến với (C) tại N, P vuông góc

< 4 > Cho hàm số 3 1

1

x y x

c) MN = 10

< 5 > Cho hàm số y = x3 - 3x (C) Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó

kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C)

< 6 > Cho hàm số y = - x3+ 3x + 2 (C) Tìm trên 0x những điểm mà từ đó kẻ được 3tiếp tuyến tới (C)

< 7 > Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 - 5 (C) CMR từ A(1; - 4) có thể kẻ được 3 tiếp tuyếntới (C)

< 8 > Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x - 1 (C) Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng

x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới (C)

< 9 > Cho hàm số y = x4- x2 + 1 (C) Tìm các điểm thuộc trục tung mà từ đó kẻđược đúng 3 tiếp tuyến tới (C)

< 10 > Cho hàm số y = - x4 + 2x2 - 1 (C) Tìm các điểm M thuộc trục tung sao cho từ

M kẻ được đúng 3 tiếp tuyến tới (C) ( Thi GVG VP - 2002 - 2003)

< 11 > Cho hàm số y = x3- 3x + 2 có đồ thị là (C) Tìm trên đường thẳng y = 4 cácđiểm sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc

< 12 > Tìm tất cả các điểm thuộc Oy sao cho từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến

−

=

− Gọi I là giao hai tiệm cận, tiếp tuyến tại điểm M thuộc (H) cắt hai tiệm cận tại A, B

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến tạo với hai trục

tọa độ một tam giác cân

b) Chứng minh rằng I là trung điểm của AB.

c) Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi.

d) Tìm vị trí điểm M trên (H) sao cho chu vi tam giác IAB là nhỏ nhất.

đề ngoài mục đích rèn luyện cho học sinh kỹ năng viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm số còn củng cố, rèn luyện thêm các kỹ năng giải các bài toán về sự tươnggiao của hai đồ thị, giải các phương trình bậc ba, bậc bốn trùng phương… Từ đóphát triển khả năng quan sát và tư duy trừu tượng giúp học sinh tự tin hơn khi họctoán

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Văn Hạo, Đại số và Gải tích 11, NXB Giáo dục