BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN ðỀ CHÍNH THỨC ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2010 NGÀNH: TOÁN HỌC Môn thi: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN
ðỀ CHÍNH THỨC
ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2010
NGÀNH: TOÁN HỌC
Môn thi: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề
HUỲNH ĐỨC KHÁNH - CAO HỌC TOÁN QUY NHƠN KHÓA 14 – 0975.120.189
Câu 1 Cho hàm hai biến số f : ℝ2 →ℝ xác ñịnh bởi
( ) ( )
3 3
2 2
sin
khi , 0, 0 ,
0 khi , 0, 0
x y
x y
x y
=
a) Xét tính liên tục của f , sự tồn tại và tính liên tục của các ñạo hàm riêng cấp một của f b) Xét tính khả vi của f
Câu 2 a) Cho hàm ño ñược không âm f x( ) trên tập hợp A có ñộ ño hữu hạn Với mỗi n≥0 ta ký
hiệu A n = ∈{x A n: ≤ f x( )< +n 1} Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể f x( ) khả tích Lebesgue là chuỗi
n≥ n Aµ
b) Xét tính khả tích và tính tích phân Lebesgue (nếu có) của ( ) 3
1 1
f x
x
=
− trên [ ]1, 2
Câu 3 a) Cho hàm số f : 0, +∞ →) 0,+∞) ñơn ñiệu tăng thỏa mãn f ( )0 =0, f t( )>0 khi t>0 và
( ) ( ) ( )
f u+ ≤v f u + f v với mọi u v, ∈0,+∞) Xét không gian mêtric (X d, ) và với mỗi ,
x y∈X ta ñặt δ ( )x y, = f d x y( ( ), )
i) Chứng tỏ rằng δ là một không gian mêtric trên X
ii) Chứng tỏ rằng nếu f là một hàm liên tục tại 0 thì ánh xạ id: (X d, ) (→ X,δ ) và cả ánh
xạ ngược của nó cũng liên tục ñều Từ ñó suy ra các dãy Cauchy trong (X d, ) và (X,δ ) trùng nhau
b) Trong không gian mêtric C a b[ ], các hàm số liên tục trên [ ]a b, với mêtric ''max'' xét tập con
M thỏa mãn: ∃m L, >0, ∃ ∈x0 [ ]a b, sao cho
( )0 , ;
f x ≤m ∀ ∈f M và f x( ) ( )− f y ≤L x−y, ∀ ∈f M, ∀x y, ∈[ ]a b, Chứng minh rằng M là compact tương ñối trong C a b[ ],
Câu 4 Cho không gian vec–tơ c { { }n n 1 : day { n k 1 k} 1hôi tu}
n
∞
∞
cho bởi
{ } 1
: sup ,
n
n k
=
a) Chứng minh rằng là một chuẩn trên S và c (S c, ) là một không gian Banach
b) Chứng minh rằng không gian ñịnh chuẩn l trù mật trong 1 S c
c) Xét tương ứng A S: c →c0 cho bởi ( ) { k n k}n 1
∞
∞
= =
= ∑ với mọi x={ }x n ∈S c Chứng minh
rằng A là một ñồng phôi tuyến tính Tính A và 1
A−
- HẾT - Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm