www.VNMATH.com ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2009 NGÀNH: TOÁN HỌC Môn thi: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề... BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY [r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN
ðỀ CHÍNH THỨC
ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2009
NGÀNH: TOÁN HỌC
Môn thi: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề
Câu 1 a) Tính giới hạn ( )2 2
2 2 0
0
x y
→
→
b) Chứng minh rằng hàm số f xác ñịnh trên 2
ℝ cho dưới ñây liên tục nhưng không khả
vi tại ( )0, 0 :
( ) ( )
2 2 khi , 0, 0 ,
0 khi , 0, 0
xy
x y
x y
f x y
x y
≠
+
=
Câu 2 a) Cho dãy số { }a n và hàm số f : 0,1[ ]→ℝ xác ñịnh bởi
1
khi ( )
0 khi 0
n
f x
x
=
Chứng minh rằng nếu tồn tại α∈( )0,1 sao cho a n
nα
hội tụ thì f khả tích Lebesgue trên [ ]0,1 Từñó xét tính khả tích Lebesgue của f trên [ ]0,1 trong trường hợp a n =n
b) Xét tính khả tích và tính tích phân Lebesgue (nếu có) của ( ) 1
1
f x
x
=
− trên [0,1)
Câu 3 a) Giả sử { }f n là một dãy các ánh xạ co từ không gian mê-tric ñầy ñủ X vào chính nó
hội tụ ñều về ánh xạ f trên X , và các hệ số co αn của f n thỏa mãn supnαn <1 Chứng minh rằng f cũng là ánh xạ co
b) Cho f : X →X là một ánh xạ liên tục từ không gian mê-tric compact (X d, )vào chính nó thỏa mãn ñiều kiện
d f x( ( ), ( )f y )<max{d x y( ) (, , d x f x, ( ) , ) (d y f y, ( ) , ) } ∀x y, ∈X x, ≠ y
Chứng minh rằng f có duy nhất ñiểm bất ñộng
Câu 4. Cho không gian vec-tơ 1[ ]
1,1
C − các hàm số có ñạo hàm liên tục trên [ ]−1,1 Xét ánh xạ
[ ]
1 : C −1,1 →ℝ cho bởi
( ) [ ] ( ) 1[ ]
1,1
t
∈ −
a) Chứng minh rằng ( 1[ ] )
1,1 ,
C − là một không gian Banach
0 , : 1,1
fε f C − →ℝ, với 0< <ε 1, cho bởi
( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
1
2
ε
i) Chứng minh rằng fε, f0 là các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên 1[ ]
1,1
C − và tính
0 ,
fε f
ii) Chứng minh fε hội tụñơn giản nhưng không hội tụ theo chuẩn về f khi 0 ε →0
- HẾT - Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
www.VNMATH.com