Cho tam giác ABC có trung tuyến AM thoả mãn điều kiện AM=AB Chứng minh rằng sinA=2sinB-C 5.Cho tam giác ABC gọi a,b,c và m m m a, b, c là cạnh và độ dài đường trung tuyến.Tìm min P Hướng
Trang 1Trêng THPT Thµnh Sen GV: TrÇn V¨n §øc-0977864088
ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH
NĂM 2010
Thời gian 180 phút
1 a Giải phương trình: x2 + 2x+ = 4 3 x3 + 4x
b.Giải hệ phương trình
2 2
2 2
13
25
x y
x y
x y
x y
2 Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của tam thức f x( ) = x2 + ax + b với a b, ∈ −[ 1;1]
Chứng minh (|x1 | 1 | + ) ( x2 | 1 + ≤ +) 2 5
3 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
2
2 2
4 2
x y m
4 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM thoả mãn điều kiện AM=AB
Chứng minh rằng sinA=2sin(B-C)
5.Cho tam giác ABC gọi a,b,c và m m m a, b, c là cạnh và độ dài đường trung tuyến.Tìm min
P
Hướng dẫn đáp án
1 a đk, đặt x2 + = 4 u, x v= , nghiệm x=2
b.đk, hệ viết lại
2 2
2
13 (1) 25 (2)
x y
x y
x y
x y
Lấy (1) trừ (2) được (3) sau đó lấy (1) cộng (3) ta tìm được nghiệm
2 Ta có
2
3 Đặt x2 + = 4 u đk u≥ 2, 2y v=
2
u v m
u v m m
+ =
Trang 2Trêng THPT Thµnh Sen GV: TrÇn V¨n §øc-0977864088
Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm u≥ 2
Ta có u,v là nghiệm phương trình 2 1( 2 )
2
t − mt+ m − −m = có nghiệm t≥ 2 Đặt X=t-2 lúc đó phương trình theo X có nghiệm X ≥ 0
1 2
0
0
m
X X
≤ ≤
4 Xét tam giác ABC ta có ∠ BMA= ∠ MAC+ ∠ACM vì ∠ = ∠B M
ACM
S∆ AM AC MAC AB AC A
Mà S∆ABC = 2S∆ACM ⇒ sinA= 2sin(B C− )
5 Ta có
2
2 2 2
2 2 2
2 3
4
a
m = b c a ≥ a b c