3 f là một tự ñồng cấu chéo hoá ñược.. Chứng minh rằng AB = BA, AB là nhóm con của G và nếu A là nhóm con chuẩn tắc của G thì AB là nhóm con chuẩn tắc của G.. 2 Vành thương I là một trườ
Trang 1ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 2011 ðHSP HÀ NỘI 2
Môn: ðại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (3,0 ñiểm)
Cho V là một không gian vecto n – chiều trên trường K và f : V → V là một tự
ñồng cấu có tính chất f2 =f Chứng minh rằng:
1) (IdV−f )2=(IdV−f ), trong ñó IdV là tự ñồng cấu ñồng nhất của V
3) f là một tự ñồng cấu chéo hoá ñược
Câu II (2,0 ñiểm)
Cho f :R3 → R3 là một tự ñồng cấu có ma trận ñối với cơ sở chính tắc là
−
1) Hãy xác ñịnh các giá trị riêng, các không gian con riêng của f
2) Tự ñồng cấu f có phải là tự ñẳng cấu không? Vì sao?
Câu III (3,0 ñiểm)
1) Cho G là một nhóm, A là nhóm con của G, B là nhóm con chuẩn tắc của G Chứng minh rằng AB = BA, AB là nhóm con của G và nếu A là nhóm con chuẩn tắc của G thì AB là nhóm con chuẩn tắc của G
2) Cho A, B là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G, G = AB và A∩ =B { }e
Chứng minh rằng ab = ba với mọi a ∈ A, b ∈ B và mọi phần tử g ∈ G ñều biểu diễn ñược duy nhất dưới dạng g = ab, với a ∈ A, b ∈ B
3) Nhóm cộng các số nguyên có biểu diễn ñược dưới dạng
{ }
= + ∩ = với A, B là các nhóm con chuẩn tắc khác { }0 của không?
Câu IV (2,0 ñiểm)
Cho I là iñêan của vành các số nguyên , I≠{ }0 , chứng minh rằng:
1) I là iñêan nguyên tố khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số nguyên tố
2) Vành thương
I là một trường khi và chỉ khi I ñược sinh bởi một số nguyên tố
Z
Z
Z