a, Rút gọn biểu thức A.. Gọi P giao điểm của AN với DM.. a Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông.. b Tính diện tích của tam giác APM c Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân.
Trang 1ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 ( 2 điểm ):
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x3(x2 - 7 )2 - 36x b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh:
A= n3(n2 - 7 )2 - 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n.
Bài 2 ( 2 điểm ):
2 3
1
1 : 1
1
x x x
x x
x
x
+
−
−
−
−
−
với x khác -1 và 1.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x
3
2 1
−
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 3 ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2004.
Tính : M = 2004
Bài 4 (4 điểm ) : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB , BC Gọi P giao điểm của AN với DM
a) Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông.
b) Tính diện tích của tam giác APM
c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân.
Bài 5 ( 1 điểm ): Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : x2 = y2 + 2y + 13.
- HẾT
Trang 2-HDC ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
1 a) x
3(x2 - 7 )2 - 36x = x[( x3 - 7x)2 - 36]
= x(x3 - 7x - 6)( x3 - 7x+ 6 ) = x(x3 - x - 6x - 6)( x3 - x - 6x + 6 )
= x[x(x - 1 )( x + 1) - 6( x+ 1)][ x(x - 1 )( x + 1) - 6( x- 1)]
= x(x + 1 )(x2 - x - 6)(x - 1 )( x2 + x - 6 )
= x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 +3x - 2x - 6 )
= x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 + 3x - 2x - 6 )
= x(x + 1 )( x - 1 )[(x(x - 3 ) + 2( x - 3 )][(x(x + 3 ) - 2( x + 3 )]
= x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 )
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
b) Theo phần a ta có :
A = n3(n2 - 7 )2 - 36n
= n(n + 1 )( n - 1 ) (n - 3 )(n + 2 ) ( n - 2 )( n + 3 )
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp Trong 7 số nguyên liên tiếp có :
- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2
- Một bội của 3nên A chia hết cho 3
- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5
- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7
Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A M( 2.3.5.7 )
Hay A M 210
0,25
0,25
2
a) Với x khác -1 và 1 thì :
A=
) 1 ( ) 1
)(
1 (
) 1 )(
1 ( :
1
1
2
2 3
x x x x x
x x x
x x x
+
− +
− +
+
−
−
+
−
−
=
) 2
1 )(
1 (
) 1 )(
1 ( : 1
) 1
)(
1
(
2
2
x x x
x x x
x x x x
+
− +
+
−
−
− + +
−
=
) 1 (
1 : ) 1
x
x
− + = (1+x2)(1−x)
0,25
0,25
b) Tại x =
3
2 1
3
5
− thì Acó giá trị là + − − − −3)
5 ( 1 ) 3
5 (
3
5 1 )(
9
25
1
27
2 10 27
272 3
8 9
0,25
0,25
c) Với x khác -1 và 1 thì A< 0 khi và chỉ khi (1+x2)(1−x)<0 (1)
Vì 1+x2 >0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1−x<0⇔ x>1
KL
0,25 0,25
3
Thay 2004 = abc vào M ta có :
2 2 2
1
1
1 1 1
M
ab a bc abc bc b abc ac c
ac c
ac c
+ +
0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 3a) Chứng minh ∆ADM =∆BAN ( c.g.c )
=> µ ¶
1 1 90
1 1 90
A +M = => ·APM =900.Hay ∆APM vuông tại P
0,75 0,25 0,25
b) Tính được : AP = 4 5( )
5 cm
AM = 2 5( )
5 cm
SAPM = 4 2
( )
5 cm
0,5
0, 5 0,25
c) Gọi I là trung điểm của AD Nối C với I; CI cắt DM tại H
Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành
=> AN // CI mà AN ⊥ DM nên CI ⊥ DM
Hay CH là đường cao trong ∆CPD (1)
Vận dụng định lý về đường trung bình trong ∆ADP chứng minh được H
là trung điểm của DP => CH là trung tuyến trong ∆CPD (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∆CPD cân tại C
0,5 0,25 0,25 0,25
5 Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng ( x + y + 1)( x - y - 1) = 12
Lập luận để có x + y + 1> x - y - 1 và x + y + 1; x - y - 1 là các ước
dương của 12 từ đó có các trường hợp :
2
2
2
2
−
Mà x; y nguyên dương nên ( x; y) = ( 4; 1)
KL.:vậy (x;y) = (4;1)
0,25 0,25
0,25
0,25
*Chú ý: Ở mỗi phần, học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa.
1
1 1
D
C
P
H I
M
N