CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 1.. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất thường là sử dụng công cụ đạo hàm * Ta
Trang 120
Chuyên đề 5:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1 Các định nghĩa:
n thua so
a a.a a (n Z ,n 1,a R)
n
1 a
a
(n Z ,n 1,a R / 0 )
m
n m n
a a ( a 0;m,n N )
m n
n
a
a a
2 Các tính chất :
m
m n n
a
(a.b) n a b n n
n n n
( )
3 Hàm số mũ: Dạng : y a x ( a > 0 , a1 )
Tập xác định : D R
Tập giá trị : T R ( a x 0 x R )
Tính đơn điệu:
* a > 1 : y a x đồng biến trên R
* 0 < a < 1 : y a x nghịch biến trên R
Đồ thị hàm số mũ :
Minh họa:
a>1
y
x
1
0<a<1
x
1
f(x)=2^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
x
y
x
2 1
x
1
O O
Trang 221
I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1 Định nghĩa: Với a > 0 , a 1 và N > 0
dn
M a
Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa khi
0 1 0
N a
a
2 Các tính chất :
a
a log N a N
log (N N ) log N a 1 2 a 1 log N a 2
2
N
log N a .log N a Đặc biệt :
2
3 Công thức đổi cơ số :
log N log b.log N a a b
b
a
log N log N
log b
* Hệ quả:
b
1 log b
log a
và log N a k 1 log N a
k
* Công thức đặc biệt: b a
c
c b
a log log
4 Hàm số logarít: Dạng y log x a ( a > 0 , a 1 )
Tập xác định : D R
Tập giá trị T R
Tính đơn điệu:
* a > 1 : y log x a đồng biến trên R
* 0 < a < 1 : y log x a nghịch biến trên R
Đồ thị của hàm số lôgarít:
Minh họa:
5 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
1 Định lý 1: Với 0 < a 1 thì : aM = aN
M = N
2 Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : aM < aN
M > N (nghịch biến)
0<a<1
y
O
f(x)=ln(x)/ln(1/2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
x
y
x y
x
y
f(x)=ln(x)/ln(2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
x
y
x y
2 1
log
1
O
a>1
1
y
x
O
Trang 321
3 Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN M
< N (đồng biến )
4 Định lý 4: Với 0 < a 1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga
N M = N
5 Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : loga M < loga N M
>N (nghịch biến)
6 Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N M
< N (đồng biến)
III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M = a N
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
16 0,125.8
2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 32x 8 4.3x 5 27 0
2) 6.9x 13.6x 6.4x 0
3) ( 2 3 )x ( 2 3 )x 4
4) 2x2x 22xx2 3 5) 3 8x 4 12x 18x 2 27x 0
6) 2 22x 9 14x 7 72x 0
3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
2) 2x2x 4 2x2x 22x 4 0
3) 12 3x 3 15x 5x1 20 (
4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng
minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ
đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b)
( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có
nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 3x + 4x = 5x 2) 2x = 1+
x 2
3 3) ( ) 1 x 2x 1
IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log Na a
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) log (x 6)x 3 2)log (4 x 4) x log (2 x 1 3)
2
2
1
2 2
1 2
2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) log2 3 x 3 log x2 4
3
2) log32x log32 x 1 5 0
3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :
log x 2.log x 2 log x.log x2 7 2 7
4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Trang 421
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b)
( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có
nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
2
log (x x 6) x log (x 2) 4
V CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N ( , , )
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1) 3 x 2x 2 ( ) 1 x x 1
3
2)
2
x 1
x 2x
2
2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)22x 3.(2 ) 32 0x 2 4) 8 21x 4x 21x 5
2)2x 23 x 9 5) 15 2x1 1 2x 1 2x1
3)
6) 2 14x 3 49x 4x 0
VI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ
DỤNG:
1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log Na a
( , , )
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
3 log log x 3 1
3)log3x x 2(3 x) 1 4)log (log (3x 9 x 9)) 1
5) log5( 4x 144 ) 4 log52 1 log5( 2x2 1 )
2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)log (32 x 2) 2.log3 2 x 2 3 0 2)log 64 log 16 32x x 2