Cơ sở lý thuyết hàm biến phức

Từ khoá: Mặt phẳng phức, Hàm số phức, số phức, Hàm biến phức, Điểm tụ, Biên của tập hợp, Tập hợp compact, Hàm phức biến thực, Miền đơn liên, Đa liên, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Án

Cơ sở lý thuyết hàm biến phức

Nguyễn Thủy Thanh

NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 565 Tr.

Từ khoá: Mặt phẳng phức, Hàm số phức, số phức, Hàm biến phức, Điểm tụ,

Biên của tập hợp, Tập hợp compact, Hàm phức biến thực, Miền đơn liên, Đa liên, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình, Nguyên lý thác triển giải tích, tập hợp mờ, Hàm đa trị, Diện đa liên, Lý thuyết thặng dư, Hàm đơn diệp, Phiến hàm liên tục, Diện Riemann

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả

CO . SO ’ L ´ . Y THUY ˆ E ´T

H` a Nˆ o.i – 2006

L` o.i n´ oi dˆ ` u a 8

1 M˘ a.t ph˘a’ng ph´ u.c v` a h` am biˆ e´n ph´ u.c 10

1.1 Tˆa.p ho p sˆo´ ph´u.c, m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c 11

1.1.1 D- i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c 12

1.1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c 16

1.1.3 Ph´ep tr`u v`a ph´ep chia sˆo´ ph´u.c 18

1.1.4 M˘a.t ph˘a’ng ph´u.c 19

1.1.5 Mˆodun v`a acgumen cu’a sˆo´ ph´u.c 20

1.1.6 Ph´ep khai c˘an sˆo´ ph´u.c 28

1.1.7 Da.ng m˜u cu’a sˆo´ ph´u.c 29

1.1.8 Kh´ai niˆe.m vˆe` m˘a.t ph˘a’ng mo.’ rˆo.ng 30

1.1.9 Khoa’ng c´ach trˆen C 33

1.2 C´ac kh´ai niˆe.m tˆopˆo co ba’n trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c 35

1.2.1 Tˆopˆo trˆen C 36

1.2.2 Phˆ` n trong v`a phˆaa ` n ngo`ai 38

1.2.3 D- iˆe’m tu 39

1.2.4 Biˆen cu’a tˆa.p ho p 40

1.2.5 Tˆa.p ho p comp˘a´c 41

1.2.6 Tˆa.p ho p liˆen thˆong 42

1.2.7 H`am ph´u.c biˆe´n thu c Tuyˆe´n v`a du.`o.ng cong 46 1.2.8 Ph´ep dˆ` ng luˆan 53o 1.2.9 Miˆ`n do.n liˆen v`a da liˆen 56e

1.3 H`am biˆe´n ph´u.c 59

1.3.1 D- i.nh ngh˜ıa h`am biˆe´n ph´u.c 59

1.3.2 C´ac v´ı du vˆe` ´anh xa do.n diˆe.p 62

1.3.3 Gi´o.i ha.n cu’a h`am 64

1.3.4 T´ınh liˆen tu.c v`a liˆen tu.c dˆe`u 67

1.4 L´y thuyˆe´t d˜ay v`a chuˆo˜i trong miˆe`n ph´u.c 72

1.4.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay diˆe’m 72

1.4.2 Chuˆo˜i sˆo´ ph´u.c v`a su hˆo.i tu cu’a n´o 75

1.4.3 D˜ay v`a chuˆo˜i h`am 79

1.4.4 Chuˆo˜i l˜uy th`u.a 85

1.4.5 Su hˆo.i tu dˆe`u trˆen t`u.ng comp˘a´c 92

1.5 H`am arg z 95

1.5.1 T´ınh liˆen tu.c cu’a h`am arg z 95

1.5.2 Sˆo´ gia cu’a acgumen do.c theo du.`o.ng cong 96

1.5.3 Nh´anh do.n tri liˆen tu.c cu’a h`am arg z 98

1.6 B`ai tˆa.p 100

2 H` am chı’nh h` ınh 105 2.1 H`am kha’ vi 106

2.1.1 H`am R2 - kha’ vi 106

2.1.2 D- a.o h`am theo phu.o.ng 108

2.1.3 H`am C - kha’ vi 110

2.1.4 Mˆo´i liˆen hˆe gi˜u.a C - kha’ vi v`a R2 - kha’ vi 114

2.1.5 H`am chı’nh h`ınh 115

2.1.6 Khˆong gian c´ac h`am chı’nh h`ınh 121

2.2 Mˆo.t sˆo´ h`am chı’nh h`ınh so cˆa´p 122

2.2.1 D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 122

2.2.2 H`am w = z n v`a z = √n w, n ∈ N 122

2.2.3 H`am e z 124

2.2.4 H`am lˆogarit 126

2.2.5 H`am l˜uy th`u.a z α , α ∈ R 130

2.2.6 C´ac h`am so cˆa´p kh´ac 131

2.2.7 Nh´anh chı’nh h`ınh cu’a h`am da tri 134

2.3 H`am chı’nh h`ınh v`a ´anh xa ba’o gi´ac 138

2.3.1 Y ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a acgumen cu’a da.o h`am 138´

2.3.2 Y ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a mˆodun da.o h`am 140´

2.3.3 Anh xa ba’o gi´ac 141´

2.3.4 Anh xa liˆen tu.c v`a ´anh xa chı’nh h`ınh 143´

2.4 C´ac d ˘a’ng cˆa´u so cˆa´p 146

2.4.1 D- ˘a’ng cˆa´u phˆan tuyˆe´n t´ınh 147

2.4.2 Anh xa w = e´ z v`a z = log w 160

2.4.3 H`am Jukovski 164

2.4.4 C´ac d˘a’ng cˆa´u so cˆa´p kh´ac 172

2.4.5 Mˆo.t sˆo´ v´ı du 175

2.5 B`ai tˆa.p 183

3 L´ y thuyˆ e´t t´ ıch phˆ an h` am chı’nh h` ınh 188 3.1 T´ıch phˆan trong miˆ`n ph´e u.c 189

3.1.1 D- i.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan 189

3.1.2 U.´o.c lu.o ng t´ıch phˆan 193

3.1.3 T´ınh t´ıch phˆan b˘a`ng phu.o.ng ph´ap qua gi´o.i ha.n 194

3.1.4 Da.ng vi phˆan d´ung v`a da.ng vi phˆan d´ong 200

3.1.5 T´ıch phˆan du.`o.ng phu thuˆo.c tham sˆo´ 213

3.2 L´y thuyˆe´t Cauchy 217

3.2.1 Nguyˆen h`am di.a phu.o.ng cu’a h`am chı’nh h`ınh 217

3.2.2 Nguyˆen h`am cu’a h`am chı’nh h`ınh theo tuyˆe´n 223

3.2.3 T´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a t´ıch phˆan dˆo´i v´o.i c´ac tuyˆe´n dˆ` ng luˆan227o 3.2.4 Cˆong th´u.c t´ıch phˆan co ba’n th´u nhˆa´t cu’a Cauchy 231

3.2.5 Nguyˆen h`am trong miˆ`n do.n liˆen 234e 3.2.6 Cˆong th´u.c t´ıch phˆan Cauchy (cˆong th´u.c co ba’n th´u hai cu’a Cauchy) 235

3.2.7 Biˆe’u diˆ˜n t´ıch phˆan dˆo´i v´o.i da.o h`am cu’a h`am chı’nh h`ınh241e 3.2.8 D- iˆe`u kiˆe.n du’ dˆe’ h`am f chı’nh h`ınh 250

3.2.9 H`am diˆ`u h`oa v`a mˆo´i liˆen hˆe v´o.i h`am chı’nh h`ınh 250e

3.2.10 T´ıch phˆan da.ng Cauchy Cˆong th´u.c

Sokhotski 257

3.2.11 Biˆe’u diˆ˜n t´ıch phˆan h`am diˆee `u h`oa 270

3.3 B`ai tˆa.p 277

4 C´ ac t´ ınh chˆ a ´t co ba’n cu’a h` am chı’nh h` ınh 278 4.1 C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´ut ra t`u t´ıch phˆan Cauchy 279

4.1.1 D- i.nh l´y gi´a tri trung b`ınh 279

4.1.2 D- i.nh l´y Liouville 280

4.1.3 D- i.nh l´y Weierstrass vˆe` chuˆo˜i h`am hˆo.i tu dˆe`u 284

4.1.4 T´ınh chˆa´t di.a phu.o.ng cu’a h`am chı’nh h`ınh Chuˆo˜i Taylor288 4.1.5 C´ac quan diˆe’m kh´ac nhau trong viˆe.c xˆay du ng l´y thuyˆe´t h`am chı’nh h`ınh 305

4.2 T´ınh chˆa´t duy nhˆa´t cu’a h`am chı’nh h`ınh 310

4.2.1 Khˆong diˆe’m (0-diˆe’m) cu’a h`am chı’nh h`ınh 310

4.2.2 T´ınh chˆa´t duy nhˆa´t cu’a h`am chı’nh h`ınh 313

4.2.3 Nguyˆen l´y th´ac triˆe’n gia’i t´ıch 317

4.2.4 Nguyˆen l´y mˆodun cu c da.i 320

4.3 D- iˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo lˆa.p 326

4.3.1 Chuˆo˜i Laurent 326

4.3.2 D- iˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo lˆa.p do.n tri 337

4.3.3 D´ang diˆe.u cu’a h`am ta.i diˆe’m vˆo c`ung 348

4.3.4 Phˆan loa.i h`am chı’nh h`ınh 350

4.4 T´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a tˆa.p ho p mo.’ 354

4.4.1 Nguyˆen l´y acgumen 354

4.4.2 D- i.nh l´y Rouch´e 360

4.4.3 T´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a tˆa.p ho p mo.’ 363

4.5 B`ai tˆa.p 365

5 H` am d a tri v` a diˆ e.n Riemann 369 5.1 Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass 370

5.1.1 Phˆ` n tu.a ’ ch´ınh t˘a´c 371

5.1.2 D- iˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a phˆa` n tu.’ ch´ınh t˘a´c 372

5.1.3 Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass 373

5.1.4 H`am khˆong cho ph´ep th´ac triˆe’n gia’i t´ıch 378

5.2 C´ac phu.o.ng ph´ap kh´ac 380

5.2.1 Th´ac triˆe’n gia’i t´ıch theo tuyˆe´n 380

5.2.2 Th´ac triˆe’n dˆo´i x´u.ng 386

5.3 H`am gia’i t´ıch d u’ 391

5.3.1 Kh´ai niˆe.m h`am gia’i t´ıch du’ 391

5.3.2 Mˆo.t v`ai v´ı du 393

5.3.3 T´ınh do.n tri v`a da tri

D- i.nh l´y do.n tri (monodromie) 396

5.3.4 Nh´anh v`a phu.o.ng ph´ap t´ach nh´anh chı’nh h`ınh 399

5.3.5 Kh´ai niˆe.m vˆe` diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng 405

5.4 Kh´ai niˆe.m vˆe` diˆe.n Riemann 412

5.4.1 Mˆo.t sˆo´ v´ı du mo.’ dˆa` u 413

5.4.2 Phu.o.ng ph´ap du ng diˆe.n Riemann 419

5.5 B`ai tˆa.p 420

6 L´ y thuyˆ e´t th˘ a.ng du v`a ´u.ng du.ng 422 6.1 Co so.’ l´y thuyˆe´t th˘a.ng du 423

6.1.1 D- i.nh ngh˜ıa th˘a.ng du 423

6.1.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh th˘a.ng du 425

6.1.3 D- i.nh l´y co ba’n cu’a l´y thuyˆe´t th˘a.ng du 436

6.1.4 T´ınh t´ıch phˆan theo chu tuyˆe´n d´ong 444

6.2 Mˆo.t sˆo´ ´u.ng du.ng cu’a l´y thuyˆe´t th˘a.ng du 448

6.2.1 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 448

6.2.2 T´ınh t´ıch phˆan da.ng I = 2π Z 0 R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ 451

6.2.3 T´ıch phˆan da.ng I = +∞ Z R(x)dx 454

6.2.4 T´ıch phˆan da.ng I =

Z

R

e iax R(x)dx 459

6.2.5 T´ıch phˆan da.ng I = Z R + R(x)x α dx 463

6.2.6 Mˆo.t sˆo´ v´ı du kh´ac 478

6.2.7 T`ım tˆo’ng cu’a chuˆo˜i 490

6.3 H`am nguyˆen v`a h`am phˆan h`ınh 495

6.3.1 H`am phˆan h`ınh B`ai to´an Cousin th´u nhˆa´t trong m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c 495

6.3.2 H`am nguyˆen B`ai to´an Cousin th´u hai trong m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c 503

6.4 B`ai tˆa.p 513

7 Anh xa ba’o gi´ac ´ 515 7.1 C´ac kh´ai niˆe.m chung 516

7.1.1 H`am do.n diˆe.p 517

7.1.2 D- iˆe`u kiˆe.n du’ dˆe’ h`am do.n diˆe.p 522

7.1.3 Su hˆo.i tu cu’a d˜ay h`am do.n diˆe.p 524

7.1.4 T´ınh chˆa´t di.a phu.o.ng cu’a ´anh xa chı’nh h`ınh c´o da.o h`am b˘a`ng 0 525

7.1.5 T´ınh chˆa´t chung cu’a ´anh xa ba’o gi´ac 527

7.1.6 D- ˘a’ng cˆa´u v`a tu d˘a’ng cˆa´u 528

7.1.7 D- iˆe`u kiˆe.n cˆa` n dˆe’ tˆo` n ta.i d˘a’ng cˆa´u 532

7.1.8 D- iˆe`u kiˆe.n chuˆa’n 534

7.2 D- i.nh l´y co ba’n cu’a l´y thuyˆe´t ´anh xa ba’o gi´ac 537

7.2.1 Tˆa.p ho..p bi ch˘a.n trong H(D) 538

7.2.2 Tˆa.p ho p liˆen tu.c dˆo` ng bˆa.c 539

7.2.3 Nguyˆen l´y comp˘a´c 540

7.2.4 Phiˆe´m h`am liˆen tu.c 544

7.2.5 D- o.n gia’n h´oa c´ach d˘a.t b`ai to´an Riemann 546

7.2.6 D- i.nh l´y Riemann 548

7.2.7 D- i.nh l´y duy nhˆa´t cu’a ´anh xa ba’o gi´ac 553

7.2.8 Su tu.o.ng ´u.ng gi˜u.a c´ac biˆen v`a cˆong th´u.c

Christoffel-Schwarz 5547.3 B`ai tˆa.p 560

T` ai liˆ e.u tham kha’o 563

Co so.’ l´y thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´u.c (LTHBP) du.o c d˘a.t nˆe`n m´ong t`u gi˜u.a thˆe´ky’ XVIII bo.’ i c´ac cˆong tr`ınh cu’a L Euler V´o.i tu c´ach mˆo.t nh´anh dˆo.c lˆa.p,LTHBP du.o c h`ınh th`anh v`ao gi˜u.a thˆe´ ky’ XIX nh`o c´ac cˆong tr`ınh cu’a O.Cauchy, C Weierstrass v`a B Riemann.

Ng`ay nay LTHBP l`a mˆo.t trong nh˜u.ng phˆa` n quan tro.ng nhˆa´t cu’a to´anho.c D´o l`a khoa ho.c v`u.a cˆo’ diˆe’n v`u.a hiˆe.n da.i, v`u.a g˘a´n b´o mˆa.t thiˆe´t v´o.ic´ac nh´anh hiˆe.n da.i nhˆa´t cu’a to´an ho.c l´y thuyˆe´t la.i v`u.a g˘a´n b´o v´o.i nhiˆe`u b`aito´an vˆa.t l´y v`a co ho.c cu thˆe’ Tu tu.o.’ng v`a kˆe´t qua’ cu’a n´o d˜a thˆam nhˆa.p sˆauv`ao nhiˆ`u phˆae ` n kh´ac nhau cu’a to´an ho.c C´ac phu.o.ng ph´ap cu’a LTHBP d˜atro.’ th`anh quen thuˆo.c ca’ trong nhiˆe`u ng`anh ´u.ng du.ng nhu thu’y dˆo.ng ho.c,v`a kh´ı dˆo.ng ho.c, l´y thuyˆe´t d`an hˆo` i, V`ı l´y do d´o m`a LTHBP l`a mˆon ho.cb˘a´t buˆo.c, l`a mˆo.t phˆa` n tˆa´t yˆe´u cu’a gi´ao du.c to´an ho.c dˆo´i v´o.i c´ac hˆe d`ao ta.o:To´an, To´an - Co., To´an - Tin ´u.ng du.ng cu’a tru.`o.ng Da.i ho.c Khoa ho.c Tu nhiˆen (Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i)

Gi´ao tr`ınh “Co so ’ l´ y thuyˆ e´t h` am biˆ e´n ph´ u.c” n`ay du.o c biˆen soa.n theos´at chu.o.ng tr`ınh H`am biˆe´n ph´u.c du.o c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i ban h`anh.Khˆo´i lu.o ng v`a cˆa´u tr´uc chung cu’a cuˆo´n s´ach l`a ho`an to`an tu.o.ng ´u.ng v´o.i nˆo.idung v`a cˆa´u tr´uc cu’a chu.o.ng tr`ınh hiˆe.n h`anh cu’a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i.N´o du.o c biˆen soa.n du a trˆen nˆo.i dung cuˆo´n s´ach “Co so.’ l´y thuyˆe´t H`am biˆe´nph´u.c” tru.´o.c dˆay cu’a t´ac gia’ v`a kinh nghiˆe.m tr`ınh b`ay LTHBP o.’ tru.`o.ng Da.iho.c Tˆo’ng ho p H`a Nˆo.i tru.´o.c dˆay v`a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i ng`ay nay.Nh˘a`m mu.c d´ıch gi´up sinh viˆen hiˆe’u thˆa´u d´ao co so.’ l´y thuyˆe´t cu’a LTHBP,khi biˆen soa.n gi´ao tr`ınh n`ay ch´ung tˆoi d˜a cˆo´ g˘a´ng du.a v`ao nhiˆe`u v´ı du minh

ho.a du.o c cho.n lo.c k˜y c`ang v`a du.o c gia’i mˆo.t c´ach chi tiˆe´t.

Ch´ung tˆoi hy vo.ng r˘a`ng gi´ao tr`ınh n`ay c`ung v´o.i gi´ao tr`ınh “Hu.´o.ng dˆa˜n gia’i B` ai tˆ a p H` am biˆ e´n ph´ u.c” (Nh`a Xuˆa´t ba’n Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i, 2003)cu’a ch´ung tˆoi s˜e l`a bˆo s´ach d´ap ´u.ng du.o c nh˜u.ng yˆeu cˆa` u co ba’n vˆe` LTHBPcu’a DHQG H`a Nˆo.i

Ch´ung tˆoi chˆan th`anh b`ay to’ l`ong biˆe´t o.n dˆe´n Bˆo mˆon Gia’i t´ıch, KhoaTo´an - Co - Tin ho.c tru.`o.ng Da.i ho.c Tˆo’ng ho p H`a Nˆo.i tru.´o.c dˆay v`a tru.`o.ngDa.i ho.c Khoa ho.c Tu nhiˆen ng`ay nay d˜a ta.o diˆe`u kiˆe.n cho tˆoi ho`an th`anhba’n tha’o gi´ao tr`ınh n`ay

Ch´ung tˆoi chˆan th`anh ca’m o.n GS TSKH Nguyˆ˜n V˘an Mˆa.u v`a PGS TSeNguyˆ˜n Minh Tuˆa´n d˜a c´o nh˜e u.ng trao dˆo’i v`a d´ong g´op nhiˆ`u ´e y kiˆe´n qu´y b´aucho t´ac gia’ khi chuˆa’n bi ba’n tha’o gi´ao tr`ınh n`ay

T´ac gia’ chˆan th`anh mong nhˆa.n du.o c su quan tˆam v`a g´op ´y cu’a ba.n do.c

xa gˆ` n vˆea ` nˆo.i dung v`a h`ınh th´u.c dˆe’ gi´ao tr`ınh ng`ay du.o c ho`an thiˆe.n ho.n

H` a Nˆ o i, M` ua thu 2005

T´ ac gia ’

M˘ a.t ph˘a’ng ph´ u.c v` a h` am biˆ e´n ph´ u.c

1.1 Tˆ a p ho. p sˆo´ ph´ u.c, m˘ a.t ph˘ a ’ ng ph´ u.c 11

1.1.1 D- i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c 12

1.1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c 16

1.1.3 Ph´ep tr`u v`a ph´ep chia sˆo´ ph´u.c 18

1.1.4 M˘a.t ph˘a’ng ph´u.c 19

1.1.5 Mˆodun v`a acgumen cu’a sˆo´ ph´u.c 20

1.1.6 Ph´ep khai c˘an sˆo´ ph´u.c 28

1.1.7 Da.ng m˜u cu’a sˆo´ ph´u.c 29

1.1.8 Kh´ai niˆe.m vˆe` m˘a.t ph˘a’ng mo.’ rˆo.ng 30

1.1.9 Khoa’ng c´ach trˆen C 33

1.2 C´ ac kh´ ai niˆ e.m tˆ opˆ o co ba ’ n trˆ en m˘ a t ph˘ a ’ ng ph´ u.c 35 1.2.1 Tˆopˆo trˆen C 36

1.2.2 Phˆ` n trong v`a a phˆ` n ngo`a ai 38

1.2.3 D- iˆe’m tu 39

1.2.4 Biˆen cu’a tˆa.p ho p 40

1.2.5 Tˆa.p ho p comp˘a´c 41

1.2.6 Tˆa.p ho p liˆen thˆong 42

1.2.7 H`am ph´u.c biˆe´n thu c Tuyˆe´n v`a du.`o.ng cong 46

1.2.8 Ph´ep dˆ` ng luˆo an 53

1.2.9 Miˆ`n do.n liˆen v`e a da liˆen 56

1.3 H` am biˆ e´n ph´ u.c 59

1.3.1 D- i.nh ngh˜ıa h`am biˆe´n ph´u.c 59

1.3.2 C´ac v´ı du vˆe` ´anh xa do.n diˆe.p 62

1.3.3 Gi´o.i ha.n cu’a h`am 64

1.3.4 T´ınh liˆen tu.c v`a liˆen tu.c dˆe`u 67

1.4 L´ y thuyˆ e´t d˜ ay v` a chuˆ o ˜i trong miˆ ` n ph´ e u.c 72

1.4.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay diˆe’m 72

1.4.2 Chuˆo˜i sˆo´ ph´u.c v`a su hˆo.i tu cu’a n´o 75

1.4.3 D˜ay v`a chuˆo˜i h`am 79

1.4.4 Chuˆo˜i l˜uy th`u.a 85

1.4.5 Su hˆo.i tu dˆe`u trˆen t`u.ng comp˘a´c 92

1.5 H`am arg z 95

1.5.1 T´ınh liˆen tu.c cu’a h`am arg z 95

1.5.2 Sˆo´ gia cu’a acgumen do.c theo du.`o.ng cong 96

1.5.3 Nh´anh do.n tri liˆen tu.c cu’a h`am arg z 98

1.6 B` ai tˆ a.p 100

Tˆa.p ho p sˆo´ ph´u.c c´o hai cˆa´u tr´uc: cˆa´u tr´uc da.i sˆo´ cu’a mˆo.t tru.`o.ng v`a dˆo` ng th`o.i n´o c´o cˆa´u tr´uc tˆopˆo cu’a mˆo.t khˆong gian (khˆong gian Euclide hai chiˆe`u,

t´u.c l`a m˘a.t ph˘a’ng) Do d´o tˆa.p ho p c´ac sˆo´ ph´u.c c´o ca’ t´ınh chˆa´t da.i sˆo´ lˆa˜nt´ınh chˆa´t tˆopˆo Trong mu.c n`ay ta s˜e nghiˆen c´u.u c´ac t´ınh chˆa´t da.i sˆo´ cu’a tˆa.pho p sˆo´ ph´u.c.

1.1.1 D - i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c

Ta x´et phu.o.ng tr`ınh

x2+ 1 = 0.

R˜o r`ang l`a phu.o.ng tr`ınh n`ay khˆong c´o nghiˆe.m thuˆo.c R v`ı x2+1 > 1, ∀ x ∈ R.

Do d´o mˆo.t vˆa´n dˆe` tu nhiˆen d˘a.t ra l`a t`ım mˆo.t tˆa.p ho p (ta k´y hiˆe.u l`a C) tho’am˜an c´ac diˆ`u kiˆe.n sau dˆay:e

1 C l`a mˆo.t tru.`o.ng;

2 R ⊂ C;

3 Phu.o.ng tr`ınh x2+ 1 = 0 c´o nghiˆe.m trong C

V`ı tˆa.p ho p c´ac sˆo´ thu c R l`a mˆo.t tˆa.p ho p con cu’a C nˆen khi x´ac di.nh c´acph´ep t´ınh sˆo´ ho.c co ba’n trˆen c´ac sˆo´ ph´u.c ta cˆa` n d`oi ho’i r˘a`ng khi ´ap du.ng choc´ac sˆo´ thu c c´ac ph´ep to´an d´o du.a la.i kˆe´t qua’ nhu kˆe´t qua’ thu du.o c trong sˆo´ho.c c´ac sˆo´ thu c M˘a.t kh´ac, nˆe´u ta mong muˆo´n c´ac sˆo´ ph´u.c c´o nh˜u.ng ´u.ngdu.ng trong c´ac vˆa´n dˆe` cu’a gia’i t´ıch th`ı ta cˆa` n d`oi ho’i r˘a`ng c´ac ph´ep to´an co.ba’n du.o c du.a v`ao d´o pha’i tho’a m˜an c´ac tiˆen dˆe` thˆong thu.`o.ng cu’a sˆo´ ho.c c´ac

sˆo´ thu c

D- i.nh ngh˜ıa 1.1.1 Mˆo˜i c˘a.p sˆo´ thu c c´o th´u tu (a, b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o c

go.i l`a mˆo.t sˆo´ ph´u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe b˘a`ng nhau, ph´ep

cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan du.o c du.a v`ao theo c´ac di.nh ngh˜ıa (tiˆen dˆe`) sau dˆay:

II Ph´ ep cˆ o ng: (a, b) + (c, d) def = (a + c, b + d)1 v`a c˘a.p (a + c, b + d) du.o c

go.i l`a tˆo’ng cu’a c´ac c˘a.p (a, b) v`a (c, d).

1 Def l` a c´ ach viˆ e´t t˘ a ´t cu’a t` u tiˆ e´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa)

III Ph´ ep nhˆ an: (a, b)(c, d) def = (ac − bd, ad + bc) v`a c˘a.p (ac − bd, ad + bc) du.o c go.i l`a t´ıch cu’a c´ac c˘a.p (a, b) v`a (c, d).

IV C˘a.p (a, 0) du.o c dˆo ` ng nhˆa´t v´o.i sˆo´ thu c a, ngh˜ıa l`a

(a, 0) def ≡ a.

Tˆa.p ho p c´ac sˆo´ ph´u.c du.o c k´y hiˆe.u l`a C

Nhu vˆa.y mo.i phˆa` n cu’a di.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c dˆe`u du.o c ph´at biˆe’u b˘a`ng ngˆonng˜u sˆo´ thu c v`a c´ac ph´ep to´an trˆen ch´ung

Trong di.nh ngh˜ıa n`ay ba tiˆen dˆe` dˆa` u thu c chˆa´t l`a di.nh ngh˜ıa c´ac kh´ainiˆe.m kh´ac nhau: di.nh ngh˜ıa kh´ai niˆe.m b˘a`ng nhau, tˆo’ng v`a t´ıch c´ac sˆo´ ph´u.c

Do d´o viˆe.c dˆo´i chiˆe´u c´ac tiˆen dˆe` d´o v´o.i nhau s˜e khˆong dˆa˜n dˆe´n bˆa´t c´u mˆauthuˆa˜n n`ao Diˆe`u duy nhˆa´t c´o thˆe’ gˆay ra dˆoi ch´ut lo nga.i l`a tiˆen dˆe` IV Vˆa´n

dˆ` l`a o.e ’ chˆo˜: vˆo´n d˜ı c´ac kh´ai niˆe.m b˘a`ng nhau, tˆo’ng v`a t´ıch c´ac sˆo´ thu c c´o ´yngh˜ıa ho`an to`an x´ac di.nh v`a do d´o nˆe´u c´ac kh´ai niˆe.m n`ay khˆong tu.o.ng th´ıchv´o.i nh˜u.ng kh´ai niˆe.m du.o c dˆe` cˆa.p dˆe´n trong c´ac tiˆen dˆe` I - III khi x´et c´ac sˆo´thu c v´o.i tu c´ach l`a c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t th`ı buˆo.c pha’i loa.i tr`u tiˆen dˆe` IV

Do d´o ta cˆ` n dˆo´i chiˆe´u tiˆen dˆea ` IV v´o.i c´ac tiˆen dˆe` I, II v`a III

1) I - IV Gia’ su.’ hai sˆo´ thu c a v`a b b˘a`ng nhau nhu nh˜u.ng c˘a.p da.ng

d˘a.c biˆe.t dˆo` ng nhˆa´t v´o.i ch´ung: (a, 0) = (b, 0) Khi d´o theo tiˆen dˆ` I ta c´oe

(a, 0) = (b, 0) ⇔ a = b, t´u.c l`a nˆe´u ch´ung b˘a`ng nhau theo ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng.2) II - IV Theo tiˆen dˆ` II, tˆo’ng hai sˆo´ thu c a v`a c du.o c x´et nhu nh˜u.ngec˘a.p (a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘a`ng c˘a.p (a + c, 0 + 0) = (a + c, 0) Nhu.ng theo tiˆen dˆe`

IV th`ı (a + c, 0) ≡ a + c Nhu vˆa.y

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0 + 0) = (a + c, 0) ≡ a + c

t´u.c l`a dˆ` ng nhˆa´t b˘a`ng tˆo’ng a + c theo ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng.o

3) III - IV Theo tiˆen dˆ` III, t´ıch c´ac sˆo´ thu c a v`a b du.o c x´et nhu nh˜u.ngec˘a.p (a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘a`ng c˘a.p

(ac − 0 · 0, a · 0 + 0 · c) = (ac, 0)

v`a theo tiˆen dˆ` IV ta c´o (ac, 0) ≡ ac Nhu vˆa.ye

(a, 0)(c, 0) (I I I ) = (ac, 0) (I V ) = ac

t´u.c l`a dˆ` ng nhˆa´t b˘a`ng t´ıch a v´o.i c theo ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng.o

Nhu vˆa.y tiˆen dˆe` IV tu.o.ng th´ıch v´o.i c´ac tiˆen dˆe` I, II v`a III

Ta c˜ung lu.u ´y cˆong th´u.c sau dˆay du.o c suy tru c tiˆe´p t`u III v`a IV:

m(a, b) = (ma, mb), m ∈ R.

Thˆa.t vˆa.y t`u IV v`a III ta c´o

m(a, b) = (m, 0)(a, b) = (ma − 0 · b, mb + 0 · a)

= (ma, mb).

Nˆe´u m ∈ N th`ı theo II ta c´o

(a, b) + (a, b) = (2a, 2b);

(2a, 2b) + (a, b) = (3a, 3b),

t´u.c l`a (ma, mb) l`a kˆe´t qua’ cu’a ph´ep cˆo.ng liˆen tiˆe´p m sˆo´ ha.ng b˘a`ng (a, b).

Diˆ`u d´o ph`e u ho p v´o.i biˆe’u tu.o ng thˆong thu.`o.ng l`a ph´ep nhˆan v´o.i sˆo´ tu nhiˆentu.o.ng ´u.ng v´o.i ph´ep cˆo.ng m sˆo´ ha.ng b˘a`ng nhau.

Dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng c´ac tiˆen dˆe` II v`a III l`a tu.o.ng th´ıch v´o.i nhau v`a c´acquy luˆa.t thˆong thu.`o.ng cu’a c´ac ph´ep t´ınh thu c hiˆe.n trˆen c´ac sˆo´ vˆa˜n du.o cba’o to`an khi chuyˆe’n sang sˆo´ ph´u.c (du.o.ng nhiˆen pha’i c˘a´t bo’ mo.i quy luˆa.t c´oquan hˆe t´o.i dˆa´u >).

D- i.nh ngh˜ıa 1.1.2 Gia’ su.’ z = (a, b) ∈ C Khi d´o sˆo´ ph´u.c (a, −b) du.o c go.i

l`a sˆ o´ ph´ u.c liˆ en ho . p v´o.i sˆo´ ph´u.c z v`a du.o c k´y hiˆe.u l`a z:

z = (a, −b).

Ta c´o di.nh l´y sau dˆay:

D- i.nh l´y 1.1.1 Tˆa.p ho p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng tho’a m˜an c´ac diˆe`u kiˆe.n:

1 C ⊃ R;

2 C ch´ u.a phˆ ` n tu a ’ i v´ o.i t´ınh chˆ a´t i2 = −1; phˆ ` n tu a ’ i n` ay du.o c go.i l`a do.n vi a’o.

Ch´ u.ng minh 1 C l` a mˆ o t tru `o.ng Hiˆe’n nhiˆen, phˆa` n tu.’ do.n vi cu’a C l`a c˘a.p

(1, 0) v`ı r˘a`ng (a, b)(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b); v`a phˆa` n tu.’ khˆong cu’a C l`a c˘a.p (0, 0) v`ı r˘a`ng (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b).

-Dˆe’ ch´u.ng to’ C l`a mˆo.t tru.`o.ng ta chı’ cˆa` n kiˆe’m nghiˆe.m su tˆo` n ta.i phˆa` n tu.’nghi.ch da’o (viˆe.c kiˆe’m nghiˆe.m c´ac tiˆen dˆe` c`on la.i dˆo´i v´o.i mˆo.t tru.`o.ng l`a hiˆe’nnhiˆen) Gia’ su.’ z = (a, b) 6= (0, 0) (t´u.c l`a a2+ b2 > 0) Ta s˜ e t`ım z0= (a0, b0)sao cho

Vˆ` sau phˆae ` n tu.’ nghi.ch da’o z0

cu’a z thu.` o.ng du.o c k´y hiˆe.u l`a z−1

2 R ⊂ C X´et c´ac c˘a.p da.ng (a, 0) Dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng tˆa.p ho p R0 =

{(a, 0), a ∈ R} lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng con cu’a C Ta x´et ´anh xa t`u R v`ao R0

a 7→ (a, 0).

Hiˆe’n nhiˆen r˘a`ng nˆe´u (a, 0) = (a0

, 0) th`ı a = a0 v`a ngu.o c la.i, dˆo`ng th`o.i

1.1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c

Ta c´o di.nh l´y sau dˆay

D- i.nh l´y 1.1.2 Mo.i sˆo´ ph´u.c z = (a, b) ∈ C dˆe`u c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da.ng

z = (a, b) = a + ib.

Ch´ u.ng minh Thˆa.t vˆa.y, ta c´o

z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + ib.

Ph´ep biˆe’u diˆ˜n sˆo´ ph´e u.c z = (a, b) du.´ o.i da.ng a + ib du.o c go.i l`a da.ng da.i

sˆ o´ hay da ng Descartes cu’a sˆo´ ph´u.c Sˆo´ a du.o .c go.i l`a phˆa`n thu c cu’a sˆo´ ph´u.c

z v`a k´y hiˆe.u l`a a = Re [z], sˆo´ b du o c go.i l`a phˆa`n a’o cu’a n´o v`a k´y hiˆe.u l`a

b = Im [z].2

Nˆe´u z = Re [z] th`ı z l`a mˆo.t sˆo´ thu c Nˆe´u z = iIm [z] th`ı z l`a mˆo.t sˆo´ thuˆ ` n a’o V´o.i quan diˆe’m c´ac ph´ep to´an trong tru.`o.ng c´ac sˆo´ ph´ a u.c, sˆo´ thuˆ` na

a’o bi c´o thˆe’ hiˆe’u nhu l`a t´ıch cu’a sˆo´ thu c b v´o.i do.n vi a’o i v`a mˆo˜i sˆo´ ph´u.c

a + ib nhu l`a tˆo’ng cu’a sˆo´ thu c a v´o.i sˆo´ thuˆa ` n a’o ib.

Do d´o trong c´ach xˆay du ng sˆo´ ph´u.c n`ay ta d˜a su.’ du.ng c´ac k´y hiˆe.u c´o

mˆo.t ´y ngh˜ıa ho`an to`an cu thˆe’ v`a v`ı thˆe´ tr´anh du.o c t´ınh h`ınh th´u.c do k´yhiˆe.u do.n vi a’o i mang la.i.

Hˆe qua’ Gia’ su ’ z = a + ib ∈ C Khi d´ . o sˆ o´ ph´ u.c liˆ en ho . p z c´o thˆe’ biˆe’u diˆen du.´ o.i da ng z = a − ib.

Ph´ep chuyˆe’n t`u sˆo´ ph´u.c d˜a cho sang sˆo´ ph´u.c liˆen ho p v´o.i n´o du.o c go.i l`a

3 Hiˆe’n nhiˆen

2 C´ ac k´ y hiˆ e.u Re v`a Im xuˆa´t hiˆe.n do viˆe.c viˆe´t t˘a´t c´ac t`u tiˆe´ng Ph´ap Reel (thu c) v`a Imaginaire (a’o)

Mˆo.t sˆo´ ph´u.c tr`ung v´o.i sˆo´ liˆen ho p v´o.i n´o khi v`a chı’ khi n´o l`a sˆo´ thu c.

Dˆe˜ thˆa´y ´anh xa t`u tˆa.p ho p tˆa´t ca’ c´ac sˆo´ ph´u.c v`ao tˆa.p ho p c´ac sˆo´ ph´u.cliˆen ho p v´o.i ch´ung:

D- i.nh l´y 1.1.4 Gia’ su.’ z1 v` a z2 ∈C Khi d´ o tˆ ` n ta.i mˆo.t v`a chı’ mˆo.t sˆo´ ph´u.c o

z sao cho z1+ z = z2, cu thˆ e’ l` a z = (−z1) + z2.

Ch´ u.ng minh 1 Ta c´ o z1+ ((−z1) + z2) = (z1+ (−z1)) + z2 = 0 + z2 = z2

v`a nhu vˆa.y z = (−z1) + z2 tho’a m˜an d`oi ho’i cu’a di.nh l´y

2 Ngu.o c la.i, nˆe´u z1+ z = z2 th`ı (−z1) + (z1 + z) = (−z1) + z2 T`u d´o

z = (−z1) + z2 v`a nhu vˆa.y di.nh l´y du.o c ch´u.ng minh

Sˆo´ ph´u.c z = (−z1) + z2 du.o..c go.i l`a hiˆe.u cu’a c´ac sˆo´ ph´u.c z2 v`a z1 Thˆongthu.`o.ng hiˆe.u d´o du.o c k´y hiˆe.u l`a

z = z2− z1,

v`a nˆe´u z1 = a1+ ib1, c`on z2 = a2+ ib2 th`ı

z = z2− z1 = (a2− a1) + i(b2− b1).

Dˆo´i v´o.i ph´ep chia ta c´o

D- i.nh l´y 1.1.5 Gia’ su.’ z1 v` a z2 ∈C, z2 6= 0 Khi d´ o tˆ ` n ta.i mˆo.t v`a chı’ mˆo.t o

sˆ o´ ph´ u.c z sao cho z2z = z1, cu thˆ e’ l` a: z = z2−1z1.

Ch´ u.ng minh 1 Nˆ e´u z = z2−1z1 th`ı z2z = z2(z−12 z1) = z1

2 Nˆe´u z2z = z1 ⇒ z = z−1(z2z) = z−1z1

Nhu vˆa.y sˆo´ z−12 z1 l`a thu.o.ng cu’a ph´ ep chia z1 cho z2.

Sˆo´ thu.o.ng thu.`o.ng du.o c k´y hiˆe.u l`a z1

z2

ho˘a.c z1/z2.Gia’ su.’ z1 = a1+ ib1, z2 = a2+ ib2 Khi d´o ta c´o thˆe’ viˆe´t:

= a1a2+ b1b2

a2

2+ b2 2

+ i a2b1− a1b2

a2

2 + b2 2

·

V`a t`u d´o suy ra r˘a`ng ph´ep chia cho sˆo´ ph´u.c z 6= 0 bˆa´t k`y l`a luˆon luˆon thu chiˆe.n du.o c

1.1.4 M˘ a t ph˘ a’ng ph´ u.c

Gia’ su.’ trˆen m˘a.t ph˘a’ng R2 cho hˆe to.a dˆo Descartes vuˆong g´oc xOy Nhu d˜a

biˆe´t, hai diˆe’m du.o c x´ac di.nh bo.’i c´ac to.a dˆo Descartes vuˆong g´oc tr`ung nhaukhi v`a chı’ khi ch´ung c´o ho`anh dˆo b˘a`ng nhau v`a tung dˆo b˘a`ng nhau Do d´o

ta c´o thˆe’ x´ac lˆa.p mˆo.t ph´ep tu.o.ng ´u.ng do.n tri mˆo.t - mˆo.t gi˜u.a c´ac diˆe’m cu’am˘a.t ph˘a’ng R2 v´o.i c´ac sˆo´ ph´u.c cu’a C, trong d´o mˆo˜i sˆo´ ph´u.c z = x + iy ∈ C s˜etu.o.ng ´u.ng v`o.i diˆe’m ho`an to`an x´ac di.nh M(x, y) ∈ R2 v`a ngu.o c la.i mˆo˜i diˆe’m

M (x, y) ∈ R2 s˜e tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c ho`an to`an x´ac di.nh z = x + iy ∈ R2.Nhu vˆa.y ph´ep tu.o.ng ´u.ng

R2 3 (x, y) 7→ x + iy ∈ C

l`a do.n tri mˆo.t - mˆo.t T`u d´o ta thˆa´y r˘a`ng mo.i sˆo´ ph´u.c dˆe`u c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n

bo.’ i diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng v`a nhu vˆa.y c´ac thuˆa.t ng˜u “sˆo´ ph´u.c z” v`a “diˆe’m z”

du.o c d`ung nhu nh˜u.ng t`u dˆo` ng ngh˜ıa

D - i.nh ngh˜ıa 1.1.3 M˘a.t ph˘a’ng v´o.i ph´ep tu.o.ng ´u.ng do.n tri mˆo.t - mˆo.t

R2 3 (x, y) 7→ x + iy ∈ C

nhu d˜a mˆo ta’ o.’ trˆen du.o c go.i l`a m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c v`a c˜ung du.o c k´y hiˆe.u l`a C.

C´o thˆe’ n´oi mˆo.t c´ach kh´ac: m˘a.t ph˘a’ng m`a c´ac diˆe’m cu’a n´o du.o c d`ung

dˆ e’ mˆ o ta’ sˆ o´ ph´ u.c go i l` a m˘ a t ph˘ a’ng ph´ u.c C´ac sˆo´ thu c du.o c mˆo ta’ bo.’i c´acdiˆe’m trˆen tru.c Ox nˆen tru.c d´o du.o c go.i l`a tru.c thu c C´ac sˆo´ thuˆa` n a’o du.o c

mˆo ta’ bo.’ i c´ac diˆe’m trˆen tru.c Oy nˆen tru.c Oy du.o c go.i l`a tru.c a’o.

Ta c˜ung c´o thˆe’ x´ac lˆa.p ph´ep tu.o.ng ´u.ng gi˜u.a c´ac phˆa` n thu c v`a phˆa` n a’ocu’a sˆo´ ph´u.c v´o.i c´ac to.a dˆo cu’a vecto v´o.i gˆo´c, ch˘a’ng ha.n, ta.i gˆo´c to.a dˆo Su tu.o.ng ´u.ng gi˜u.a c´ac sˆo´ ph´u.c v`a c´ac vecto trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c v´o.i gˆo´c ta.i

O l`a mˆo.t ph´ep tu.o.ng ´u.ng do.n tri mˆo.t - mˆo.t Do d´o sˆo´ ph´u.c z c`on c´o thˆe’

biˆe’u diˆ˜n bo.e ’ i mˆo.t vecto v´o.i gˆo´c ta.i O v`a dˆa` u m´ut ta.i diˆe’m z v`a ta c´o thˆe’ su.’ du.ng thuˆa.t ng˜u “sˆo´ ph´u.c z” v`a “vecto z” nhu nh˜u.ng thuˆa.t ng˜u dˆo` ng ngh˜ıa.Nh`o c´ach minh ho.a vecto dˆo´i v´o.i c´ac sˆo´ ph´u.c, vˆe` m˘a.t h`ınh ho.c ta c´o thˆe’thu c hiˆe.n ph´ep cˆo.ng v`a tr`u c´ac sˆo´ ph´u.c theo c´ac quy t˘a´c cˆo.ng v`a tr`u c´acvecto

1.1.5 Mˆ odun v` a acgumen cu ’ a sˆ o ´ ph´ u.c

Bˆay gi`o ta x´et c´ac to.a dˆo cu c cu’a diˆe’m biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c z b˘a`ng c´ach cho.n

gˆo´c to.a dˆo l`am gˆo´c-cu c v`a phˆa` n du.o.ng cu’a tru.c thu c l`am tru.c cu c

Nhu ta biˆe´t, c´ac to.a dˆo cu c cu’a diˆe’m gˆo` m c´o b´an k´ınh vecto cu’a n´o (b˘a`ngkhoa’ng c´ach t`u diˆe’m z dˆe´n gˆo´c cu c) v`a g´oc cu c ta.o nˆen bo.’i hu.´o.ng du.o.ng

cu’a tru.c cu c v`a vecto di t`u cu c dˆe´n diˆe’m z.

D - i.nh ngh˜ıa 1.1.4 Dˆo d`ai cu’a b´an k´ınh-vecto cu’a diˆe’m biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c

z du.o c go.i l`a mˆodun cu’a sˆo´ ph´u.c v`a k´y hiˆe.u l`a |z|.

D- i.nh l´y 1.1.6 Mˆodun cu’a sˆo´ ph´u.c z c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay:

1 |z| > 0, |z| = 0 ⇔ z = 0;

2 |z1z2| = |z1| |z2|,

3 |z1+ z2| 6 |z1| + |z2| (bˆ a´t d˘ a’ng th´ u.c tam gi´ ac).

Ch´ u.ng minh 1 Du.o c suy t`u di.nh ngh˜ıa.

|z1+ z2| 6 |z1| + |z2|

Nhˆ a n x´ et T`u di.nh l´y v`u.a ch´u.ng minh suy ra r˘a`ng

|z1− z2| = d(z1, z2)l`a khoa’ng c´ach gi˜u.a hai diˆe’m z1 v`a z2 v`a da.i lu.o ng |z| l`a dˆo d`ai cu’a b´an k´ınh-vecto z.

Ch´ u.ng minh a) Thˆ a.t vˆa.y, v`ı |z2| = | − z2| nˆen

e) Bˆa´t d˘a’ng th´u.c e) thu du.o c t`u d) sau khi thay z2 bo.’ i −z2

T`u bˆa´t d˘a’ng th´u.c tam gi´ac, dˆ˜ d`ang suy ra r˘a`nge

C´o thˆe’ xem c´ac bˆa´t d˘a’ng th´u.c (1.1) v`a (1.2) nhu nh˜u.ng bˆa´t d˘a’ng th´u.c

tˆo’ng qu´at dˆo´i v´o.i bˆa´t d˘a’ng th´u.c tam gi´ac v`a bˆa´t d˘a’ng th´u.c a)

Bˆay gi`o ta chuyˆe’n sang di.nh ngh˜ıa acgumen cu’a sˆo´ ph´u.c z = a + ib 6= 0.

Ta d˘a.t r = |z| =

√

a2+ b2 V`ı a2 6 r2, b2 6 r2 nˆen

a r

6 1 v`a