f x g x dx f x dx g x dx 5/- Các phương pháp tính tích phân: a Phương pháp1: Tính trực tiếp bằng định nghĩa Cách giải: - Ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân bằng cách dùng c
Trang 1Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1/- Nguyên hàm
a/- Định nghĩa: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì họ nguyên hàm (hay tích phân bất định) của f(x) là:
f x dx F x C F x f x
b/- Tính chất của nguyên hàm
i/ f x dx ( ) ' f x ( ) C
ii/ k f x dx k f x dx k ( ) ( ) , 0
iii/ f x g x dx ( ) ( ) f x dx ( ) g x dx ( )
Bài 1 : Cho hàm số 2
1
x
f x
x
và hàm số F x ln x2 1 Chứng minh rằng F x là nguyên hàm của f x
Bài 2: Cho hai hàm số F x 2 x sin 2 x; f x 4 cos2x
a Chứng minh rằng F x là nguyên hàm của f x
b Tìm nguyên hàm G x biết rằng 0
2
2/- Bảng các nguyên hàm:
Nguyên hàm của hàm cơ bản Nguyên hàm hàm hợp u = u(x), du = u’(x)dx
dx x C
1
1
x
1
1
u
1
ln
2
e dx e C
ln
x
a
ln
u
a
cos xdx sin x C
sin xdx cos x C
2 2
1
(1 tan ) tan cos x dx x dx x C
1
(1 tan ) tan cos u du u du u C
2 2
1
(1 cot ) cot sin x dx x dx x C
1
(1 cot ) cot sin u du u du u C
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT: với a b , , a 0, 1, m 0
baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 1
Trang 2Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
( 1)
a
ln
dx
ax b C
3)
2
1
dx
C
a ax b
a
5)
ln
mx
mx n a n
m a
a
a
tan( )
dx
cot( ) sin ( )
dx
ln 2
C
ln tan
x
ln tan
x
x
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1) f x( )2x13
2)
1 ( )
f x
x
3) f x( ) 1 3 x
4) f x( ) e2x 3
5) f x( ) 31 2 x
5 3
f x
x
7) f x( ) sin(2 x1) 8) f x( ) cos(4 3 ) x
sin (2 3)
f x
x
cos (5 2 )
f x
x
1 3
f x
x
1 2
x
a Chứng minh rằng F x là nguyên hàm của f x
b Tìm nguyên hàm G x của hàm số f x biết rằng G 1 5
3/- Các phương pháp tính nguyên hàm ( tích phân bất định )
3.1/- Phương pháp đổi biến số:
Định lý: f x dx F x ( ) ( ) C f u du ( ) F u ( ) C , với u = u(x), du = u’(x)dx
Để tính f x dx ( ) bằng PP đổi biến ta thực hiện các bước sau:
+ B1: Đặt u = u(x) du = u’(x)dx
+ B2: Biểu diễn f(x)dx theo u và du Giả sử f(x)dx = g(u)du
+ B3: Tính g u du ( ) Giả sử g u du G u ( ) ( ) C
+ B4: Kết luận: f x dx ( ) g u du G u x ( ) ( ( )) C
BÀI TẬP:
1)(3 2x)5
dx
2)
dx x
x
3 2
2
5
3
3)sin4x cos xdx
4)x e x2 1dx
x
x
3
ln
1 3cos
x dx x
7) lnx 3dx x
8) x3 x2 1 dx
9) sin 22
1 sin
x dx x
10) ecos2xsin 2xdx
3.2/- Phương pháp nguyên hàm từng phần: Sử dụng cơng thức nguyên hàm từng phần:
baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 2
Trang 3Tích phân & Ứng dụng Trường THPT Khánh Lâm
( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )
hay udv uv vdu (1)
Bằng cách đặt:
'( ) , ( )
(Lấy vi phân vế theo vế) Lấy một nguyên hàm của v'(x):
du u x dx
u u x
Sau đĩ thay vào cơng thức (1), rồi tìm cách tính tích phân cịn lại (cĩ thể suy trực tiếp, cũng cĩ thể dùng các phương pháp ta đã biết: bao gồm đổi biến và từng phần)
Lưu ý: Thơng thường, ta cĩ 3 dạng cơ bản:
i Dạng 1: p x g x dx ( ) ( ) , trong đĩ p(x) là hàm đa thức, g(x) là hàm lượng giác theo sin hoặc cos
Cách giải: Đặt
'( ) ,(
( )
Lấy vi phân vế theo vế) Tìm một nguyên hàm của g(x)
BÀI TẬP: 1/ x.sinxdx 2/ x1 cos xdx 3/ x2.sinxdx
baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng 3
Trang 4( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
ii Dạng 2: p x e dx ( ). t x( ) , trong đĩ p(x) là hàm đa thức, et(x) là hàm mũ cơ số e
'( ) , ( ( )
Lấy vi phân vế theo vế) Tìm một nguyên hàm của e
t x
dv e dx
BÀI TẬP: 1/ x.e x dx 2/ (x1).e dx2x 3/ x e dx2 x
iii Dạng 3: p x ( ).ln ( ) [ f x dx ] , trong đĩ p(x) là hàm đa thức, ln[f(x)] là hàm lốc nê pê hoặc lơgarit
Cách giải: Đặt
'( ) ,(
( )
Lấy vi phân vế theo vế) ]
Tìm một nguyên hàm của
f x
BÀI TẬP 1)x ln xdx 2)2xln(1x)dx 3) x 2 x dx
) 1 ln(
4/- Tích phân:
a/- Định nghĩa tích phân: ( Cơng thức Newton - Leibnizt )
b/- Tính chất:
Trang 51) ( ) 0
a
a
f x dx
3) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
5/- Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp1: Tính trực tiếp bằng định nghĩa
Cách giải:
- Ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân bằng cách dùng các phép biến đổi như: thêm bớt, nhân chia, trục căn thức ở
mẫu, đưa căn thức về dạng luỹ thừa, hằng đẳng thức, tách tích phân để đưa về các dạng đã biết trong bản nguyên hàm.
- Đặc biệt, nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng hàm hữu tỉ thì ta so sánh bậc của đa thức ở tử và bậc của đa thức ở mẫu Ta có các trường hợp sau:
+ Nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu, ta chia đa thức, tách tích phân rồi tính
+ Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu đúng một bậc ta thử lấy mẫu đạo hàm nếu biểu diễn được theo tử thì ta
sử dụng pp đổi biến bằng cách đặt mẫu bằng u, (xem pp đổi biến)
+ Nếu không được, ta tìm nghiệm của mẫu rồi dùng pp đồng nhất thức Cụ thể như sau:
o Nếu mẫu là tam thức bậc hai có 2 nghiệm m, n (m < n), ta phân tích theo quy tắc sau:
2
o Nếu mẫu là đa thức bậc lớn hơn bằng 3 và có nghiệm thì ta tách biểu thức ( )
( )
p x
q x thành tổng các phân
thức sao cho ở mỗi phân thức bậc của tử luôn nhỏ hơn bậc của mẫu đúng một bậc Rồi tìm các hệ số bất định a, b, c, d Chẳng hạn:
- Nếu hàm số trong dấu tích phân cho ở dạng lượng giác thì ta có thể dùng các phép biến đổi lượng giác để đưa về các hàm có trong bảng nguyên hàm
Các công thức biến đổi lượng giác thường dùng:
a) Hằng đẳng thức lượng giác
sin2x + cos2x =1
tanx.cotx = 1
1 + tan2x = 1/cos2x
1+ cot2x = 1/ sin2
b) Biến đổi tích thành tổng:
* cosa.cosb = ½[cos(a+b) + cos(a - b)]
* sina.cosb = ½ [sin(a+b) + sin(a - b)]
* sina.sinb = ½ [cos(a - b) - cos(a+b)]
c) Nhân đôi, hạ bậc:
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = 2cos2a - 1
= 1 - 2sin2a = cos2a - sin2a
tan 2
1 tan
a a
a
cos
2
a
2 1 cos 2
sin
2
a
tan
1 cos 2
a a
a
d) Biến đổi biểu thức dạng asinx + bcosx về hàm lượng giác sin hoặc cos nhờ công thức cộng e) Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác
a a a c a
sin cos 2 sin( )
4
4 os
a a c a
1 + sin2a = (sina + cosa)2
1- sin2a = (sina - cosa)2
Lưu ý: Đối với tích phân hàm lượng giác, thường có các dạng:
Dạng 1: sin( mx c ) os ( ) ; sin( nx dx mx c ) os ( ) ; nx dx c os ( mx c ) os ( ) nx dx, ta biến đổi tích thành tổng
Dạng 2: sinm x cosnxdx
+ Trường hợp 1: có ít nhất một trong hai số m, n là lẻ
- Nếu m lẻ, ta đặt t = cosx, rồi dùng pp đổi biến, tách sinmx = sinm-1x.sinx, chú ý: sin2x + cos2x =1
- Nếu n lẻ, ta đặt t = sinx, rồi dùng pp đổi biến, tách cosnx = cosn-1x.cosx
+ Trường hợp 2: m, n đều chẳn và dương ta dùng công thức hạ bậc, hạ bậc rồi tính
Trang 6 Dạng 3: sinm
xdx
+ Nếu m chẳn, hạ bậc rồi tính
+ Nếu m lẻ, Sử dụng hđt lượng giác biến đổi: sinmx = sinm-1x = (1-cos2x)n.sinx, rồi đặt t = cosx,
hoặc cosmx = (1- sin2x)n cosx, rồi đặt t = sinx
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1)
2
2 1
1
x
dx x
2)
2 1
2
(x 1) dx
x
0
2sin
2
x dx
4)
3
2
4
tan xdx
5)
3
4
sin cos
dx
6)
3
6
cos 2 sin cos
x dx
7)2
0
2sin 3 cos 2x xdx
0
– 1
x x
x x
2
1
3 2
1 1
10)
3
2
1 (x1)(x2)dx
0
sin cos
12) 2 2 0
cos 2xdx
b) Phương pháp 2: Đổi biến
b.1/- Đổi biến loại 1: Để tính ( )
b
a
f x dx
ta thực hiện theo các bước
B1: Đặt x = (t), là hàm liên tục trên đoạn [;],
B2: Đổi cận x = a t = (giải pt a =(t) để tìm t)
x = b t = (giải pt a =(t) để tìm t)
Biểu diễn f(x)dx theo t và dt giả sử f(x)dx = g(t)dt
B3: Tính g t dt ( )
B4: Kết luận ( )
b
a
f x dx
Lưu ý: Thường các bài tập về tính tích phân bằng pp đổi biến loại 1 có các dạng như sau : (a > 0)
2 2
dx
a x
ta đặt x a tan t, ;
2 2
t
; a2 x dx2 ; 2dx 2
2 2
t
BÀI TẬP: Tính
1)
1
2 0
1
1x dx
2 2 0
1
4x dx
2 2 0
4 x dx
2 2 0
1
4 x dx
b.2/- Đổi biến loại 2: Để tính ( )
b
a
f x dx
ta thực hiện theo các bước
B1: Đặt u = u(x) du = u’(x).dx
B2: Đổi cận: x = a u = u(a); x = b u = u(b)
B3: + Biểu thị f(x)dx theo u và du Giả sử f(x)dx = g(u)du
+ Tính
( )
( ) ( ) ( )
u b
u b
u a
u a
g u du G u
B4: kết luận: ( )
b
a
f x dx
( )
( ) ( ) ( )
u b
u b
u a
u a
g u du G u
6 Các dạng tích phân dùng pp đổi biến thường gặp:
Đối với việc tính tích phân bằng pp đổi biến, ta cần phải suy nghỉ tìm cách đổi biến phù hợp sao cho sau khi thực hiện đổi biến ta phải đưa về được các dạng trong bảng nguyên hàm của hàm số hợp Sau đây là các dạng thường gặp
f p sin x q .cos xdx
hoặc đặt t p sin x q p q ,
Trang 7 hoặc đặt t n p sin x q nếu như biểu thức p sin x q nằm trong n
f p cos x q .sin xdx
hoặc t n p cos x q nếu như biểu thức pcosx q nằm trong n
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
0
(1 sin ) cosx xdx
(đặt t 1 sinx)
2) 2
0
2sinx 1cosxdx
3) 2
0
cos
2sin 1
xdx
x
(đặt t2sinx1)
4) 2
3
0
cos
3sin 1
x
dx x
(đặt t33sinx ) 1
0
(1 cos ) sinx xdx
(đặt t 1 cosx)
6)
2
2 0
sin
2cos 2
x
dx x
( đặt t = 2cosx +2)
7) 2 sin 1 0
cos
x
( đặt t = sinx +1)
0
(1 sin x) cosxdx
0
(1 cos )sinx xdx
10)2
0
3cosx 1sinxdx
0
sin
1 3
x dx cosx
12)
4
2 cos
dx x x
Lưu ý: Ngoài các dạng trên, ta cũng còn có thể gặp một số dạng khác mà đặc điểm chung là:
+ cosxdx (sin ) 'x dx 1( sina x b dx) '
a
khi đó, ta luôn đặt usinx hoặc u a sinx b
+ sinxdx (cos ) 'x dx 1( cosa x b dx) '
a
khi đó, ta luôn đặt ucosx hoặc u a cosx b
f p x q ln . x dx
hoặc t n p x q ln nếu như biểu thức p x q ln nằm trong dấu n
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1
1
ln
e
x dx
x
, đặt t = lnx
1
1 ln
dx x
, đặt t 1 lnx
2
x
, đặt t 1 3ln x
4) 2 sin(ln )
e
e
dx x x
1
1
e x
e dx x
Trang 81
ln
ln 1
e
xdx
x x
7)
3 2
1
x
8)
2
1 ln ln
e
e
x dx
9) 2
2
1 (1 ln )
e
e
dx
10)
2
2
1 (1 3ln )
f p tan x q . cos x dx
hoặc t n p tan x q nếu như biểu thức p tan x q nằm trong dấu n
Lưu ý: để ý rằng 12 (tan ) ' 1( tan ) '
cos x dx x dxa a x b dx
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau:
1) 4
2
0
tan
cos
x
dx
x
3
4
tan cos
dx
0
tan xdx
3 2 0
1 tan
1 sin
x dx x
Trang 9e) Dạng 5: 12
f pcotx q . sin x dx
hoặc t n pcotx q nếu như biểu thức pcotx q nằm trong n
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1
2
2
4
cot
sin
x
dx
x
3
2 4
cot sin
dx
4 3
6
cot xdx
2 2 4
1 cot
1 cos
x dx x
f pex q e dx . x
hoặc t n pex q nếu như biểu thức pex qnằm trong n
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1)
1
x
x
e dx
e
2)
ln 2
2
x
x
e
dx
e
3)
ln 5
0
2e x1.e dx x
4)
ln 2 0
sin(e x 1).e dx x
5)
1 x 0
1 dx
e 1
6)
ln 5
dx
e e
f pxm q x dx . m
hoặc đặt t px m q p q ,
hoặc đặt t n pxm q nếu như biểu thức pxm qnằm trong n
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1)
1
2
0
1
2)
2
2 2
0
sin (2 )
4
3)
1
3 2
0
1
4)
1 2
3
0 1
x dx
x
5)
1
3 2 0
1
1 2 0
x
7)
1
0 2 1
x dx
x
8)
2
11 1
x dx x
9)
0 1
x
10)
3
0
1
x x dx
11)
7 3 3 0
1
x
12)
x dx
x
h) Dạng 8: f p ( sin2x q ).sin 2 xdx
; f pc ( os2x q ).sin 2 xdx
Trang 10 Đặt t p sin2x q hoặc t p cos2x q
Đặt t n p sin2x q hoặc t n p cos2x q nếu các biểu thức tương ứng nằm trong dấu n
Để ý rằng: sin 2 ( sin2 ) ' ( cos2 )' 1 ( cos 2 )'
2
p
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau:
1
2
2 3
0
(1 sin x) sin 2xdx
2
2
2
0
1 sin 2 sin 4x xdx
3
2
2 3 0
(1 cos ) sin 2 x xdx
4 2
0
sin 2
1 cos 2
x dx x
cos 0
sin 2
x
0
1 sin sin 2
x xdx
7
2
2 0
sin
1 sin
2
x dx x
1 sin 0
sin 2
x
Lưu ý: Trong tất cả các trường hợp đặt trong dấu n ta nên nâng luỹ thừa bậc n lên rồi sau đĩ tìm vi phân vế theo vế để đưa ra cách biểu diễn biểu thức dưới dấu tích phân theo biến mới phù hợp
c./- Phương pháp tích phân từng phần
PP: Ta sử dụng cơng thức tích phân từng phần:
b a
udv uv vdu
Đặt
'( ) ,(
( )
Lấy vi phân theo vế) Tìm một nguyên hàm)
du u x dx
u u x
Rồi thay vào cơng thức (1) Tính tích phân tiếp theo
Lưu ý: Đối với tích phân từng phần thường cĩ các dạng và pp giải như sau:
( ). t x( ) , ( ).sin( ( )) , ( ) ( ( )).
phần còn lại
dv
p x ( ).ln() dx Ta đặt ln()
phần còn lại
u dv
ax.sin , ax .
phần còn lại
dv
hoặc ngược lại Trong đĩ, p(x) là hàm đa thức
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau
1
1
ln
e
x xdx
1
ln
e
x xdx
3
3
3
1
ln
e
x dx x
4
1
2 0
ln( 1)
x x dx
5
1
1 ( ) ln
e
x
6
2 2 1
ln( x x dx )
7
2
0 ( x sin ) cos x xdx
8 2
0
(x 1) cosxdx
0
x(2 cos x 1)dx
1 0
2
) 2 ( x e xdx
11
3
2
4
tan
x xdx
1
0
3
.e dx
13 2
0
(1 cos )x xdx
14
2
0
2 sin
xdx x
0
x cos xdx
Trang 1116 2
1
ln
( 1)
e
e
x dx
x
17
0
xsin x cos xdx
18
2 0
cos (
xdx x
x
19
2
0
2 cos
dx x x
20 2
0
cos
x
0
(3 sin )x x dx
6/- ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
6.1/- Tính diện tích hình phẳng:
a) Diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hoành Ox và các đường thẳng x = a, x = b là:
( )
b
a
S f x dx
b) Diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x =b là:
S f x g x dx f x g x
Lưu ý:
+Ta nên tìm hoành độ giao điểm của hai đường, bằng cách giải phương trình f(x) - g(x) = 0 giả sử: phương trình có hai nghiệm là , trên đoạn [a; b] và a b , (, là hai hoành độ giao điểm của hai đường) Khi đó, diện tích hình phẳng
được tính như sau:
+ Hoặc ta có thể dùng đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối và giải
+ Trường hợp pt hoành độ giao điểm vô nghiệm trên [a; b] thì ( ) ( ) ( ) ( )
S f x g x dx f x g x
6.2/- Thể tích của vật thể tròn xoay:
Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng D giới hạn bởi các đường y =f(x), trục hoành, các đường thẳng x = a,x= b, khi cho D quay quanh trục Ox là:
2( )
b
a
V f x dx
BÀI TẬP:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1 Đồ thị hàm số y x 1
x
, trục hoành, các đường thẳng x = -2, x = 1
2 y = ex + 1, y = 0, x = 0, x = 1
3 y = x3 - 4x, y = 0
4 y = sinx, y = 0, trục tung và đường thẳng x = 2
1
x
x
6 ycos ,x y0,x0,x
7 yx3 4 ,x y0
8 y x 3 2,y 0
x
9 yx22 ,x y x 2
10 y2x2 2 ,x yx23x 6,x0;x4
2
x
12 yx4 2x2, y = 0
13 Đồ thị hàm số y = x3 - 3x2, trục tung và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(1; -2)
Bài 2: Tính thể tích các khối tròn xoay sinh bởi các hình phẳng D sau đây khi cho D quay quanh trục Ox
1 y = x2 + x - 5 ; x + y - 3 = 0
2 y (x 2) 2, y = 4
3 y 4 x y x2; 2 2
4 y 1 ,y 0,x 1,x 4
x
x
, 0, 0,
7
2
21 ;
x
x
8 12 2
x
yx e ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
9 y = x ln(1x3) ; y = 0 ; x = 1
TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Trang 121 Năm 92-93:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
yx x x, y = 0, x = 1, x = 2
2 Năm 93-94:
a 2 5
0
sin xdx
1
(1 ) ln
e
3 Năm 94-95:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
2
1
y
x
, trục hoành
4 Năm 95-96:
a 5 2
2
ln( 1)
x x dx
2 2 3
x dx x
5 Năm 96-97 L1:
a 3
1
4 lnx xdx
0
2
x x dx
c Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: yx33x1,
trục hoành, trục tung và x = -1
6 Năm 96-97 L2:
a 3 2
0
sin xtanxdx
b Diện tích hình phẳng: 1 4 2 9
2
y x x
7 Năm 97-98 L1
a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C)
yx x x và tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó
với trục tung
b cos
0
(e x x)sinxdx
8 Năm 97-98 L2:
a Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi: (C) 4
2
y x
, y = 0,
x = -2, x = 1
b Thể tích của khối tròn xoay khi (H) quay quanh Ox
c
2
2
1
1
2
x
dx
x
9 Năm 98-99: 2 2 3
0
sin xcos xdx
10 Năm 1999-2000:
a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 1 1 1
x
, y = 0,
x = 2, x = 4
11 Năm 2000-2001:
a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): 1 3 3
4
y x x,
và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 2 3
b 2
0
(sin 6 sin 2x x 6)dx
12 Năm 2002-2003
1) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
3 2 2
( )
f x
1 3
2) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2
2 10 12
2
y
x
và đường thẳng y 0.
13 Năm 2003-2004: Tính thể tích của vật thể tròn xoay do
hình phẳng giới hạn bởi (C): 1 3 2
3
y x x ( ) C và các
đường y 0, x 0, x 3 quay quanh trục Ox
14 Năm 2004 - 2005:
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành
và đồ thị (C): 2 1
1
x y x
0
(x sin x) cosxdx
15 Năm 2005-2006:
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm
số y e x , y 2 và đường thẳng x 1.
2) Tính tích phân 2
2 0
sin 2
4 cos
x
x
16 Năm 2006-2007: 2
1
ln
x
17 Năm 2007-2008: 1
0
(1e xdx x)
CÁC ĐỀ PHÂN BAN 18.Năm 2005-2006
a Diện tích hình phẳng: (C): yx33x2, y = 0
b
ln 5
ln 2
( 1) 1
x
e
b 1
0
(2x1)e dx x
19 Năm 2006-2007 L1:
a
2 2 1
2 1
xdx x
12 lnx xdx
20 Năm 2006-2007 L2:
a Hình phẳng (H): y = sinx, y =0, x = 0, x = /2 Tính thể tích khối tròn xoay khi (H) quay quanh Ox
b Tính diện tích (H): y = -x2 + 6x, y = 0
21 Năm 2007-2008 L1:
a 1 2 3 4 1
(1 )
0
(2x 1) cosxdx
22 Năm 2007-2008 L2:
a 1
0
(4x1)e dx x
1
(6x 4x1)dx
23 Năm 2008-2009:
0
(1 cos )
