LÝ THUYẾT MŨ...

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 1... Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất thường là sử dụng công cụ đạo hàm * T

20

Chuyên đề 5:

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT

TÓM TẮT GIÁO KHOA

I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ

1 Các định nghĩa:

n

n thua so

a = 123 a.a a (n Z ,n 1,a R) ∈ + ≥ ∈

1

a = a ∀ a

0

a = 1 ∀ ≠ a 0

n n

1 a

a

− = (n Z , n 1,a R / 0 ) ∈ + ≥ ∈ { }

m

n m n

a = a ( a 0;m,n N > ∈ )

m n

n

a

a a

−

2 Các tính chất :

a a = a +

m

m n n

a

−

=

(a ) = (a ) = a

(a.b) = a b

n n n

( )

b = b

3 Hàm số mũ: Dạng : y a = x ( a > 0 , a≠1 )

Tập xác định : D R =

Tập giá trị : T R = + ( a x > 0 ∀ ∈ x R ) Tính đơn điệu:

* a > 1 : y a = x đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y a = x nghịch biến trên R Đồ thị hàm số mũ :

Minh họa:

y

x

1

y

x

1

f(x)=2^x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

y

y=2

x

y=

x











 2 1

x

1

O O

21

I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT

1 Định nghĩa: Với a > 0 , a ≠1 và N > 0

a

log N M = ⇔ a = N

Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa khi









>

≠

>

0 1 0

N a

a

2 Các tính chất :

a

log 1 0 =

a

log a 1 =

M a

log a = M

log N a

log (N N ) log N = + log N

1

2

N log ( ) log N log N

log N α = α log N Đặc biệt :

2

log N = 2.log N

3 Công thức đổi cơ số :

• log N log b.log N a = a b

b

a

log N log N

log b

=

* Hệ quả:

b

1 log b

log a

= và log N a k 1 log N a

k

=

* Công thức đặc biệt: b a

c

c b

a log = log

4 Hàm số logarít: Dạng y log x = a ( a > 0 , a ≠ 1 )

Tập xác định : D R = + Tập giá trị T R =

Tính đơn điệu:

* a > 1 : y log x = a đồng biến trên R +

* 0 < a < 1 : y log x = a nghịch biến trên R +

• Đồ thị của hàm số lôgarít:

Minh họa:

5 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1 Định lý 1: Với 0 < a ≠1 thì : aM = aN ⇔

M = N

2 Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : aM < aN ⇔ M

> N (nghịch biến)

0<a<

y=log x

y

O

f(x)=ln(x)/ln (1/2)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

y

y=log x

x y

x

y

f(x)=ln(x)/ln(2)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

y

x y

2 1

log

=

1

O

y=log x

1

y

x O

21

3 Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN ⇔ M

< N (đồng biến )

4 Định lý 4: Với 0 < a ≠1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga

N ⇔ M = N

5 Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : loga M < loga N ⇔ M

>N (nghịch biến)

6 Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N ⇔ M

< N (đồng biến)

III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M = a N

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

16 + − = 0,125.8 − +

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 32x 8 + − 4.3x 5 + + 27 0 =

2) 6.9x− 13.6x+ 6.4x = 0

3) ( 2 − 3 )x+ ( 2 + 3 )x = 4

4) 2x2−x − 22+x−x2 = 3

5) 3 8x + 4 12x − 18x − 2 27x = 0

6) 2 22x − 9 14x + 7 72x = 0

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932

http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 -

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0

Ví dụ : Giải phương trình sau :

1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x

2) 2x2+x − 4 2x2−x − 22x + 4 = 0

3) 12 3x + 3 15x − 5x+1 = 20 (

4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng

minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ

đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong

khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x)

có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 3x + 4x = 5x 2) 2x = 1+

x 2

3 3) ( ) 1 x 2x 1

IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log Na = a

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) log (xx + = 6) 3 2)log (4 x 4) x log (2 x 1 3)

2

+

2

1

2 2

1 2

)

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) log2 3x 3log x2 4

3

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0

Ví dụ : Giải phương trình sau :

log x 2.log x 2 log x.log x2 + 7 = + 2 7

4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh

nghiệm duy nhất

(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong

khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x)

có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

2

log (x − − + = x 6) x log (x 2) 4 + +

V CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N (≤ > ≥ , , )

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1) 3 x 2x 2 ( ) 1 x x 1

3

− −

− ≥

2) 2 x 1

x 2x

2

−

− ≥

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932

http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 -

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1)22x− 3.(2 ) 32 0x 2 + + < 4) 8 + 21+x − 4x + 21+x > 5

2)2x+ 23 x − ≤ 9 5) 15 2x+1+ 1 ≥ 2x − 1 + 2x+1

3)

( ) 3.( ) 12

+

+ > 6) 2 14x+ 3 49x − 4x ≥ 0

VI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ

DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log Na < a

(≤ > ≥ , , )

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1)log (5xx 2− 8x 3) 2 + > 2) 2 3 − <

3

log log x 3 1

3)log3x x − 2(3 x) 1 − > 4)log (log (3x 9 x− 9)) 1 ≤

5) log5( 4x + 144 ) − 4 log52 < 1 + log5( 2x−2 + 1 )

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

2)log 64 log 16 32x + x 2 ≥

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932

http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 -