Tích phân các hàm phân thức hitu ti — Tran Phirong $6.. TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I.. Phân thức hữu tỉ: với Px,Oy là các đa thức với các hệ sỐ thực 2.. Phân thức thực sự: là p
Trang 1§6 Tích phân các hàm phân thức hitu ti — Tran Phirong
$6 TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
I CÁC ĐỊNH NGHĨA
P(x) O(x)
1 Phân thức hữu tỉ: với P(x),O(y) là các đa thức với các hệ sỐ thực
2 Phân thức thực sự: là phần thức hữu tỉ P(x)
Q(x)
3 Phan thirc don gian: La cac phan thirc cé | trong 4 dang sau:
vGi degP(x) < degQ(x)
; A=pÌ”-4q<0;keN
x-đ# (yx-a)" | x2 + pxtgq tê Pp q< E )
4 Định lý tong quát về phân tích đa thức:
Mọi đa thức Ó(x)#0 với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích
thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị
thức bậc nhất hoặc các tam thức bậc hai với biệt thức 4<0, tức là ta có:
O(x) = A(x-a,)" (x- a)" (x + px tq, )’ w(x? + DX +m )"
trong đó: A #0; a), ., a, la cac nghiém thực phân biệt của O(x); va p, q; la
cac sé thyc thoa man A = p? —4q, <0; đeg Q=r, + +r„ + 2(S, + +,
II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
1 Đặt vẫn đề:
P (x)
O(x)
Nếu đegP”) > degO(@) thì thực hiện phép chia đa thức ta có:
Xét J" = | dx vdi P(x), O(x) la cac da thire vai hé số thực
P`(x) 20 =G(x) + 20) ys deg <degQ = P(x) P` ay! = (G(x) dr + [ˆ oa)" PG)
Virco thé đễ dàng tính được Jơ()& nên việc tinh J* = | : dx duoc
P(x)
đưa về tính J = | <dx vi deg P(x) < deg O(x)
Trang 2
Chuong I: Cac kithudt tinh tích phân — Ti rần Phương
2 Phương pháp chung tính 7= SỐ ra voi degP(x) < degQ(x):
x
Dinh Ip: Néu Q(x) = A(x-a,)" (x-a Y* (x? +px+4,)" (x? + PyX+ Om)”
thì mọi phân thức hữu tỉ thực sự SỐ ) đều biểu diễn được dưới dạng:
x
P(x) _ Ay pee + ,+ Aa ph ee Se
Q(x) | x-@ (x-a,)' x~ú, (x- a, ) (x-a,)*
B,,x + C,, Đ,,x+(CŒ,, By xt,
By Xt Chm By, Xt Com Beam HOS im —
vot D„ụ* + đụ, (x? + PmX + dn) (x? + Pin* + In)
Dé ban đọc dễ hiểu, ta xét 4 trường hợp đặc biệt với các biểu diễn tương ứng:
2.1 Nếu Q(x)=(x~ á,) (x— &_,)(x— 4 )(x~4„„) (x— a„) thì giả sử
P(x) 4, eee ee 4; + ! + i+] + -+———p,gVx
Q(x) x-a, X-đ_, N-a X-đại x¬dq,
2.2 Nếu Q(x) = (x ~a,) (x= a; )(x-aŸ (x-a,,,) (x-a,) thị giả sử
QGŒ) x-a, x-úứ_, | X— 4; (x-4,) (x—4,)
+ /+ỉ eee n ,Wx X~Q | x—a,
2.3 O(x) =(x-a,) (x —Œ,_ )Œ? + px+q)(x- a,,,) .(x—ø,);(p? —4q <0)
Pa) A peep it, Bete Avs peg yy
Ox) x-4, XQ) Xx + pxtq X~ Ay, x—ữ,
2.4 Q(x) =(x—a,) (x-4_,)(° + px+q) (x-a„,) (x—a,);(p? -4q<0)
PO) Ay 4a ¿| Bx+Ó( 1 Bitte |,
OG) x~ 4a, x-a,, |JA + pryt+g (x? + px+q)
i+] 4,
+ —+':':+ , VX
Sử dụng phương pháp hệ số bất định, hoặc phương pháp gán các giá trị đặc
biệt, ta sẽ xác định được các giá trị A¡, Bị, C,
Trang 3
Q0 1I1CH phan cac ham phan thitc hitu ft — Trân Phương
itl CAC DANG TICH PHAN THUONG GAP
1 Dang 1: Q(x) =(x-a,) (x—a;_,)(x-a;)(x~4;,,) (x-a,)
1.1 Cac bai tap mau minh haga:
1,= [25 -5x- 3k
; xi +x? -2x
Cách 1: Phương pháp hệ số bất định: Q(x) =x° +x? —2x =x(x — 1)(x +2)
P(x) 2x -§x-3 AB C
O(x) xox? -2x x x-Ì x+2
<> 2x? -5x-3=Ăx—-1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x-1), Vx (*)
& 2x? -5x-3=(A+B+C)x? +(A+2B—-C)x—-2A, Vx
© 4A+2B-C=-5 ©42B-C=-13/2©4B=-2
Cách 2: Phương pháp gán các giá trị đặc biệt
Thay x= 0 vào (*) suy ra: 2A =3 > A = 3/2
Thay x = | vao (*) suy ra: 3B = -6 > B= —2
Thay x = —2 vao (*) suy ra: 6C = 15 > C=5/2
5
a adeeae
3 +
+1, = [aA ae 5 Ox) 2x4 5x? 4 =(e- D(x + DOe-2) (x42)
x’ -5x7 +4
1a su ye =— + — + + ,VX <S®
O(x) xí-šx +4 x-1 x-2 x+l x+2
xÌ +2=Ẳ ~4)(x+I)+B(x? ~I)(x+2)+C? -4)(x—D+DÍx? —1)(x—2), Vx @®)
Thay x = 1 vao (*) thi -6A =3 a A=-1/2
Thay x = 2 vao (*) thi 12B = 10 @ B = 5/6
Thay x = —-I vao (*) thi 6C=1@C= 1/6
Thay x = —2 vao (*) thi -12D=-6 @ D= 1/2
75
Trang 4Chwong I: Cac ki thudt tinh tích phân — Trần Phương
x +2
oh ung 23Jx~— +2 fe 2 6 x +1 xt poe
7 -8x+
01, = [SE te; Ole) ax +? =4x—4=Œx+ÐG~2)(+2)
xX +x” -4x-4
Ast P(x) 2x? -8x +10 A B lôi
oG)_ˆ x +x —-4x-4 x+i x-2 x+2
o> 2x? ~8x +10 =A (x? —4) + B(x 4 D(x 42) 4+ C(x 4+ D(x -2), Vx (*)
Thay x =—-1 vao (*) thi 20 =-3A => A = -20/3
Thay x = 2 vao (*) thh 2=12B>B= 1/6
Thay x = —2 vao (*) thi 34 =4C > C=17/2
IN + 6x Q(x) x” —5x* + 6x Q(x)
O(x) =x? —5x° + 6x=x(x-2)(x-3)
, Px) 5x -6øx+! A4 8B C
Olx) x -5x +ốy x x-2 x-3
<> 5x? -6x +1 = A(x —2)(x —-3)4+ Bx (x —3) + Cx (x —2), Vx (*)
Thay x = 0 vao (*) thi] =6A > A= 1/6
Thay x = 2 vao (*) thi 9 = -2B <= B = -9/2
Thay x = 3 vào (*) thi 28 = 3C <= C = 28/3
x +1 l pdx 9f¢ dx 28 ¢ dx
l¿ = |————————dx = |dx+— |—-— —
=x+—lnlx|~Š In|x=2|+ 8 in|x —3] 4c
1.2 Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
- fe = 5x7 3N= dx = fs (x' ~9x? + 3x — 4)dx
x`~x -4x+4 —10x) +35x? -50x +24
Trang 5
2 Dang 2: Q(x) =(x~a,) (x—a,,)(x —a,) (x -a,,,) (x—a, )
2.1 Cac bai tap mẫu minh họa: |
wy - (= + 3x +3
: x -3x+2 dx
O(x) =x? -3x4+2=(x-D(x? +x-2)=(x- 1) (x42)
„ „ P(x) 3x’ +3x+3 A B C
O(x) x —3x+2 (xp x-l x+2
© 3x? +3x+3= A(x +2)4+Blx-1)(x4+2)+C(x-1) , vx (*)
Thay x = 1 vao (*) hh 3A=9>A=3
Thay x = —2 vao (*) thi9C=9>C=1
Thay x = 0 vao (*) thh3 = 2A -2B+C>B=2
j= A ax =3/ dx +2 dx + (&
(x -1) x-]l “¥x+2
_ > + 2Injx—1]+In|x + 2)+c
x — |
:
X —=3x+2
y= [toate (4x+4) dx
-] (x? - 4x + 3)
O(x) = (2? - 4x4 3 =(œzx-œ-3}
9Œ) (y1 _4x+ 3 Ÿ x1! Œ6-Đ x-3 Œ&-3Ÿ
Gia sử
c©4x+4= (A +C)x? +(-7A4+B-5C+D)x? +
| +(15A -6B+7C—2D)x+(-9A +9B-3C+D), Vx (*)
-IA+B-5C+D=0 B=2
ISA -6B+7C-2D=4 =3
77
Trang 6Clurơng Ì: Các kĩ thuật tính tích phân — Trần Phương
1x -4x+3) ñLXT| (x-D° X3 (x-3)
=[3hlx-Il- —3In|x -3]- =—+3ln—
dx
(x+7)(x+2) (x+3)
(x4 Dv 42) ee 3 Xt] (e429 6+2) (443) (x 43) x43
> 1=A(x 42) (x +3) + B(x 4 D(x 43) 4C(x 4 1)(x 4 2)(x +3) +
D(x +1) (x42) +E (x4 D(x +2) (x +3)4 F(x + D(x + 2) (x 437 (9)
Lan lot thay x = —1, x = -2, x = —3 vao (*) suy ra: A= 3° B=-1;D= >
, a A , ˆ A , , ® , ~ ` 4 4 3 ,
Sau đó đông nhât các hệ sô ứng với các lũy thừa x',x, x' ta có:
`
=), =f a c=cIn|x+l|+ +2ln|x+2|+-_- > +
(x+1 (x42) (x43) 8 x+2 4 (x43)
5 17 9x2 +50x+68 1 (x+1)(x+2)”
+ = ——lnlx+3Ì|+e=-———————>+In————z —+e
4(x+3) 8 4(x+2)(x+3⁄ 8 (x+3)
2.2 Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
I= ƒP + 12x DEN _ cs 5x” + 8x TH _ =
|
l,= fe váy, = {SS , _ ƒP +3x tx + 6dr
2
Trang 7
Gia su
3 Dạng 3: O(x) =(x —a)) (¢ —aj_) (0° +px +q) .(x —a,); (p? — 4q < 0)
3.1 Các bài tập mẫu minh họa: |
_ lx? + Dade
¬ —-
x †+x +†Ĩ
O(x)=x'“+x +1=(x? +1) ~x? = (x? +x4+1)(x? —x+1)
O(x) xí+x 2+1 x +x+l x -x+],
x? +]
ox +1=(Ax +B)(x? ~x+1)+(Cx+D)(x? +x+1), Vx
© x? +1=(A+C)x? +(-A+B+C+D)x’? +(A-B+C+D)x+B+D,Vx
A+C=0 -A+B+C+D=1
A-B+C+D=0 B+D=I
= L= jb +1) dx _
x '+¢x74] 2
>
X +x+l X —X+Ì]
ÍA+C=0
lc+p=i |Ê CĐ
B+D=1
cà]
1 d(x +4}
“ O(x)=x’ +J=(xŸ +1) — 2x? =(x? -x\2 +)? +x\2 +7)
Cx+D'
x'—xj2+1
O(x) x4] x? 4x24]
Gia su
79
Trang 8Chương I: Các kĩ thuật tính tích phân — Trần Phương
c>x?-] = (Ax +B)(x? -xX⁄2+1)+(Cx+D)(x? +xX2 +1), Vx
o> x?-1=(A+C)x? +(-AV2+B+Cv2 +D)x? +
(A—BV2 +C+DV2)x+(B4+D), vx
A=BV2+C+Dx2 =0 C= 2/2
| 2 f~ {1 _ ]
=> L, = | ba =22[ ƒ = v2 ix [22 os
5x +1 4 gx -xv2 +1 ox? +xV2 41
5
SH X ? — x2 + 1Í
X x? +xv2 +i],
dx
ef =
, rere)
Ta co: O(x) = x(x? + 1=x(x4 D(x? —x+])
Giả sử P(x) 1 _A, 8 Cx+D We
O(x) “368 +7) x x+l x -x+Ï
<> l= A(x? +1) + Bx(x? —x +1)4+(Cx4+D)x(x 41), Vx (*)
Thay x = 0 vao (*) thi A = 1
Nguyen Quoc Tuan
Thay x = —1 vao (*) thi] =-3B > B=-1/3
Đông nhất hệ số của xỶ và x” ở hai về ta có: Tuyền tập phương pháp giải “`
A+B+C=0 C=-A-B=-2/3
c©
—-B+C+D=0
2
2x -—]
b= [Sy (xi mm |e SSeS TU
D=B-C=1/3
=[hh|~xInb £lÍ= 2 In -x+ll)
3
2, 4
= —In—
, 3 3
Trang 9
NÓ ICH PUGH CAC HN pra mite Ait E — Tran PHƠI
, Bui +: +x7+x42 x
5 exwty ex? +x-/]
~
Olxndex ox tx ex +x=1I=y- 07 +x +7) ¬ 1)
O(x\) x°-xf+xÏ—-Xx + T-l All X-A+I X +x+]
©3x'+x)+x+2=A(x†+x +1Ì+(Bx+C)(x=ID(x?+x+1)+
+(Dx + EMx-DO? =x 4D vx (4)
Thay x = 1 vao (*) thi6=3A > A=2
Đồng nhất các hệ số 2 về của (*) ta có:
JA-C-2642D=1le C+2E~2D=14C=-I
(
-B=D+2E =1 -B-D+2E=! |D=
Px aN EN EN? +x=I X—Ì XN —=X+Ìl X 34Nả4Ì/
¬ Ui Ồ wt (2x—-Ddx ———— TỰ dx -Í dx
' 27x -Xx+ÌI 27x -X+Tl -
2In2 ` —=x+l) Ì | dx { _ ds
=o of Wy) cr oo ce ee neni — — Soares een ere ete et en ct cee nee ean re
2 " x —— x +] 2 (x) 2 1w ` *(x42) 2 v3 \
2, \ 3.7 2/7 A27
i an “ ˆXxt A Hl
= 2In 24 „ IBÍN ¬¬.- Fe arety Tin arctg “|
⁄ ⁄ `
ial? 1Í S m \ 2 | 7 S|
= 3 Wow hn 2 —=] aret oF — —]+ = =| arcly FF — arctg _ Ị
| Ị i ` 5 7 T_— 5 Tl
:—H nhờn g -arete =o 3 SACL —>> + ee
ẻ a V3 3 3 3 3
3.2 Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
| ~ | ợ oe noe mơ Ề L., TT mg ; L, = “oe dy ‘ Lay ẽ oO 5
Or AAT EG ane 1° x td ‘ “xX” Ị 2x7 45x
Ki
Trang 10Chuong f: Cac kithudt tinh tich phan — Trân Phương
4 Dạng 4: Q(x) =(x —d;) (x —a,_)@2 +pX +q)“ (x — đ„j); (p? — 4q < 0)
4.1 Phương pháp:
2<meN Xét đại diện nguyên hàm bộ phận: 7„ = _x+ C)dx với
(x?+ px+a}” p -4q<0
-[i0:9 2), ca a(x’ + px +q) r(c-2) dx
: (x? + px+q)` 27 x’ +px+q 2 (x? +px+q)"
20- m)(x? + px +q) “ (x? + px +q)
a{x+2)
Dat J 5 m = | 2 m = I ° m
(x + px +q) («+?) _4q p (t +a’)
da-p với text hyqaV i Ta sẽ tính J„ = [— => theo 2 cách
Cách I: Phương pháp lượng giác: fe
2 Dat t=atga>adt= aden =>J,= adG//cos mm =T |(eosơ yr
Đến đây chúng ta có thể tính tiếp theo kĩ thuật tích phân hàm lượng giác
Cách 2: Phương pháp tích phân từng phần
tt +a dro ft L[ Cát _
lạ = lor “Ta lạ vay +a’) "an ile tựa),
2
2 2\m
Đặt =¡ — du = di;
vive faa fee +a) "d(P4a2)=-——
(7 +a _2(m-l) (?+a 2)
82
Trang 11
§6 Tích phân cdc ham phan thitc hitu ti — Tran Phương
=> J=- L t + J
2(m —1) (t? +a? yr 2(m-1) (¿ "
Thay (2) vao (1) suy ra:
Jin =-rin a , 1 + Jin-t
a a?| 2(m-l) (2 ta)” 2(m-1)
> mài T1} _ “4 ml
2a’ (m=— Dữ + a’) a 2m~2
Đây là hệ thức truy hồi để có thể tính được lạ
4.2 Các bài tập mẫu minh họa:
: 2x? +18
i ( x -6x+13)
- 94-7 )
Gia sir L&D) _ 2x 418 Bx+C D+ EE W
O(x) (x? ~6x413) (x? ~6x413) x’ -6x+13
> 2x? +18 = (Bx +C)4+ (Dx + E)(x? - 6x +13), Vx (*)
<> 2x? +18 = Dx° +(-6D + E)x? +(B+13D—-6E)x +(C+13E), vx
be (2x? +18)d (12x—8)dx +f 2dx
2 (x — ~ 026x413) ; x -6x +13
x? —6x +13) i [(x -3) +4] 1 Ax
5
Trang 12
Chương I: Cac hi thudt tinh tích phân — Trần Phương
( 7 I + ~ ~ ™ —_— pany 3
Xét f= [—— > Dat r= 2tga > dt=— 3? +4=4(tg’a+1)=—
Tt
te Dmas -ite le as-
4
3 | bến 2d ' nid
=> M= |= = [ wenn =—- | (I+ cos 2œ) dœ
( 2, } x 2 16 l6
2 +4 “24 COST Qt 4
cos a
~| 4 Lộ fmm ba pm HH | SH
lái 2 L., 1664 3 4 3) “32 "16
N 3
¬ :
sỊ -Í 2x7 + 2x + 13
: r(x -2)(¥ 7 tử
rf.) 7v + + 7s Z 7 + [i
@(x) (v_ Ae aay v¥-2 (47) val’
> 2x7 42N415= A(X? +IƑ +(Bx+€)(x~2)+(Dx+E)(x—2)(x?+l).Vx
o> 2x7 42x 413 =(A4+D) x) 4+(-2D4 E) x9 +@QA4 Bt D-2E) x’
+(-2B+C-2D+E)x+(A—2C-2E) , vx
Trang 13
S6 Tích phân các hàm phân thức hữu tỉ — Tran Phuong
(x —2)(x? +1) ;X~2 ly (x? wD | x? +]
x41) x? +1) xo th gx +]
=[Injx—2)-— aoa ty “mm +1) + 2aretex)
= i In + + Jl 2arctg4 + 2arctg3 — 4 is
4
xét M = [—““—_ Đặt x=tgư => đx =d((g)= da
3
4 arctg4 arctp 4
dx da/cos? a da/cos? a
=> M = [oc as = ———-= J ————————
(x? 41) 2a +1) LÝ
cos” œ
= cos’ ada =— | (1+ cos2œ)dœ =—| œ + —sin 2œ
“is tg (arctg4) sh s[ aces tg (arctg3) |
1+ tg? (arctg4) 1+ tg? (arctg3)
(
= | aneg4= arctg3 + a =|
=> L,= Li 2o + Zl 2arctg4 + 2arctg3 — 4 —
4
=1Im 49 ¿2Ì — 2arctg4 + 2arctg3— 2| arctg4 — arctg3 +~— —
1, 40 65
— In — + —— — 4(arcte4 — arctg3
Trang 14Chương I: Các kĩ thuật tính tích phân — Trần Phương
1 4 +4x” 3 +7x? 2 +ốx +
0 (x? +2x+2)
P(x) | x6 +4x7° 48x? +4x43 4x+i
6 (x? 42x +2) Oo} (x? 42x +2)
2
“| ph | ie + i) wr + 1)
0
0 L(x +1)" +IỶ
-1-2 ol “Df dt = 14 2 +3{— 3f-—
(eat) 7? 41) t +ÌỊ ie rm 5 rút oy
Xét M= | dt ~ Dat t=tga >dt=d(tga)= da
2 arctg
arctg2
dœ/cos”œ f da,/ cos? a
: IG " - J (tg2a +1) wf C1)
cos? œ
arctg2
arcty 2 1 arctg2 , 1 1
= | cos’ ada =— | (1+cos2a)da = Mot sin 2a]
x/4 T/4
tơ (arctg2
": — _ -3|ƒ+zsn3]" 2| meg2— =nn]
2 l+tg?(arctg2)} 2\4 2 2/ 2V 4 10
l
=> L,= =+3M =23{ actg2-4-4) = 3 aetg2 = +2
n/4
4.3 Cac bai tap danh cho ban doc ty giai:
L, = {= 4s 5 L = —————z:L =f Ta
0 (x? —-x +1) 6 (x41)(x2 -3x +5) x(x +x? +1)