Đề cương on thi TN môn Toán

CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH: SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Xét tính đơn điệu của một hàm số: lập bảng biến thiên.. + Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của

Phần 1: GIẢI TÍCH CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM.

 Hàm số y  f x ( ) đồng biến trên (a;b) y 0;  x (a;b)

 Hàm số y  f x ( ) nghịch biến trên (a;b) y 0;  x (a;b)

Chú ý: dấu “=” xảy ra ở một số điểm hữu hạn.

* Chú ý:

 Khi yêu cầu “Tìm khoảng đơn điệu” tức là “Tìm khoảng đơn điệu trên tập xác định”

 Để xeùt tính đơn điệu của một hàm số: ta thực hiện như sau:

+ Tìm D

+ Tính y.

+ Tìm nghiệm củay ( nếu có).

+ Lập bảng biến thiên

+ Căn cứ vào bảng biến thiên ta kết luận các khoảng đơn điệu

 Hàm số nhất biến đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định, khi xét điều kiện đủ không xảy ra dấu “=”

 Số M được gọi là GTLN của hàm số y  f x ( )trên D  

 

: :

Q x

 Nếu bậc P x    bậc Q x  : đồ thị có tiệm cận ngang

 Nếu bậc P x  bậc   Q x  : đồ thị không có tiệm cận ngang

 Hàm số trùng phương: đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

 Hàm nhất biến: đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

II CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH:

SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của một hàm số: lập bảng biến thiên.

Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ: dùng định lý

Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đạt cực trị tại x0:

Phương pháp:

+ Tìm D

+ Tính y   y x   0

+ Lập luận: Hàm số đạt cực trị cực trị tại x0  y x   0  0  giải tìm m

+ Với từng giá trị m vừa tìm được ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện đề bài không

+ Kết luận giá trị m thỏa điều kiện

Dạng 3: Định giá trị của tham số m để hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu:

+ Kết luận giá trị m vừa tìm được

Dạng 4: Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu:

Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của một hàm số trên khoảng  a b ; : ta thực hiện như sau:

Lập bảng biến thiên trên (a;b)

 Nếu trên bảng biến thiên có 1 cực trị duy nhất là :

 Tìm các điểm xi sao cho y  0 (hoặc y không xác định)

 Tính : f a f x ( ); ( ); ( )i f b (với xi ( ; ) a b ) so sánh các giá trị bên  kết luận

Cách 2:

 Lập bảng biến thiên trên [a;b]  kết luận

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ:

Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị:

a) Bài toán 1: Tìm số giao điểm của hai đường   C1 :y  f x   và  C2: y g x   

+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của   C1 và  C2: f x    g x  

+ Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai đường

b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: ta

thực hiện như sau:

+ Biến đổi phương trình đã cho về phương trình hoành độ giao điểm (một vế là phương trình của hàm số đã có đồ thị (C), một vế là phần còn lại)

+ Lập luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và (d)

+ Dựa vào đồ thị, ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm của (C) và (d)  Kết luận

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y  f x  : Phương trình có dạng: y y  0  f x x x  ( )(0  0)

y  mx  mx  x  nghịch biến trên tập xác định Kết quả: 0  m  1

m 

Bài 4: Định m để hàm số y x  3  3 mx2  ( m2  1) x  2 đạt cực tiểu tại x  2

Kết quả : m  1

Bài 5: Định m để hàm số y x  3  3 x2  3 mx  3 m  4:

c Đạt cực tiểu tại x  1 Kết quả : m = 7

Bài 7: Biện luận theo tham số m số cực trị của hàm số y  f x    x4  2 mx2  2 m  1

Đáp số: m  0 : có một cực đại; m  0 : có hai cực đại và một cực tiểu

x y

Tiệm cậng ngang y  2 y  1 y  1 y  0 y  1 Không có

Bài 11: Cho hàm số y x  3  3 x  2 ( ) C

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M  o 2; 4  Kết quả: y  9 x  14

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

5 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung

6 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3  3 x  6 m  3 0  .

Bài 12: Cho hàm số y x  3  6 x2  9 x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị   C của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Định m để (C) cắt đường thẳng (d): mx y   1 0  tại ba điểm phân biệt

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3

2 Gọi A là giao điểm của (C) và trục tung Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp

Kết quả: m  3.

Bài 15: Cho (C) : y = f(x) = x4- 2x2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Dựa vào đồ thị (C), tìm k để  : y k  cắt (C) tại bốn điểm phân biệt

Kết quả:   1 k  0

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

a) Tại điểm cĩ hồnh độ bằng 2 Kết quả: y  4 2 x  8.

b) Tại điểm cĩ tung độ bằng 3 Kết quả: x0  3  tt.c) Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2009 Kết quả: y  24 x  40

4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hồnh

Bài 16 : Cho hàm số 1

1

x y x







1 Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

2 Chứng tỏ rằng đường thẳng d : y = 2x + k luơn luơn cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau

3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên   2;0 

Kết quả:

[ 2;0]

1 ( 2)

5 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh

6 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng

2 3 0

7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ

8 Tìm tất cả các điểm trên (C) cĩ tọa độ là các số nguyên

1 Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị (C) của hàm số với m  4

2 Gọi   dk là đường thẳng qua A  2;0  và cĩ hệ số gĩc k Biện luận theo k số giao điểm của(C) và   dk

3 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng x  0; x  2 Tính diện tích (H)

4 Tính thể tích khối trịn xoay sinh ra khi quay (H) quanh trục Ox

CHƯƠNG II: HÀM LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

a a a

+ Với a > 0 thì: logab  loga c  b c 

+ Với 0 < a <1 thì: logab  logac  b c 

log

a b

a

c c

b

 hay log loga b b c  logac

1 log

 hay log loga b b a  1;

* Chú ý: Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx

Lôgarit cơ số e kí hiệu là: lnx4) Bảng đạo hàm cần nhớ:

Đạo hàm của hàm số sơ cấp thường gặp Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x)

 sin x '  cos x  sin u '  u '.cos u

 cos x '  sin x  cos u '  u '.sin u



5) Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit:

HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT Dạng y x

+   Z : có nghĩa với x  0

+   Z : có nghĩa với x  0

có nghĩa  x có nghĩa vớix  0

Đạo hàm

Sự biến thiên   0   0 a  1 0  a  1 a  1 0  a  1

Hàm số đb trên

Hàm số nbtrên D

Hàm số đb trên D

Hàm số nb trên D

Đồ thị Luôn qua điểm  1;1  Nằm hoàn toàn phía

trên trục hoành và luôn qua hai điểm A (0;1)

và B a (1; )

Nằm hoàn toàn phía bên phảitrục tung và luôn qua hai điểm A (1;0) và B a ( ;1)

6) Phương trình mũ, phương trình logarit:

PHƯƠNG TRÌNH MŨ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

7) Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit: phương pháp tương tự như phương pháp

giải phương trình mũ và logarit nhưng ta cần xét a (khi sử dụng phương pháp mũ hóa hoặc lôgarit hóa) để xác định chiều của bất phương trình

Chú ý:

 Khi giải pt, bất phương trình mũ cơ bản ta phải xét b

 Khi giải pt, bất phương trình logarit ta cần đặt điều kiện xác định của phương trình

II CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG:

B a 

3 10

Dạng 1: Tính giá trị của một biểu thức có chứa logarit

Bài 4: Tính logarit của một số

log 25

3

3 16

log (2 2)

I 

2 0,5

2log 5

3 2

D    

 

2

1 log 10 2

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Bài 6: Rút gọn biểu thức

4 3

x y

Bài 9: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Dạng 3: Chứng minh một đẳng thức có chứa đạo hàm

Bài 10: Chứng minh hàm số sau thỏa hệ thức:

Bài 13: Giải các phương trình sau:

a) log2 x  log2 x  1   1 b) log 32  x   log 12  x   3

c) log  x  1   log 1   x   log 2  x  3  d)

log x  2  log x  2  2log 6

e) log4x + log2x + 2log16x = 5 f) log3 x  2   log3 x  2   log 53

log x  3log x  log x  2

m) 3 log3 x  log 33 x  1 n) log3(3x – 8) = 2 – x

o) log 4.33 x  1   2 x  1 p) log 5 4.log (3  3 x  1)   2

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Bài 14: Giải các bất phương trình sau:

CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

+Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp thường dùng.

Công thức bổ sung

1

cot sin

1

.ln 1

1 ln 1

cot sin

C Ứng dụng của tích phân trong hình học

+ Tính diện tích hình phẳng

+ Tính thể tích vật thể tròn xoay

II CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH :

NGUYÊN HÀM

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa và tính chất.

Phương pháp giải: Thường đưa nguyên hàm đă cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận

dụng bảng nguyên hàm thường dùng  kết quả

Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến

+ Dạng có lnx và đa thức: đặt u = lnx và dv = nhân tử còn lại.dx

+ Dạng có mũ/ lượng giác và đa thức: đặt u = đa thức và dv = nhân tử còn lại.dx

+ Dạng có mũ và lượng giác: đặt tùy ý

Dạng 4: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.

Phương pháp giải:

B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho

B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm  nguyên hàm cần tìm

+ Đổi biến thì phải đổi cận

+ Chỉ áp dụng khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :

B2: Đổi cận: x = a  t = u(a) ; x = b  t = u(b)

B3: Viết tích phân I về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân

Chú ý :Áp dụng cho các trường hợp sau :

+ Tích phân của lnx Đặt t = lnx

+ Tích phân có căn bậc hai Đặt t = căn bậc hai

+ Tích phân của sinx và cosx mũ lẻ

Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:

+ Dạng có lnx và đa thức: đặt u = lnx và dv = nhân tử còn lại.dx

+ Dạng có mũ/ lượng giác và đa thức: đặt u = đa thức và dv = nhân tử còn lại.dx

+ Dạng có mũ và lượng giác: đặt tùy ý

Dạng 4: Tính tích phân hàm phân thức hữu tỉ ( )

( )

b

a

P x dx

Q x



+ Nếu bậc đa thức trên tử  bậc đa thức dưới mẫu thì chia đa thức

+ Nếu bậc đa thức trên tử < bậc đa thức dưới mẫu :

 Dạng mẫu có nghiệm : dùng phương pháp hệ số bất định hoặc đưa về dạng tích phân

dx

x



 Dạng mẫu vô nghiệm :kiểm tra đạo hàm mẫu có bằng hiện tử hay không?

+ Nếu có đặt u = mẫu ( pp đổi biến)

+ Nếu không thì áp dụng đổi biến dạng 1

Dạng 5: Tính tích phân của một số hàm lượng giác.

 Dạng:sin cos ax bxdx , sin sin ax bxdx , cos cos ax bxdx

*Chú ý : + Có thể xét dấu để bỏ giá trị tuyệt đối

+ Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì biến đổi tương tự công thức trên

Phương pháp giải toán:

B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)

 Nếu pt hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.

 Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0

 Nếu bài toán cho 2 đường (C) và (C’) tìm cận a,b bằng cách giải pt : f(x) = g(x)

 Nếu bài toán quá phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thông qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình

 Có thể tìm phương trình tung độ giao điểm của hai đường congdiện tích hình phẳng

Thể tích của vật thể tṛòn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương

trình y= f(x) và các đường thẳng x = a, x = b , y = 0 quay xung quanh trục ox là:

1 sin

x dx x

4 ( 3sin ) cos x x dx

x 

3 0

1

3 1 1

dx x

12)

1 2

Bài 6: Tính các tích phân sau

3 0

3 1

x dx

1 3

6)ln2 7)

2 (2 2 1)

11) e-1 12)

3

1 ( 4 1)

Bài 7: Tính các tích phân sau :

12: Tính thể tích của vật thể tṛòn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

khi nó quay xung quanh trục Ox: y = 2x – x2 và y = 0 Đs : 16

15

p

Bài

13 :Tính thể tích của vật thể tṛòn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x Đs : 18

5

p

Bài

14 : Tính thể tích của vật thể tṛòn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

khi nó quay xung quanh trục Ox:

p

4 Phương Trình Bậc Hai Với Hệ Số Thực

 Căn bậc hai của số thực a < 0 là  i a

 Xét phương trình bậc hai ax2  bx c   0và biệt thức   b2  4 ac

   0thì phương trình có nghiệm (kép)

2

b x

Dạng 2: Giải phương trình bậc nhất với hệ số thực

Dạng 3: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài 6: Trong mp phức , hãy tìm tập hợp điểm biễu diễn các số phức thỏa mãn hệ thức sau: sau:

a/ z i   1 Đs : Tập hợp các điểm thỏa đk là hình tròn tâm O(0;1) và bk r = 1

b/ z i   2 Đs : Tập hợp các điểm thỏa đk là đường tròn tâm O(0;1) và bk r = 2

c/ z i    z 2 Đs :Tập hợp các điểm thỏa đk là đường thẳng 2y- 4x-3 = 0 d/ Phần thực của z bằng 2 Đs: Tập hợp các điểm thỏa đk là đường thẳng x - 2 = 0

e/ Phần ảo của z thuộc khoảng  1;3  Đs : Tập hợp các điểm thỏa đk là phần nằm giữahai đường thẳng y = -1 và y = 3

f/ Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn   1;1  Đs : Tập hợp các điểm thỏa đk một hình vuông nằm trong mp tọa độ Oxy, giới hạn bởi các đường x = - 1, x = 1, y = 1 và y = -1

Phần 2: HÌNH HỌC CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN

I TÓM TẮT KIẾN THỨC:

1 Khối lập phương:

3

V  a , với a là cạnh của hình lập phương.

Chú ý: Đường chéo hình lập phương cạnh a có độ dài bằng a 3

2 Khối hộp chữ nhật:

V  abc, với a,b,c là ba cạnh hình hộp chữ nhật

Chú ý: Đường chéo hình hộp chữ nhật cạnh a,b,c có độ dài bằng a2  b2  c2 .

V  B h, với B là diện tích đáy và h là chiều cao của hình chóp

Chú ý: Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, SC của hình chóp S.ABC Khi

đó: ' ' '

.

' ' '

S A B C

S ABC

V  SA SB SC (Công thức tỉ số khối chóp tam giác)

II CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH:

1 Tính thể tích khối đa diện:

Phương pháp:

+ Dùng công thức trực tiếp

+ Dùng công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác

2 Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là đường cao của các khối lăng trụ, khốichóp

Dùng công thức thể tích khối chóp, khối lăng trụ

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA   ABC  ,

SA AB a   , góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng 600

a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC 

b/ Gọi H là hình chiếu của A lên SC’ Tính thể tích khối chóp S.ABH.

Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA   ABC  , SA  2 a

,  ACB  300, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  bằng a Tính thể tích khối chópS.ABC

Bài 7: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA   ABC  ,

SA a  , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng a Tính thể tích khối chóp S.ABC KQ:

a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm SC, SD Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Bài 9: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng 2a và cạnh đáy bằng a.

a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh BB’ và CC’ Tính thể tích khối chópA.MNCB

CHƯƠNG II: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

II CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH:

1 Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của khối nón, khối trụ, khối cầu.

2 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (lăng trụ).

+ Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

+ Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

+ Xác định giao điểm của mặt phẳng trung trực một cạnh bên với trục đường tròn

+ Giao điểm đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (lăng trụ)

III BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA   ABC  ,

3

SA a  Khi quay đường gấp khúc SBA quanh trục là đường thẳng SA được một hình nón

tròn xoay Tính số đo góc ở đỉnh, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khốinón đó

Bài 2: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng a Thiết diện qua đỉnh của hình nón hợp với đáy

một góc 300 có diện tích bằng 4a2 Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón đó KQ:

Bài 3: Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 2a Một thiết diện qua đỉnh của hình nón cách

tâm của đường tròn đáy một khoảng bằng

SA  a Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của khối trụ có đường cao

SA và đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD