chuyen de luong giac thi dai hoc

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác Cách giải.. + Đối với các phương trình bậc nhất đối với một hàm số l

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A LÝ THUYẾT

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1.Công thức cộng

1) cos(a b ) cos cosa bsin sina b

2) cos(a b ) cos cosa bsin sina b

3)sin(a b ) sin cosa bcos sina b

4)sin(a b ) sin cosa bcos sina b

5)tan( ) tan tan

1 tan tan

a b

a b



 6) tan( ) tan tan

1 tan tan

a b

a b



 



2 Công thức nhân

2.1 Công thức nhân đôi

cos 2acos asin a

2)sin 2a2sin cosa a

3)tan 2 2 tan2

1 tan

a a

a





2.1.1.Công thức hạ bậc:

1)cos2 1 cos 2

2

a

a 

2)sin2 1 cos 2

2

a

a 

3)tan2 1 cos 2

1 cos 2

a a

a







2.1.3 Công thức tính theo tan

2

a t

 1)

2

2

1 cos

1

t a t





 2)sin 2 2

1

t a t



 3)tan 2 2

1

t a t





2.2 Công thức nhân ba

1) cos 3a4cos3a3cosa

sin 3a3sina4sin a

3)

3

2

3 tan tan tan 3

1 3 tan

a

a







3 Công thức biến đổi tích thành tổng

1) cos cos 1[cos( ) cos( )]

2

a b a b  a b

2)sin sin 1[cos( ) cos( )]

2

a b  a b  a b

3) sin cos 1[sin( ) sin( )]

2

a b a b  a b

4 Công thức biến đổi tổng thành tích

1)cos cos 2 cos cos

a b a b

a b a b

a b   

3)sin sin 2sin cos

a b a b

4)sin sin 2 cos sin

a b a b

 Một số công thức cơ bản

1)cos sin 2 cos( )

4

a a a

2) cos sin 2 sin( )

4

a a a

3)cos sin 2 cos( )

4

4) cos sin 2 sin( )

4

cos asin a 1 2sin acos a

6) cos6asin6a 1 3sin2acos2a

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

2

x a k

x a k



 



a là góc tính bằng radian, chẳng hạn ,

a a

; 1 sina1

2

x a k

x a k





 



3 Phương trình tanxtana

2

x  k k

tanxtana  x a k, (k )

4 Phương trình cotxcota

Điều kiện x  k, (k )

cotxcota  x a k, (k )

III MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác

Cách giải

+ Đối với các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta biến đổi về dạng phương trình lượng giác cơ bản

+ Đối với phương trình bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác ta đặt ẩn phụ, sau đó giải phương trình theo ẩn phụ

Lưu ý: Nếu đặt tcosxhayt sinxthì điều kiện t 1

2 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là Phương trình có dạng

sin cos ,

a x b xc với a b c, , (1)

Cách giải

Cách 1 Chia hai vế của (1) cho 2 2

a b ta được

Đặt

Khi đó (2) trở thành

cos sinx sin cosx c sin(x ) c

a b



Cách 2 Chia hai vế của (1) cho a rồi đặt b tan

a  

Ta được sinx tan cosx c sin cosx sin cosx ccos

sin(x ) ccos

a

   Phương trình này có nghiệm khi ccos 1

a  

3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

sin sin cos cos 0; , ,

a x b x x c x a b c (2)

Cách giải

2

x   x  k k

thì thay vào (2) để xét

2

x  k

có là nghiệm của Phương trình (2) hay không

2

x x  k k

     thì chia cả hai vế của phương trình cho 2

cos x0

ta được 2

a x b x c 

Lưu ý: Nếu Phương trình có vế phải khác 0 như 2 2

sin sin cos cos

a x b x x c xdthì ta biến đổi như sau

sin sin cos cos (sin cos )

a x b x x c xd x x rồi chuyển vế phải sang trái

Ngoài ra ta cũng có thể giải được Phương trình (2) nhờ các công thức sau

2 1 cos 2

cos

2

a

a 

; 2 1 cos 2 sin

2

a

a 

; sin 2a2sin cosa a

Đối với Phương trình bậc ba chỉ có sin x và cos x

cos cos sin sin cos sin 0

a x b x x c x xd x

Ta cũng biến đổi đưa về dạng bậc ba đối với tan x

4 Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x

Phương trình đối xứng với sin x và cos x là Phương trình có dạng

(sin cos ) sin cos 0; , ,

a x x b x x c  a b c (3)

Cách giải: Đặt sin cos 2 sin ,

4

t x x x 

  điều kiện t 2 Khi đó

2

2

t

t   x x x x 

Thay vào Phương trình (3) ta được

2

2

( 1)

2

b t

at    c bt  at c b 

(*)

Giải Phương trình (*) tìm t và chọn nghiệm thỏa t 2

Lưu ý Cách này cũng áp dụng được cho Phương trình a(sinxcos )x bsin cosx x c 0

Bằng cách đặt sin cos 2 sin( )

4

t x x x

;điều kiện t 2 Khí đó

2

1

2

t

x x 



IV CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC

Để giải các Phương trình này ta cần biến đổi về các Phương trình lượng giác đã biết cách giải

1 Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba

2 Dạng phân thức, ta phải đặt điều kiện cho mẫu thức khác 0

3 Dạng chứa tan xvà cot x, ta cần phải đặt điều kiện cho tan xvà cot x xác định

B BÀI TẬP

Câu 1: (Khối A-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 của phương trình:

cos 3 sin

1 2sin 2

x



sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x Câu 3: (Khối D-2002) Tìm x thuộc đoạn 0;14 nghiệm đúng phương trình: 

cos3x4cos 2x3cosx 4 0

5sinx 2 3 1 sin x tan x

Câu 5: (Khối D-2004) Giải PT: 2cosx1 2sin xcosxsin 2xsinx

Câu 6: (Khối A-2005) Giải PT: 2 2

cos 3 cos 2x xcos x0 Câu 7: (Khối B-2005) Giải PT: 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

x x x   x  

Câu 9: (Khối A-2006) Giải PT:  6 6 

0

2 2sin

x



 Câu 10: (Khối B-2006) Giải PT: cot sin 1 tan tan 4

2

x

x x  x 

Câu 11: (Khối D-2006) Giải PT: cos3xcos 2xcosx 1 0

Câu 12: (Khối A-2007) Giải PT:  2   2 

1 sin x cosx 1 cos x sinx 1 sin 2x

Câu 13: (Khối B-2007) Giải PT: 2

2sin 2xsin 7x 1 sinx

Câu 14: (Khối D-2007) Giải PT:

2

sin cos 3 cos 2

x

Câu 15: (CĐ-2008) Giải PT: sin 3x 3 cos 3x2sin 2x

Câu 16: (Khối A-2008) Giải PT: 1 1 4sin 7

3

2

x x

six x



sin x 3 cos xsin cosx x 3 sin xcosx

Câu 18: (Khối D-2008) Giải PT: 2sinx1 cos 2 xsin 2x 1 2cosx

Câu 19: (CĐ-2009) Giải PT:  2

1 2sin x cosx 1 sinxcosx

Câu 20: (Khối A-2009) Giải PT:  

1 2sin cos

3

1 2sin 1 sin

x x





sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2 cos 4xsin x

Câu 22: (Khối D-2009) Giải PT: 3 cos 5x2sin 3 cos 2x xsinx0

Câu 23: (Khối A-2010) Giải PT:

1 sin cos 2 sin

1 4

cos

x x



 Câu 24: (Khối B-2010) Giải PT: sin 2xcos 2xcosx2cos 2xsinx0

Câu 25: (Khối D-2010) Giải PT: sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0

Câu 26: (Khối A-2011) Giải PT: 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x

 Câu 27: (Khối B-2011) Giải PT: sin2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcosx

Câu 28: (Khối D-2011) Giải PT: sin 2 2 cos sin 1 0

x

