Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng qua trung ủieồm cuỷa AB vaứ song song vụựi caực ủửụứng thaỳng AD vaứ CB h.. Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng qua caực hỡnh chieỏu vuoõng goực cuỷa B leõn caự
Trang 1y z
x
j k
i
CHỦ ĐỀ : TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
A PHẦN LÍ THUYẾT :
I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ, TỌA ĐỘ VECTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM
1 Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian
Hệ 3 trục x’Ox, y’0y, z’Oz đôi một vuông góc, trên đó lần lượt
có các vectơ đơn vị i, ,jk, gọi là hệ trục tọa độ Đềcác vuông
góc trong không gian
+ 3 trục x’Ox, y’0y, z’Oz lần lượt được gọi là trục hoành,
trục tung , trục cao
+ Điểm O gọi là gốc tọa độ
+ Không gian chứa hệ trục tọa độ như thế gọi là không gian tọa độ,
kí hiệu là kg Oxyz
+ Các mặt phẳng : Oxy, Oyz, Oxz gọi là các mặt phẳng tọa độ
2 Toạ độ của vectơ:
a Định nghĩa : a=a1i+a2j+a3k ⇔ a=(a1,a2,a3)
Chú ý: Tọa độ của các vectơ đơn vị: i (1, 0, 0)= ; j (0, 1, 0)= ; k =(0 ,0 ,1) và 0 (0, 0, 0)=
b Tính chất : Cho a=(a1,a2,a3) ;b=(b1,b2,b3) và số thực k thì :
a±b=(a1±b1±a3,a2±b2 ±b3) ; k.a=(ka1,ka2,ka3) ;
=
=
=
⇔
=
3 3
2 2
1 1
b a
b a
b a b
Chú ý : +. a cùng phương b nếu cùng nằm trên một đường thẳng hoặc giá của
chúng song song nhau
+ Biểu thức tọa độ :
a cùng phương b ⇔ tồn tại số k để cho: a = k.b ⇔
3
3 2
2 1
1
b
a b
a b
a
=
=
3 Tọa độ của điểm :
a Định nghĩa : OM = xMi + yMj + zMk ⇔ M ( xM, yM, zM )
b Định lí : Cho A(xA,yA, zA) và B(xB,yB,zB) thì : AB=(xB−xA,yB−yA,zB−zA)
c Chú ý : + Điểm M∈ Ox → M(x,0,0 ) ; Điểm M∈ Oy → M(0,y,0)
Điểm M∈ Oz → M(0,0,z) ; Gốc tọa độ O(0,0,0)
+ M là trung điểm của đoạn AB thì : A B A B A B
+ G là trọng tâm của đoạn ∆ABC thì :
A B C A B C A B C
4 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng:
Đ/lí : Cho hai vectơ a=(a1,a2,a3) ;b=(b1,b2,b3) thì : a.b=a1b1+a2b2 +a3b3
Các hệ quả:
a =a +a +a ⇒ a = a + +a a + a⊥b⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0
a b a b a b cos (a, b)
=
AB= (x −x ) +(y −y ) +(z −z )
Trang 25 Chú ý : + Điểm M(x, y ,z) có hình chiếu vuông góc lên các mặt phẳng tọa độ Oxy,
Oxz, Oyz lần lượt là : (x, y , o) ; (x, o, z) ; (o, y ,z)
+ Điểm M(x, y ,z) có hình chiếu vuông góc lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz
lần lượt là : (x, o , o) ; (o, y,o) ; (o, o ,z)
+ Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz, Oyz
lần lượt là : (x, y, -z) ; (x, -y, z) ; (-x, y ,z)
+ Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt
là : (x, -y,-z) ; (-x, y, z) ; (-x, -y ,z)
+ Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua gốc tọa độ O là (-x, -y,-z)
6 Tích có hướng hai vectơ :
a Định nghĩ a : Cho 2 vectơ a=(a1,a2,a3) ;b=(b1,b2,b3)
Tích có hướng của hai vectơ đó là một vectơ , kí hiệu là [ ]a,b với
[ ]a,b = 2 3 3 1 1 2
= ( a2 b3 – b2 a3 , a3 b1 – b3 a1 , a1 b2 – b1 a2 )
b Tính chất : c⊥a và c⊥b thì c = [ ]a,b
c Các ứng dụng của TCH của 2 vectơ :
+ 3 điểm A,B, C là 3 đỉnh của tam giác ⇔ AB, AC
3 điểm A,B, C là thẳng hàng ⇔ AB, AC
+ 4 điểm A, B, C , D là 4 đỉnh của tứ diện ⇔ AB, AC AD ≠0
4 điểm A, B, C , D đồng phẳng ⇔ AB, AC AD =0
+ Diện tích tam giác ABC là: S = 1 AB, AC
2
= 1 BA, BC
2
=1 CA, CB
2
Nói là : Diện tích tam giác bằng một phần hai độ dài TCH của hai vectơ chung gốc
+ Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là : V = AB, AD AA'
Nói là : Thêû tích khối hộp bằng giá trị tuyệt đối của tích hổn tạp của ba vectơ chung gốc
+ Thể tích khối tứ diện ABCD là : V = 1 AB, AC AD
6
Nói là : Thêû tích khối tứ diện bằng một phần sáu giá trị tuyệt đối của tích hổn tạp của ba vectơ
chung gốc
a Chứng minh 3 điểm B, C, D là 3 đỉnh của tam giác, Tính diện tích của BCD∆ , Từ đó tính độ dài đường cao của BCD∆ kẻ từ D
b Chứng minh 4 điểm A,B,C, D là 4 đỉnh của tứ diện Tính thể tích của tứ diện này, Từ đó tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh A
c Tìm tọa độ điểm E để BCDE là hình bình hành Tính diện tích hình bình hành nàyvà tính thể tích khối chóp A.BCDE
d Tính góc ACD và góc giữa các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD
Bài 2 : Trong kg cho 2 điểm A(6,-2,3) ; D(4,1,0) và OC 2i j= − ; ; OB= +j 6k
1 Tính : a (AB.BC CA) +CD AB2 ; b AB, DC CB AD − 2
2 Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện
3 Tính d/ tích ∆ABC, thể tích tứ diện ABCD Từ đó tính độ dài c/cao của t/ diệnABCD kẻ từ
Trang 35 Tỡm toaù ủoọ ủieồm E ủeồ cho ABCD laứ hỡnh bỡnh haứnh Tớnh dieọn tớch hỡnh bỡnh haứnh naứy
Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Với A(2,0,2), B(4,2,4), D(2,-2, 2) và C'(8,10,-10)
a Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A'B'C'D'
b Tính thể tích của hình hộp nói trên
II PHệễNG TRèNH MAậT PHAÚNG
1 M/phaỳng (α)ủi qua ủieồm M(x0,y0,z0) vaứ coự PVT n=(A,B,C)thỡ
phửụng trỡnh (α) : A.(x−x0) (+B.y−y0) (+C.z−z0)=
2 Maởt phaỳng (α) ủi qua A a, 0, 0( )∈Ox ;
B 0, b, 0( )∈Oy;C 0, 0, c( )∈Ox thỡ p/trỡnh maởt phaỳng (α) : x y z 1
a+ + =b c
( Goùi laứ mặt phẳng phửụng trỡnh theo ủoaùn chaộn)
Chuự yự :
+ Hai vectụ a,b laứ caởp VTCP cuỷa (α) trong caực trửụứng hụùp sau:
* a,b khoõng cuứng phửụng vaứ cuứng naốm treõn (α)
* a,b khoõng cuứng phửụng a naốm treõn (α) coứn a naốm treõn ủửụứng thaỳng // (α)
* a,b khoõng cuứng phửụng , caỷ avaứb ủeàu naốm treõn 2 ủửụứng thaỳng // vụựi (α)
+ Hai maởt phaỳng // nhau thỡ PVT cuỷa maởt phaỳng naứy cuừng laứ PVT cuỷa maởt phaỳng kia
+ Hai maởt phaỳng v/ goực nhau thỡ PVT cuỷa maởt phaỳng naứy laứ moọt trong hai VTCP cuỷa
maởt phaỳng kia
3 Caực p/phaựp xaực ủũnh PVT :
C1: Tỡm VT vuoõng goực vụựi maởt phaỳng (α)
C2: Tỡm caởp VTCP a,b ⇒ n=[ ]a,b
C3: Maởt phaỳng (α) ủi qua ba ủieồm A,B,C thỡ PVT n=[AB,AC]
B BAỉI TAÄP :
Baứi 1 : Trong khoõng gian Oxyz cho ủieồm A(1,0,1) ; B(3,4,-1) vaứ OC=j+ k ; AD = (1,2,-4)
a Tỡm toùa ủoọ caực ủieồm C vaứ D
b Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng (ABC) Tửứ ủoự c/m 4 ủieồm A, B, C, D laứ 4 ủổnh cuỷa tửự dieọn
c Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng qua D vaứ song song maởt phaỳng (ABC)
d Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng vuoõng goực vụựi AB taùi B
e Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng trung trửùc cuỷa ủoaùn BC
f Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng chửựa AB vaứ song song vụựi CD
g Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng qua trung ủieồm cuỷa AB vaứ song song vụựi caực ủửụứng thaỳng AD
vaứ CB
h Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng qua A vaứ vuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng BD
i Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng qua caực hỡnh chieỏu vuoõng goực cuỷa B leõn caực truùc toùa ủoọ
j Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng qua caực hỡnh chieỏu vuoõng goực cuỷa A leõn caực mp toùa ủoọ
k Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng qua caực ủieồm ủoỏi xửựng vụựi A, B, C qua goỏc toaù ủoọọ
l Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng qua caực ủieồm ủoỏi xửựng vụựi A, B, C qua caực maởt phaỳng toùa ủoọ
A
B C a
b a
a b
b α
n
α
n
α
n
α
n
Trang 4a Qua điểm M(2,-1,2) và // mp Oxy
b Qua điểm N(5,1,-2) ; // Oz ; vuông góc với mặt phẳng 3x + 2y + z + 2013 = 0
c Qua điểm P(-4,0,1) ; // đường thẳng AB với A(2,0,0), B(3,2,-6) và v.góc với mp(P): 5x-z-2 =
0
d Qua 2 điểm H(3,-2,0), K(2, 5,1) và vuông góc với mặt phẳng –3x + 2z – 7 = 0
III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Các dạng phương trình đường thẳng :
a Đường thẳng d đi qua M(x0, y0, z0) và có VTCP a=(a1,a2,a3) thì :
Ptts d : y y a t
z z a t
( t∈R) và 0 0 0
Ptct d :
b Đường thẳng d đi qua 2 điểm A x , y , z( A A A) và A x , y , z( B B B) cĩ phương trình :
AB :
− − − ( với xB≠xA, yB ≠yA, zB≠zA)
2 Các chú ý :
* Để tìm toạ đôï một điểm thuộc đường thẳng cho bởi ptts ta cho t một giá trị tuỳ ý thay vào ptts tìm x, y, z Đó là tọa độ của điểm thuộc d
* Để tìm toạ đôï một điểm thuộc đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng,
ta cho x một giá trị tuỳ ý thay vào hệ tìm y, z ( hoặc cho y tìm x, z ; hoặc cho z tìm x, y )
* Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng, có VTCP là =
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
B A
B A A C
A C C B
C B a
Trong đó n1=(A , B , C ) 1 1 1 và n2=(A , B , C ) 2 2 2 lần lượt là VTPT của 2 mặt phẳng
BÀI TẬP :
1 Cho đường thẳng d có ptts là
x 2 t
y 1 2t
z 3t
= +
= − +
=
a Tìm 2 điểm thuộc d ; b Tìm VTCP của d ; c Viết pttq và ptct của d
2 Cho đường thẳng d có ptct là x 2 3 y z
a Tìm hai điểm thuộc d ; b Tìm VTCP của d ; c Viết ptts và pttq của d
3 Cho đường thẳng d có pttq là : 2x y z 2 0
+ + − =
− + + =
a Tìm 2 điểm thuộc d ; b Tìm VTCP của d ; c Viết ptts và ptct của d
4 Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau :
a Đi qua điểm M(2,-1,5) và có VTCP là a ( 2,1, 1)= − −
b Là giao tuyến của 2 mặt phẳng : x + y + 2z – 5 = 0 và 3x – y + 3z + 3 = 0
c Đi qua điểm M(2,3,-1) và vuông góc với mặt phẳng : x + 2y –3z + 1 = 0
d Đi qua 2 điểm A(-2,1,2) và B(0,3,-4)
Trang 5e Đi qua điểm M(0,-2,1) và song song với đường thẳng x y z 3 0
+ + − =
− =
f Đi qua điểm N(3,0,0) và song song với đường thẳng :
x 2 3t
y t
z 3
= +
=
= −
5 Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau :
a Đi qua điểm M(4,1,2) và vuông góc với đường thẳng d : x 1 y 1 3 z
b Chứa điểm A(-4,0,-2) và đường thẳng d : x 2y z 3 0
2y z 1 0
c Đi qua điểm B(1,1,1) và song song với các đường thẳng:
d1: 2x y z 3 0
+ + − =
− + − + =
; d2 : x 1 y 2 z
IV MẶT CẦU
1 Phương trình mặt cầu :
* Mặt cầu có tâm I(a,b,c) và bán kính R ⇒ phương trình mặt cầu là :
(S) : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
* Phương trình (S) : x2 + y2 + z2 – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 ( với a2 + b2 + c2 – d > 0 ) là phương trình mặt cầu có tâm I(a,b,c) và bán kính R = a2 +b2+c2 -
* Mặt cầu có tâm O(o,o,o) ; bán kính R có phương trình (S) : x2 + y2 + z2 = R2
2 Tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng: Cho m/cầu (S) có tâm I b/kính R và m/phẳng )(α Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (α), thì IH = d(I, (α))
* d(I, (α)) > R ⇔ (S) và (α) không có điểm chung
* d(I, (α)) = R ⇔ (S) và (α) tiếp xúc nhau tại H ( H gọi là tiếp điểm ; (α) gọi là tiếp diện )
* d(I, (α)) < R ⇔ (S) và (α) cắt nhau theo giao tuyên là đường tròn (C)
tâm là H; bk R’= 2 2
IH
BÀI TẬP :
1 Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a Có tâm I(1,2,-3) và bán kính R = 4
b Có tâm I(2,-2,0) và đi qua điểm M(1,4,-4)
c Đi qua ba điểm A(1,2,-4) ; B(1,-3,1) ; C(2,2,3) và có tâm trên mặt phẳng Oxy
d Tâm I(1,2,3) và tiếp xúc mp(α) : x - y - 4z - 5 = 0 Tìm toạ độ tiếp điểm của (S) và (α)
e Có tâm trên trục Oz, đi qua A(2,3,4) và tiếp xúc mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0
f Có tâm trên trục Oy và tiếp xúc với 2 mp : x + y - z + 1 = 0 ; x - y + z - 5 = 0
2 Cho 3 điểm A(2,0,0); B(0,1,0); C(0,0,-3)
a Viết phương trình mặt cầu(S) ngoại tiếp tứ diện OABC với O là gốc tọa độ Khi đó tìm tâm
I
H
I I
α α
α
) S
) C (
Trang 6và b kính của (S)
b Viết phương trình tiếp diện với (S) tại A
c Viết phương trình đường tròn (C1) ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tâm và bán kính của (C1)
d Viết phương trình đường tròn (C2) ngoại tiếp tam giác OAB Tìm tâm và bán kính của (C2)
3 Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 4z = 0
a Tìm tâm và bán kính của (S)
b Chứng minh điểm A(3,1,-2) thuộc (S) Viết phương trình tiếp diện với (S) tại A
c Viết p/t tiếp diện với (S) , biết tiếp diện đó // với mặt phẳng x+ y + 2z – 1 = 0
d Viết p/t tiếp diện với (S) , biết tiếp diện đó v/góc với đường thẳng :
= +
−
=
− +
0 3 z y
0 2 y x
e Tìm giao điểm của (S) với đường thẳng x = 1+ 2t ; y = 1 ; z = - 2t
f Viết phương trình đường kính qua A Tìm giao điểm còn lại của đường kính này với (S)
g Biện luận theo k vị trí tương đối của (S) và mặt phẳng (α): 2x + y – 2z + k = 0
4 Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6,-2,3) ; B(0,1,6) ; C(2,0,-1) ; D(4,1,0) Khi đó viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp ∆ABC, tìm tâm và bán kính đường tròn này
b Ngoại tiếp tứ diện OABC với A(1,0,0) ; B(0,2,0) ; C(0,0,-3) Tìm tâm và b/kính
c Tâm I(1,2,3) và tiếp xúc m/ hẳng (α) : x – y - 4z - 5 = 0 Tìm toạ độ t/điểm của (S) và (α)
d Đi qua ba điểm A(1,2,-4) ; B(1,-3,1) ; C(2,2,3) và có tâm trên mặt phẳng Oxy
5 Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 12x + 4y – 6z + 24 = 0
a Tìm tâm và bán kính của (S)
b Chứng minh mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (α): 2x + 2y + z +1= 0 Hãy viết phương trình đường
tròn giao tuyến của (S) và(α), tìm tâm và bán kính đường tròn này
c Chứng minh điểm A(2,1,3) thuộc mặt cầu (S) Viết phương trình tiếp diện của (S) tại A
d Tìm các giao điểm của của (S) và đường thẳng d:
+
=
−
=
+
=
t 4 3 z
t 2 y
t 3 3 x
e Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó s.song với m/p (β): 2x – 2y + z + 7 = 0
f Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó v/góc với đg/thẳng d’:
2
1 z 2
1 y 1
g Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó song song với trục Ox và đường thẳng
d:
2
1 z 2
1 y 1
h Biện luận theo k vị trí tương đối của (S) và mặt phẳng (γ): 2x + y – 2z + k = 0
V GÓC:
+ 2 đường thẳng d1 , d2 có VTCP lần lượt là a=(a , a , a )1 2 3 , b=(b , b , b )1 2 3
Gọi ϕlà góc giữa d1 và d2 thì : 1 1 2 2 3 3
a b a b a b cos
φ =
+ 2 mặt phẳng (α1), (α2) có VTPT lần lượt là n1=(A1,B1,C1); n2 =(A2,B2,C2)
Gọi ϕ là góc giữa 2 mặt phẳng thì:
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
C B A C B A
C C B B A A cos
+ + +
+
+ +
= ϕ
Trang 7a a a a
b b
b b
d
' d
'
d
M
M '
M
M '
M
M '
M '
M
+ Đường thẳng d cĩ VTCP a=(a1,a2,a3), Mặt phẳng (P) cĩ VTPT n=(A,B,C)
Gọi ϕlà góc giữa d và (P) thì :
2 3 2 2 2 1 2 2 2
3 2 1
a a a C B A
a C a B a A sin
+ + +
+
+ +
= ϕ
Hệ quả: * d1 ⊥ d2 ⇔ a1b1+a2b2+a3b3= 0
* (α1) ⊥ (α2) ⇔ A1A2+B1B2+C1C2 = 0
* d ⊥ (α) ⇔ a cùngphương n
VI KHOẢNG CÁCH
+ Kh.cách từ M(x0 ,y0, z0 ) đến mp (α): Ax + By + Cz + D = 0 là :
( )
C B A
D z C y B x A ) ( , M d
2 2 2
0 0 0
+ +
+ + +
= α
+ Kh.cách từ điểm M đến đường thẳng∆ (đi qua điểm A, VTCP a) là: ( ) [ ]
[ ]a
AM , a ,
M
+ Kh.cách giữa 2 đường thẳng ∆1và ∆2 là: ( ) [ ]
[ ]a,b
AB b , a ,
d∆1 ∆2 =
(∆1đi qua A, có VTCP là a ∆2đi qua B, có VTCP b )
VII VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1 Vị trí tương đối 2 mặt phẳng :
Cho hai mặt phẳng :
(α1) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 có VTVT là n1=(A B C1, 1, 1)
(α2) : A2x + B2y + C2 z + D2 = 0 có VTVT là n2 =(A2,B2,C2)
TH1: n1 và n2 không cùng phương ⇔ (α1) cắt (α2)
TH2:
∈ α ∉ α
n n cùng phương Điểm M ( ) và M ( )
; ⇔ (α1) // (α2)
TH3:
n n cùng phương Điểm M ( ) và M ( )
;
⇔ (α1) ≡ (α2)
2 Vị trí tương đối 2 đường thẳng:
Cách 1:
1
α
2
n
2
2
n
2
α
1
n
2 α
1 α
2
n 2
α
1
n
Trang 8TH1:
a và b cùng phương
MM không cùng phương a' ⇔ d // d’ ; TH2:
a và b cùng phương
MM cùng phương a' ⇔ d ≡ d’
TH3:
a b MM' = 0
a và b không cùng phương
,
⇔ d cắt d’ ; TH4: a b MM' , ≠ 0 ⇔ d chéo d’
Cách 2: Cho 2 đường thẳng d:
+
=
+
=
+
=
t a z z
t a y y
t a x x
3 0
2 0
1 0 có vtcp a = ( a1, a2, a3) và qua điểm M(x0, y0, z0)
và d’:
+
=
+
=
+
=
't b z z
't b y y
't b x x
3
' 0 2
' 0 1
' 0
có vtcp b=(b1,b2,b3)
TH1: d//d '
d' M
phương cùng
b , a
∈
a b cùng phương
M d'
,
'
TH3:
x a t x b t Hệ PT y a t y b t có nghiệm duy nhất d cắt d
z a t z b t
' ' '
'
'
Chú ý: Giả sử (t0, '
0
t ) là nghiệm của HPT Để tìm giao điểm M0 của 2 đường thẳng thì thay t0 vào phương trình d Bộ 3 số đó là tọa độ giao điểm
TH4:
x a t x b t
a b không cùng phương và HPT y a t y b t vô nghiệm d chéo d
z a t z b t
' ' '
'
'
3 Vị trí tương đối của của đường thẳng và mp:
d//(α) dcắt (α) d⊂(α) Cách 1:
TH1: ⊥
⇔ α
∈ ∉ α
n a cùng phương d ( )
M d , M ( ) / / ; TH2: ⊥
⇔ ⊂ α
∈ ∈ α
n a cùng phương d ( )
M d , M ( ) TH3: n không vuông góc a ⇔ n a 0 ≠ ⇔d cắt ( )α
Cách 2: Cho đường thẳng d :
+
=
+
=
+
=
t a z z
t a y y
t a x x
3 0
2 0
1 0 và mp (α) : Ax + By + Cz + D = 0
Để xét vị trí tương đối của d và(α), ta thay x, y, z từ phương trình d vào phương trình (α),
d d
d
a M
M
n a
Trang 9TH1: Phương trình (1) vô nghiệm ⇒ d // (α)
TH2: Phương trình (1) có vô số nghiệm ⇒ d ⊂ (α)
TH3: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇒ d cắt (α)
Nếu t = t0 là nghiệm, để tìm giao điểm của d và(α) ta thay t0 vào phương trình d
Bộ 3 số đó là tọa độ giao điểm
B BÀI TẬP LUYỆN THI
Viết phương trình đường thẳng , mặt phẳng
1. LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d qua ®iĨm M(- 4,-5, 3) vµ c¾t hai ®−êng th¼ng:
(d1):
1
2 z 2
3 y 3
1
x
−
−
=
−
+
=
+
(d2):
5
1 z 3
1 y 2
2 x
−
−
=
+
=
−
2. LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua ®iĨm A(0; 1; 1) vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng:
(d1):
1
z 1
2 y 3
1 x
=
+
=
−
vµ c¾t ®−êng th¼ng (d2):
y t
z 1 t
= −
=
= +
3. Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh: (P): 2x + y + z - 1 = 0,
(d):
3
2 z 1
y 2
1
x
−
+
=
=
−
ViÕt ph−¬ng tr×nh cđa ®−êng th¼ng qua giao ®iĨm cđa (P) vµ (d), vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong (P)
4. Cho ®iĨm A(- 4,-2, 4) vµ ®.th¼ng d:
y 1 t
z 1 4t
= − +
= −
(t ∈ R) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ ®i qua
®iĨm A, c¾t vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng d
5. Cho hai ®iĨm A(1, 4, 2 ), B(-1, 2,4) vµ ®−êng th¼ng ∆:
2
z 1
2 y 1
1 x
= +
=
−
−
ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d ®i qua träng t©m G cđa tam gi¸c OAB vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (OAB), với O là gốc tọa đơ
6. Cho hai đường thẳng d1:
1
1 z 1
1 y 2
1
−
−
=
+
, d2:
2
1 z 1
2 y 1
1
và mp(P): x - y - 2z + 3 = 0 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆, biết ∆ nằm trên mặt phẳng (P) và ∆ cắt hai đường thẳng d1, d2
y 1 t
z 3
= − +
= +
Viết phương trình đường
thẳng d vuơng gĩc với (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1 và d2
8. Cho bốn điểm A(4,5,6); B(0,0,1); C(0,2,0); D(3,0,0) Viết phương trình đường thẳng d vuơng gĩc với mặt phẳng (Oxy) và cắt được các đường thẳng AB, CD
9. Cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0
và đường thẳng ∆1:
2
2 x
−
− =
1
1
y+ =
3
z
Gọi ∆2 là giao tuyến của (P) và (Q)
Viết phương trình đường thẳng (d) vuơng gĩc với (R) và cắt cả hai đường thẳng ∆1, ∆2
10. Cho hai đường thẳng d1:
=
=
−
=
t z
3 y
t 2 2 x
d2:
2
z 1
y 1 1
2 x
=
−
=
−
Viết phương trình đường thẳng d song song với Oz cắt cả d1 và d2
Trang 1011. Viết p.trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng sau:
1
2 z 1
1 y 2
x :
−
−
=
+
=
+
−
=
3 z
t 1 y
t 2 1 x :
d2
12. Cho đường thẳng d1:
+
=
+
=
+
=
t 2 1 z
t 2 1 y
t 1 x
, đường thẳng d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 =
0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0 Gọi I là giao điểm của d1 và d2 Viết phương trình đường thẳng d3
qua A(2, 3, 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d1và d2 lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I
13. Cho tam giác ABC có A(1,-,2, 3), B(2,1, 0), C(0, -1, -2) Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC
14. Cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng d: 6x 3y 2z 0
6x 3y 2z 24 0
trình đ.thẳng ∆ // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC
15. Cho điểm M(0,1,1) và 2 đường thẳng (d1), (d2) với (d1):x 1 y 2 z
− = + = ; (d
2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x 1 0+ = và (Q): x+ − + =y z 2 0 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d1) và cắt (d2)
16. Cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1,2,4), B thuộc trục Ox và có hoành độ dương, C thuộc Oy và
có tung độ dương Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OBC), tanOBC=2 Viết phương trình tham số của đường thẳng BC
17. Cho đường thẳng : x 1 y 2 z 2
− và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0 Lập phương trình
đường thẳng song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2,2,4) và cắt đường thẳng (∆)
18. Cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình (P): 3x 12y+ − − =3z 5 0 và
(Q): 3x−4y+9z+ =7 0 (d1): x 5 y 3 z 1
+ = − = +
− , (d2): x 3 y 1 z 2
− = + = −
thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt (d1), (d2)
19. Cho đường thẳng d :x y 1 z 2
− −
= = và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0 Lập phương trình đường thẳng d′ đi qua điểm M(2,2,4), song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d
20. Cho hai điểm A(0,0,–3), B(2,0,–1) và mặt phẳng (P) có phương trình: 3x−8y+7z 1 0+ = Viết phương trình chính tắc đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm của đường thẳng AB với (P)
21. Cho mp(P): x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : d: x 1 3 y z 2
x 1 2t
y 2 t
z 1 t
= +
= +
= +
Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng
22. Cho điểm A(1,0,1), B(2,1,2) và mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + 3 = 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q)
+ = = − và mặt phẳng
(P) : x+ − + =y 2z 5 0 và điểm A(1,-1,2) Viết phương trình đường thẳng ∆cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN