chuyen de: giai bt bang cach lap PT, HPT, BPT

Hỏi nếumỗi đội làm riêng một mình thì trong bao nhiêu ngày sửa chữa xongđường?.Bài 2: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ.Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đãbiết

- Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giã các đại lợng

Một hình chữ nhật có chu vi là 28m Nếu tăng chiều rộng gấp 2 lần

và giảm chiều dài còn một nửa thì chu vi tăng thêm 4cm Tìm kích thớccủa hình chữ nhật?

Giải:

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là a

Và chiều rộng của hình chữ nhật là b (a, b>0)

Theo bài ra ta có:

2(a+b) = 28  a+b =14

Mặt khác: 2(2b+

2

a

) = 28 + 14  a+4b = 32

14

b a b a

b a

Vậy kích thớc của hình chữ nhật lần lợt là: 8 và 6 (cm)

Bài 2:

Một sân hình tam giác có diện tích 180m2 Tính cạnh đáy của sânbiết rằng nếu tăng cạnh đáy 4m và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tíchkhông đổi?

 -a + 4b - 4 = 0Kết hợp 2pt trên ta có hệ pt sau:  

Gọi độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật là a và b (a,b>0)

Chu vi hình chữ nhật là 32cm

 2(a + b) = 32  a + b = 16 (1)Diện tích hình chữ nhật là 60 cm2

 ab = 60 (2)Kết hợp (1) và (2) ta có 







 60

16

b a b a

b a

a b

a b

Bài 6:

Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 12 cm Điểm M chạytrên AB Tứ giác MNCP là một hình bình hành có đỉnh N thuộc cạnh AC.Hỏi khi M cách A bao nhiêu thì diện tích của hình bình hành bằng 32 cm2?

Giải:

DiÖn tÝch cña h×nh b×nh hµnh MNCP lµ MP.MA = (12-x)x

Theo gi¶ thiÕt:

Thương của số nhỏ cho 7 là: 7x

Thương của số lớn cho 5 là: x512

Cách 3 : Gọi 2 số cần tìm lần lượt là: x, y (x,y N)

Hai số kém nhau 12 đơn vị : y - x = 12

Thương thứ nhất kém thương thứ hai là 4 đơn vị :

y x

x y

Giả hệ ta được x = 28 (thoả mãn )

Giải

Gọi số phải tìm là: ab

Chữ số hàng chục bằng nửa chữ số hàng đơn vị : b=2a

Đặt số 1 xen vào giữa ta được số mới là a1 b

Số nhỏ chia 4 được thương: 4x

Số lớn chia cho 6 được thương: 6x

4

136

x x y x

y x

(thoả mãn ) Vậy hai số cần tìm là: 64 và 72

Cách 2: Gọi số nhỏ là x (x N).Số lớn là : 136 - x

Thương của số nhỏ cho 4 là: 4x

Thương của số nhỏ cho 6 là: 1366 x

Theo bài ra ta có: 4x +1366 x = 28

 3x + 272 – 2x = 336

 x = 64 ( thoả mãn )

a

a

(thoả mãn )Vậy 2 số phải tìm là: 6 và 11

11

a a

Vậy hai số phải tìm là: 6, 11

Bài 5 :

Tìm 1 số có hai chữ số biết rằng nếu đem chia số đó cho tổng cácchữ số của nó thì được thương là 4 và dư là 3, còn nếu đem chia số đó chotích các chữ số của nó thì được thương là 3 và còn dư 5

Giải

Gọi số có hai chữ số đó là ab (a,b N )

Chia số đó cho tổng các chữ số của nó ta có:

ab = 4(a + b) + 3  10a + b = 4a + 4b + 3

 6a – 3b = 3 (1)

Đem chia số đó cho tích các chữ số của nó

ab = 3ab + 5  10a + b = 3ab + 5 (2)

Bài 6 :

Tìm phân số có đồng thời các tính chất sau:

a,Tử số của phân số là 1 số tự nhiên có 1 chữ số

b, Hiệu giữa tử số và mẫu số bằng 4

c, Nếu giữ nguyên tử số và viết thêm vàobên phải của mẫu số một chữ sốđúng bằng tử số thì ta được 1 phân số bằng phân số 1/3

a

) 4 (  = 13 

a a

a



 40

10 = 31 

40

11 a

a

= 31  3a = 11a - 40

8

b a b a

giải hệ ta được : a = 24

b = 8  b = 16

x y y x

Giải hệ được: x = 100

Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số.biết rằng chữ số tận cùng của nó bằng

4, và nếu chuyển chữ số 4 đó lên vị trí của số đầu tiên thì số phải tìm tănggấp 4 lần

Giải

Gọi số phải tìm là: abcde4

Chuyển chữ số 4 lên vị trí đầu ta có: abcde4 4 = 4 abcde

Cho n số nguyên dương (không nhất thiết khác không ), trong đó có số68.Trung bình cộng của n số đó bằng 56.Khi bỏ số 68 đó đi thì trung bìnhcộng của n – 1 số còn lại là 55.

a Tìm n

b Số lớn nhất trong n số đã cho có thể bằng bao nhiêu?

Giải

Số nguyên dương phải tìm là : n (n Z )

Do khi bỏ số 68 đi thì trung bình cộng của n số bằng 55 ta có pt :

Tổng của 13 số = 56 13 = 728

Trong 13 số có 1 số 68 Tổng của 12 số còn lại = 728 – 68 = 660

Số lớn trong 12 số con lại đạt được nếu 11 số bằng 1

Khi đó số lớn nhất = 660 – 11 = 649

III, D¹NG TO¸N CHUYÓN §éng:

Bài1 :

Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35km/h Sau đó

24 phút, trên cùng một tuyến đường đó, một ôtô xuất phát từ Nam Định đi

Hà Nội với vận tóc 45km/h Biết quãng đường Nam Định – Hà Nội dài90km Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau?

Giải:

- Gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau là x (h).Điều kiện thích hợp của x là x>52

- Trong thời gian đó, xe máy đi được quãng đường là 35x (km)

Vì ôtô xuất phát sau xe máy 24 phút (tức là 52 h) nên ôtô đi trong thời gian

là x- 52 (h) và đi được quãng đường là 45 (x - 52 ) (km)

Đến lúc hai xe gặp nhau, tổng quãng đường chúng đi được đúng bằngquãng đường Nam Định – Hà Nội (dài 90km) nên ta có phương trình:

Một ôtô du lịch từ A đến B với vận tốc 50km/h, 24 phút sau khi khởi hànhvận tốc giảm đi 10km/h do đó B chậm mất 18 phút Tính quãng đường từ Ađến B.

Giải:

- Gọi độ dài quãng đường từ A đến B là x (km) Điều kiện x> 0

- Sau 24 phút (tức 52 giờ ) ôtô đi được quãng đường là 52 50 = 20 (km)

- Nếu cứ đi với vận tốc 50km/h ôtô đi từ A đến B mất 50x giờ

- Nhưng quãng đường còn lại là x – 20 (km) ôtô đi với vận tốc giảm10km so với ban đầu nên đến B chậm 18 phút (tức 103 giờ) nên ta cóphương trình:

10 50

- Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn Vậy vận tốc của canô là 18 (km/h)

Bài 4:

Một ôtô khởi hành từ bến đi với vận tốc 40 km/h Sau 30 phút saucũng tại bến đó ôtô thứ 2 đi với vận tốc 60 km/h đuổi theo ôtô thứ nhất.Tính thời gian ôtô thứ 2 đuổi kịp ôtô thứ nhất

Giải:

- Gọi thời gian để ôtô thứ hai đuổi kịp ôtô thứ nhất là t (giờ) (t>0)

- Khi bị ôtô thứ hai đuổi kịp ôtô thứ nhất đã khởi hành được thời gian là

2

1

+ t (giờ) và quãng đường đi được là ( 21 + t)40 (km)

- Khi đó quãng đường của hai xe đã đi được là bằng nhau nên ta cóphương trình:

- Gọi O là địa điểm hai người bắt đầu xuất phát, A là địa điểm người đi

về phía bắc tới sau 2 giờ, B là địa điểm người đi về phía đông tới sau 2 giờ, A

- Gía trị x=18 thoả mãn điều kiện của ẩn.

- Vậy vận tốc của người thứ hai là: 18km/h, vận tốc của người thứ nhấtlà: 18+6=24(km/h)

Bài 6:

Một canô đi xuôi dòng 44 km rồi ngược dòng 27 km hết tất cả 3 giờ

30 phút Biết vận tốc thực của ca nô là 20km/h Tính vận tốc dòng nước

Khi đuổi kịp xe thứ nhất quãng đường xe thứ 3 đi được bằng quãng đường

xe thứ nhất đi được nên ta có phương trình :

(21 + t)40 = vt (1) Vận tốc của xe thứ hai là 114 40 = 50 (km/h)

Từ khi bắt đầu khởi hành đến khi xe thứ 3 đuổi kịp xe thứ 2 đã đi đượcthời gian là21 + t + 23 (giờ)

Thời gian xe thứ ba từ lúc bắt đàu khởi hành đến khi đuổi kịp xe thứ hai là

t=1 thay vào (*)

2(1 2)50

60 2.1 3

Gọi quãng đường AC, CB lần lượt là S1 và S2,với S1>0,S2>0

Người đi xe đạp từ A đến B mất 4 giờ 20 phút(tức 133 giờ) mà thời gianngười đó đi từ A đến C là 10S1 (giờ), thời gian người đó đi từ C đến B là

Người đi xe đạp đi từ B về A mất 4 giờ mà thời gian người đó đi từ B đến

C là 10S2 (giờ), thời gian người đó đi từ C đến A là 15S1(giờ) Nên ta cóphương trình: 15S1 + 10S2 = 4 (2)

Giải hệ phương trình trên ta được S1 = 30, S2 = 20

Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn, vậy quãng đường AC dài là 30

km, quãng đường CB dài là 20 km

- Gọi chiều dài của khúc sông AB là y (km), y>0

- Thời gian để canô thứ nhất đi từ A đến B là 3



x

y

(giờ)

- Thời gian để canô thứ hai đi từ A đến B là x y (giờ)

- Thời gian để canô thứ ba đi từ A đến B là 3



x

y

(giờ)

- Canô thứ nhất về tới B sau canô thứ nhất 2 giờ nhưng trước canô thứ

ba là 3 giờ nên ta có hệ phương trình:

2

3 3

15 180

x y

Vậy chiều dài đoạn sông AB là 180 km

IV DẠNG TOÁN NĂNG XUẤT:

Bài 1:

Hai đội công trình giao thông được giao sửa chữa một con đường.Đội I làm trong 5 ngày rồi giao lại cho đội II thực hiện tiếp Sau khi đội II

làm được 4 ngày người ta thấy khi đó cả hai đội mới hoàn thành được 40%công việc cần làm Nếu khả năng thực hiện công việc không thay đổi,người ta tính rằng để hoàn thành khối lượng công việc còn lại cả hai độiphải cùng làm trong 5 ngày rồi riêng đội II làm thêm 3 ngày nữa Hỏi nếumỗi đội làm riêng một mình thì trong bao nhiêu ngày sửa chữa xongđường?.

Bài 2:

Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ.Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1 ha làbao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa

cũ là 1 tấn

Giải

Gọi năng suất trên 1 ha lúa giống mới là x (tấn), của lúa giống cũ là y (tấn);

x > 0, y > 0

Năng suất lúa giống mới trên 60 ha là: 60x (tấn), 3 ha là 3x (tấn)

Năng suất lúa giống cũ trên 40 ha là: 40y (tấn), 4 ha là 4y (tấn)

Bài 3:

Hai công nhân cùng sơn của cho một công trình trong bốn ngày thìxong việc Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ

hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi người làm

một mình thì bao lâu xong việc?

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

1 1 1

4

10 1 12

x y x

x y

Vậy: Người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày thì xong việc

Người thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì xong việc

Bài 4:

Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong(vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển) Nếu người thứ nhất làmtrong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây được 3

4 bứctường Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường?

Giải

Gọi thời gian người thứ nhất xây một mình xong bức tường là x (giờ) x > 0,thời gian người thứ hai xây một mình xong bức tưòng là y (giờ) y > 0.Coi toàn bộ công việc như một đơn vị công việc

Trong 1 giờ người thứ nhất xây được 1x (bức tường), người thứ hai xây

được 1y (bức tường).

Vì cả hai người cùng xây thì trong 7 giờ 12 phút hay 36

5 giờ họ xây xongbức tường nên trong 1 giờ cả hai người xây được 365 (bức tường)

Do đó ta có phương trình: 1 1 5x y 6 (1)

Nếu người thứ nhất xây trong 5 giờ và người thứ hai xây trong 6 giờ thì họxây được 5 6 3x y 4 (2)

x y

Giải

Gọi thời gian một cần cẩu lớn làm một mình xong việc là x (giờ), x > 0;Gọi thời gian một cần cẩu bé làm một mình xong việc là y (giờ), y > 0.Theo đầu bài hai cần cẩu lớn làm trong 6 giờ, còn năm cần cẩu bé làmtrong 3 giờ thì xong việc Do đó ta có phương trình 12 15 1

Vậy: Một cần cẩu lớn làm một mình trong 24 giờ thì xong việc

Một cần cẩu bé làm một mình trong 30 giờ thì xong việc

Bài 6:

Một hợp tác xã xe khách dùng 15 xe nhỏ và 10 xe lớn thì vận chuyểnđược 690 khách Nếu hợp tác xã rút bớt 10 xe nhỏ và tăng thêm 4 xe lớn đểvận chuyển hành khách thì số lượng khách được vận chuyển tăng thêm 20người Hỏi mỗi loại xe chỗ được bao nhiêu người? Biết rằng lượng kháchtrên mỗi xe trong các lần vận chuyển đều đủ số chỗ theo quy định

Giải

Gọi x, y theo thứ tự là số chỗ ngồi trên một xe nhỏ, trên một xe lớn

Điều kiện x, y > 0, x, y nguyên

Theo bài ra ta có hệ phương trình: 155x x 1410y y 710690

Bài 7:

Hai người thợ A và B cùng lát nền nhà trong 5 giờ Sau đó A làmthêm 1 giờ nữa thì lát xong nền nhà Nếu hai người cùng làm trong 4 giờthì B còn phải làm thêm 2 giờ 40 phút nữa mới lát xong nền nhà Hỏi mỗingười lát một mình thì phải làm trong bao nhiêu giờ?

Giải

Gọi thời gian để thợ A và B lát riêng một mình xong nền nhà theo thứ tự làx(giờ), y (giờ)

Trong 1 giờ thợ A, B lát lần lượt được số công việc là 1 1x y ,

Theo bài ra ta có hệ phương trình:





 Vậy thời gian lát xong nền nhà của thợ A là 12 giờ, thợ B là 10 giờ

Bài 8:

Một xưởng may phải may xong 3000 áo thun trong một thời gian

quy định Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may đượcnhiều hơn 6 áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch Vì thế

5 ngày trước khi hết thời hạn, xưởng đã may được 2650 áo Hỏi theo kếhoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo?

Giải

Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là (x x N x , 0)

Thời gian quy định may xong 3000 áo là 3000x (ngày)

Số áo thực tế may được trong 1 ngày là x 6 (áo)

Thời gian may xong 2650 áo là 2650x 6 (ngày)

Vì xưởng may xong 2650 áo trước khi hết hạn 5 ngày nên ta có phươngtrình

x  không thoả mãn điều kiênl của ẩn.

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong 100 áo

Bài 9:

Một ấp dự kiến thu hoạch xong 200 hecta lúa trước tháng 8 Được tinbáo lũ về sớm nên người ta đã cố gắng thu hoạch nhanh hơn so với kếhoạch mỗi ngày 5 hecta Do đó việc thu hoạch hoá sớm hơn dự kiến 2ngày Hỏi theo dự kiến mỗi ngày ấp thu hoạch bao nhiêu hecta lúa?

Giải

Gọi x (hecta) là diện tích lúa thu hoạch mỗi ngày theo kế hoạch Điều kiện

x > 0

Thời gian thu hoạch theo kế hoạch là 200x ngày

Thời gian thu hoạch trên thực tế là x 2005ngày

Theo bài ra ta có phương trình: 200 200 2

Hỏi nếu làm riêng biệt thì để xúc hết lượng đất nói trên mỗi máy xúc trong bao ngiêu ngày?

Giải

Gọi x (ngày) là thời gian máy thứ nhất xúc hết một nửa lượng đất thì 9 x

(ngày) là thời gian máy thứ hai xúc một nửa lượng đất Điều kiện 0 x 9.Khi đó ta có 2xlà số ngày máy thứ nhất xúc hết số đất, 2(9 x) là thời gianmáy thứ hai xúc hết số đất

Trong 1 ngày máy thứ nhất xúc được 12x , máy thứ hai xúc được 18 2x1lượng đất.

Theo bài ra ta có phương trình: 1 1 1



2

( 9) 18.4 9 3

là 1 ngày Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày xưởng sản xuất được bao nhiêu khốiđá?

Giải

Số ngày phải sản xuất theo kế hoạch là 216x (ngày)

Số ngày xưởng sản xuất cao hơn định mức kế hoạch là 232 3x 8x

 (ngày).Theo bà ra ta có phương trình: 216 232 3 4

Giải phương trình này ta được các nghiệm: x 1 24(nhận), x 2 27(loại).

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xưởng sản xuất 24m3 đá

Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là x (ngày), x > 0

Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian mộtmình đội II làm xong việc là x + 6 (ngày)

Mỗi ngày đội I làm được 1

x (công việc)Mỗi ngày đội II làm được 1

6

x  (công việc)Mỗi ngày cả hai đội làm được 1

4 (công việc)

Ta có phương trình:1 1 1

6 4

x x Giải pt ta được: x1= 6, x2= -4 (loại)

Vậy: Một mình đội I làm trong 6 ngày thì xong việc;

Một mình đội II làm trong 12 ngày thì xong việc

Bài 13:

Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 tấn than trong một thời gian nhấtđịnh Ba ngày đầu, mỗi ngày đội khai thác theo đúng định mức Sau đó,mỗi ngày họ đều khai thác vượt định mức 8 tấn Do đó họ đã khai thác vượtđịnh mức 232 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày Hỏi theo kế hoạch mỗingày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?

Lượng than khai thác được trong 3 ngày đầu là 3x (tấn)

Do đó lượng than khai thác được trong những ngày còn lại là 232-3x (tấn) Mỗi ngày sau đội khai thác được x + 8 (tấn)

Thời gian đẻ khai thác 232- 3x tấn than là 232 3

8

x x

Giải phương trình ta được x1= -72 (loại), x2 = 24

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày đội thợ phải khai thác 24 tấn than

 tuổi của em tôi hiện nay là 26-x.

Giả sử đến y năm nữa thì tổng số của chúng tôi bằng 5 lần tuổi tôi hiện nay.Khi đó tuổi tôi sẽ là: x + y, tuổi của em tôi sẽ là: 26-x+y

 Tổng số tuổi 2 người lúc đó là: x + y + 26- x + y =26 + 2y

Theo đầu bài khi đó tổng số tuổi 2 người bằng 5 lần tuổi tôi hiện nay do đó









 thỏa mãn điều kiện đầu bài

Vậy năm nay tôi 14 tuổi còn em tôi 12 tuổi

Bài 2:

47 học sinh nam và nữ về dự hội nghị “ học sinh xuất sắc “ Người

ta hỏi tất cả các bạn nữ rằng bạn quen bao nhiêu bạn nam?

Đào nhận ra mình quen 16 bạn nam

Lê nhận ra mình quen 17 bạn nam

Mận nhận ra mình quen 18 bạn nam

Cứ như thế mỗi bạn nữ sau lại quen nhiều hơn bạn nữ trước 1 bạn nam Cuối cùng Cam quen tất cả các bạn nam Tính xem có bao nhiêu nam bao nhiêu nữ

Giải:

Cách 1:

Gọi x là số bạn nữ 0<x<47

Đào quen 15+1 bạn nam

Lê quen 15+2 bạn nam

Đào quen 15 +1 bạn nam

Lê quen 15 +2 bạn nam

Vì x bạn nữ nên Cam quen 15 +x bạn nam

Vậy số bạn nam sẽ là:15 + x = y (2) bạn nam

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

47 15