Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc LT Tổng hợp Giới hạn của Hàm sốCHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ – HÀM SỐ LIÊN TỤC A.. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1.. Định nghĩa Định nghĩa 1 Xét hàm số y = fx xác định
Trang 1Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc LT Tổng hợp Giới hạn của Hàm số
CHUYÊN ĐỀ
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ – HÀM SỐ LIÊN TỤC
A TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1 Định nghĩa
Định nghĩa 1
Xét hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a; b) chứa x0 (có thể không xác định tại x0) Trong khoảng (a; b) ta có thể lấy dãy { xn}, xn ¹ x ( n0 " Î Z, n ³ 1) sao cho
nlim x x
¥
® = Số L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến dần về x0 nếu
nlim x x
¥
® = thì nlim f(x )n L
¥
® = Ký hiệu xlim f(x)®x0 = L
Định nghĩa 2
Số L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến dần về x0 nếu
0
" >e $d> < - < dÞ - < e
3
e
- < eÛ - < eÛ - < . Nghĩa là với " >e 0, chọn 3e
=
d thì 0 < x - 2 < dÞ f(x)- 4 < e
Vậy lim(3xx®2 - 2) = 4
Ví dụ 2 Xét hàm số
2
y
-=
- khi x ® 1 Hàm số không xác định tại x = 1, nhưng khi x ¹ 1 ta có:
2
Nghĩa là với " >e 0, chọn $d= e: 0< x- 1 < d Þ y- 2 < e
Vậy
2
x 1
®
-=
2 Các định lý cơ bản
Định lý 1
Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x tiến dần về x0 thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý 2
Nếu các hàm số f(x), g(x) có giới hạn khi x tiến dần về x0 thì
i) xlim f(x)x0[ g(x)] xlim f(x)x0 xlim g(x)x0
ii) xlim f(x).g(x)®x0[ ] = xlim f(x) lim g(x)®x0 x®x0
0
x x
x x
lim f(x) f(x)
g(x) lim g(x)
®
®
4i)
xlimx f(x) xlim f(x) (f(x)x 0)
Trang 2Định lý 3
Mọi hàm số sơ cấp f(x) xác định trong khoảng chứa x0 thì xlim f(x)x0 f(x )0
Định lý 4 (giới hạn kẹp giữa)
Nếu xlim h(x)®x0 = xlim g(x)®x0 = L và h(x) £ f(x)£ g(x) với mọi x thuộc khoảng chứa x0 thì xlim f(x)x0 L
3 Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số
Định lý 5
i) Nếu xlim f(x)®x0 = 0 và f(x)> 0 khi x đủ gần x0 thì
0
x x
1 lim f(x)
ii) Nếu xlim f(x)®x0 = 0 và f(x) < 0 khi x đủ gần x0 thì
0
x x
1 lim f(x)
Định nghĩa 3
Số L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến dần về vô cực nếu:
" >e " > > Þ - < e Ký hiệu xlim f(x) L
¥
Định nghĩa 4
i) Số L được gọi là giới hạn bên phải của f(x) khi x tiến dần về x0 (x > x0) nếu
0
" >e $d> < - < dÞ - < e Ký hiệu xlim f(x)x0+ L
ii) Số L được gọi là giới hạn bên trái của f(x) khi x tiến dần về x0 (x < x0) nếu
0
" >e $d> - d< - < Þ - < e Ký hiệu xlim f(x)x0- L
Định lý 6
xlim f(x)x L xlim f(x)x+ xlim f(x)x- L
Ví dụ 3 Cho hàm số
sin 2x
x f(x)
ïï
ïî
neáu
Tìm m để f(x) có giới hạn khi x ® 0
Giải
xlim f(x)0+ xlim0+ x m m
Vậy m = 2
4 Phương pháp giải toán (các quy tắc khử dạng vô định)
0
n
0 n
Trang 3
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc LT Tổng hợp Giới hạn của Hàm số
2
x
Vậy
x 1
®
=
ii) Dùng lượng liên hợp
=
-3
x 2
lim
®
ç
2
2 2
lim
®
ï
2
ü
ï
2
lim
®
lim
®
x 2
lim
24
®
=
4.2 Dạng ¥¥
Ta chia tử và mẫu cho xn (n là bậc cao nhất của tử và mẫu)
4 4
4
x 3 1
2x 2
x
= +
+
( )
4
4 x
3 1
3
lim
32 1
2 2
x
¥
®
+
Vậy
4 x
lim
32 2(2x 1)
¥
®
=
4
3
4
x 1
+
+
Vậy
3 x
lim
¥
®
-= ¥
5
5
5
x
x
Trang 4Vậy
5 x
¥
®
=
Ví dụ 9
2
2
2
x
=
4
x
2
2 2
x
¥
®
+
Vậy
2 x
lim
2
¥
®
=
Ví dụ 10
1
x
= +
+
2
x
lim
2 x
- ¥
®
-+
x
lim
- ¥
®
=
4.3 Dạng ¥ - ¥ Ta dùng lượng liên hợp.
+ ¥
x
lim
+ ¥
®
-=
1 3
2
+ +
x
3
2 + ¥
2
2
xlim 2 1 0
+ ¥
®
+ ¥
xlim x 1 x
- ¥
® + - không phải dạng vô định vì
Trang 5Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc LT Tổng hợp Giới hạn của Hàm số
2
2
x 2 x
2
2 1
x
x
1
2 + ¥
, , , 0 , 0 , , 1 0
¥
¥
¥
Kết quả cần nhớ:
1 x
x 0
1
x
¥
Định lý 7 (quy tắc L’Hopital) (chỉ dùng trong trắc nghiệm)
Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trong khoảng chứa x0 thỏa các điều kiện:
i) xlim f(x)x0 xlim g(x)x0 0
® = ® = hoặc xlim f(x)x0 xlim g(x)x0
ii) g (x)/ ¹ 0 với mọi x thuộc khoảng chứa x0
iii)
0
/
/
x x
f (x)
g (x)
thì
/
/
Chú ý:
i) Định lý vẫn đúng cho các trường hợp x ® x0 ±, x ® ±¥
ii) Có thể áp dụng quy tắc L’Hopital nhiều lần
2
-+ +
-
x 2
lim
24
®
=
0)
2 1 t g 2x
t g2x
+
Vậy limx 0t g2x 2
x
0)
Vậy
3
x 0
x
x sin x
ln x
x + ¥
Trang 6Ví dụ 18 (dạng 0.¥ ) ( ) ( )
2 2
2
2 x
æ ö÷ ç
Vậy xlim x ln x®0+ ( 2 ) = 0
x 1 x 1
2
1
ln x
lim
A lim x+ ln A ln lim x+
( x) ( )
2
1
= xlim ( x)®0+ - = 0 Þ A =1 Þ xlim x®0+ x =1.
Vậy xlim x®0+ x = 1
B lim cot gx+ ln B ln lim cot gx+
( )
2 1
ln x
1 ln(cot gx) cot gx sin x
ln x
x
Vậy ( ) ln x1
x 0
1 lim cot gx
e
+
( ) 2 ( )
1 x
sin x
2
cos x 1
1 x cos x sin x sin x x
x 0 2 x 0
2 ® 2x sin x x cos x 2 ® 2 sin x x cos x
+ +
1 1
x 6
6
Cách khác:
Trang 7Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc LT Tổng hợp Giới hạn của Hàm số
1 x
x 0
sin x
x
®
sin x x
x 0 3 x 0 2 x 0 x 0
sin x x cos x 1 sin x cos x 1
1 x 6
x 0
lim
II HÀM SỐ LIÊN TỤC
1 Định nghĩa 1
Xét hàm số f(x) có MXĐ D Ì ¡
i) Điểm x0 Î D được gọi là điểm tụ của D nếu tồn tại dãy { xn} Ì D \ x{ 0} sao cho
x ® x Điểm x0 Î D không phải là điểm tụ của D được gọi là điểm cô lập của D. ii) Nếu điểm x0 Î D là điểm cô lập của D thì ta quy ước f(x) liên tục tại x0.
iii) Nếu điểm x0 Î D là điểm tụ của D thì f(x) liên tục tại x0 khi xlim f(x)x0 f(x )0
Ta có x = 2 là điểm cô lập của f(x) và f(x) liên tục tại x = 2
Tại x0 Î (- ¥ ; 1] thì
xlim f(x)x f(x )
® = nên f(x) liên tục
Nhận xét: Hàm số f(x) = x2 - 3x + 2 + 2- x liên tục tại x = 2 nhưng không có giới hạn tại x = 2
2 Định nghĩa 2
i) f(x) liên tục bên phải x0 nếu xlim f(x)x0+ f(x )0
ii) f(x) liên tục bên trái x0 nếu xlim f(x)x0- f(x )0
3 Định nghĩa 3
i) f(x) liên tục trên khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm x0 thuộc (a; b)
ii) f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b
Chú ý:
i) Hàm số sơ cấp xác định tại đâu thì liên tục tại đó
ii) Hàm số không liên tục tại x0 thì gọi là gián đoạn tại điểm x0
Ví dụ 25 Xét sự liên tục của hàm số
2
x
ln x f(x)
ïï
ïïî
neáu neáu tại x = 0.
Giải
Ta có:
Trang 8x 0 x 0 x 0
1
ln x
x
2
xlim f(x)0- xlim (x0- 2x) 0 f(0) lim f(x)x 0 f(0)
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 0
Ví dụ 26 Xét sự liên tục của hàm số
2
x 2
x f(x)
ïï
ïïî
neáu
Giải
Với mọi x ¹ 0 ta có hàm số
2
x 2
f(x)
x
-= xác định nên liên tục
Tại x = 0, ta có:
2
x 2
2x x
Vậy hàm số f(x) liên tục trên ¡ \ 0{ } hay gián đoạn tại x = 0.
4 Định lý (điều kiện để phương trình có nghiệm trong khoảng (a; b))
Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thỏa f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có
nghiệm trong khoảng (a; b) (ngược lại không đúng).
Giải
Xét hàm số f(x) = x3 + mx2 - 1 liên tục trên ¡ và f(0) = - 1< 0
Mặt khác
xlim f(x)®+ ¥ = + ¥ Þ$ b > 0 : f(b) > 0 Þ f(0).f(b) < 0.
Vậy phương trình (*) luôn có nghiệm thực dương thuộc khoảng (0; b)