Hệ phương trình đại số tuyến tính

Để giảm nhẹ khối lượng tính toán ta có 2 phương pháp giải: giải đúng và giải gần đúng: + Phương pháp giải đúng: là phương pháp cho lời giải sau một số hữu hạn bước.. Phương pháp này thư

i i

Khi n lớn thì khối lượng tính toán sẽ rất lớn Để giảm nhẹ khối lượng tính

toán ta có 2 phương pháp giải: giải đúng và giải gần đúng:

+) Phương pháp giải đúng: là phương pháp cho lời giải sau một số hữu hạn bước Phương pháp này thường để giải các hệ kích thước nhỏ với (A, b) cho đúng

+) Phương pháp giải gần đúng: là các phương pháp lặp cho nghiệm xấp xỉ

a

Lấy phương trình (2) của hệ (1.3) trừ đi pt (1').a21

Lấy phương trình (3) của hệ (1.3) trừ đi pt (1').a31

Lấy phương trình (4) của hệ (1.3) trừ đi pt (1').a41

Ta có hệ:

2,3,4

j j

32

4,5

j j

a

n + n− Giảm nhiều so với giải bằng phương pháp định thức

- Ưu điểm: thuật toán đơn giản, độ phức tạp thấp

- Nhược điểm: không thực hiện được khi trong các phần tử dẫn

11; 22; ; n

nn

a a a − có một phần tử bằng 0 hoặc khi phần tử dẫn xấp xỉ bằng 0 thì sai số rất lớn

x x x x

n n

322

31

2.3 Phương pháp Cholesky (Phương pháp căn bậc hai)

Nội dung: giải hệ Ax = b với điều kiện A là ma trận đối xứng (AT =A)

Ta biểu diễn A dưới dạng: A = S S T

n n

ij n n nn

s s

ij

ii

a s s

i j s

T

S y = bS.x = y

Ta biểu diễn A dưới dạng A = ST.S

211111

a s a a s a

ii

a s s

i j s

00

s s

1 1 1

y y y

6 2 1

x x x

x x x

n

b b b

⇔ = + (1.8)

Chọn Xo=

1 2

0

o o

k k

k n

x x x

Thì được gọi là dãy nghiệm xấp xỉ của phương pháp lặp đơn

Vấn đề là khi nào thì xk → α khi k→ ∞?

Theo nguyên lí của ánh xạ co tồn tại duy nhất α sao cho : Tα =α

⇔ α=Bα+ g và mọi dãy lặp TXk+1=TXk+ g (xo tuỳ ý ) hội tụ tới α

*) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp lặp đơn với ba bước lặp

0,19

ij j

0, 27

ij j

0,978 1,002 1,56

k

x x x

Vậy nghiệm gần đúng là

3 1

3 2

3 3

0,89 10 1,004 10 1,563 10

x x x

1

1, 2 0 1,5 2,5 27, 46

21, 2 1 2,1 1,5 0 1,3 28,76 19,8

1 0,9 2,5 1,3 49,72 32,1

0, 24

ij j

b

=

4 1

0, 25

ij j

b

=

4 1

0,15

ij j

4 4 4

0, 25 6.10 ; 6.10 2.10

4 2

4 3

4 4

i j ii

b x a

≠

Ta được hệ X= BX + g với i

i ii

b g a

a b

5 1

0 4 5

0,16 0,026667

0, 4176 0,026667

0, 6672 0,026667

x x x

Trong đó B1 = 12

0 0 0

0 0

n

α α α α

4 GIẢI HỆ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BẰNG MAPLE 12 VÀ

LẬP TRÌNH PASCAL 4.1 Chương trình Pascal giải hệ đại số tuyến tính

( lưu vào B.PAS )

*) Ví dụ 9: Giải hệ đại số tuyến tính A x = u trong đó

Như vậy khi sử dụng Pascal trong Ví dụ này chỉ cho ta 1 nghiệm

riêng của hệ Còn sử dụng Maple 12 ta biết được nghiệm tổng quát của hệ

Tuy nhiên đối với hệ có nghiệm cụ thể thì sử dụng Pascal việc nhập

ma trận chính xác hơn và cho kết quả nhanh hơn sử dụng Maple 12 Ta xét

tiếp ví dụ 10 sau đây

*) Ví dụ 10: Giải hệ đại số tuyến tính A x = u trong đó

(Đây là nghiệm tầm thường của hệ)

Trong thực tế, đặc biệt là trong kĩ thuật nhiều khi ta phải giải các

hệ đại số tuyến tính mà số liệu không phải là các số nguyên mà là các số thập phân Khi đó nếu giải hệ bằng tay thì việc tính toán sẽ gặp nhiều vất vả Các ví dụ sau cho thấy tính ưu việt của lập trình Pascal và Maple 12.

*) Ví dụ 12: Giải hệ đại số tuyến tính A x = u trong đó