Viết phương trình mặt phẳng Q chứa d và tạo với mặt phẳng P góc nhỏ nhất.. Khi ấy thì d’ vuông góc với d.. Mặt phẳng Q cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’.. Ta xét hai trường hợp của A...
Trang 1BÀI TOÁN 5 (CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ) Bài Toán Minh Hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: y 1 z 3
2
1
x+ = + = − và mặt phẳng
(P):x+2y-z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất
Lời giải tham khảo Cách 1: Phương pháp hình học:
Gọi d’= (P)∩(Q) và A=d ∩(P) thì A ∈d’.Lấy K ∈d,kẻ KH ⊥(P) và HI ⊥d’thì :
KIH∧ =(P,Q)=α Trong tam giác vuông KIH :
HI
KH tanα= , do KH không đổi nên:
tan α nhỏ nhất ⇔HI lớn nhất ⇔ I A≡ (do HI ≤ HA)
Khi ấy thì d’ vuông góc với d Vậyd’đi qua A vuông góc với d và nằm trong (P)
Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’
VTCP của d là →u =(2;1;1); VTPT của (P) là n (1;2; 1)
P −
→
suy ra VTCP của d’ là
u' u , nP =(−3;3;3) hay u' =(1;−1;−1)
= → → →
→
Do đó VTPT của mặt phẳng (Q) là:
nQ u , u' =(0;3;−3) hay nQ =(0;1;−1)
= → ← →
→
Điểm M(-1;-1;3)∈d ⇒M ∈(Q)
Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = 0
y-z+4 = 0 Cách 2: Phương pháp giải tích
Đặt phưong trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = 0 (A2 +B2 +C2 ≠0)
M(-1;-1;3) ∈d ; N(1;0;4) ∈d ⇒M;N ∈(Q) Ta được:
+
=
−
−
=
B 4 A 7 D
B A 2 C
Do đó (Q): Ax+By+(−2A−B)z+7A+4B=0 VTPT của (Q) là n (A;B; 2A B)
Q = − −
→
Ta có VTPT của mặt phẳng (P) là : n (1;2; 1)
P = −
→
Gọi α là góc giữa (P) và (Q) thì:
AB 4 B 2 A 5
B A
6
3 n
n
n n cos
2 2 Q
P
Q P
+ +
+
=
=
α
→
→
→
→
Ta xét hai trường hợp của A
Trường hợp 1: A=0 Ta được cos α=
2
3 B
2
B 6
3
2 =
Trường hợp 2: A ≠0 Ta có
+
+
+
= α
A
B 4 A
B 2 5
A
B 1
6
3 cos
2
Trang 2Xét hàm số: f(x) = (x) cos )
A
B x ( 5 x 4 x 2
1 x x 6
2
2
α
=
= +
+
+ +
( 2 )2
5 x x 2
6 x 6 6
9 ) x ( ' f
+ +
+
= f’(x) = 0 ⇔ x= -1.
Vậy cos2α <
4
3
2
3 cosα<
⇒
6
π
>
α
⇒ ( Do hàm cosin x nghịch biến trên đọan π0;2 )
Trường hợp (1) và (2)
6 minα = π
Khi ấy thì A=0 , ta chọn B=1 ⇒ C= =1 và D= 4.
Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 = 0
Hết
Ghi Chú:
1/ Có thể xét hai trường hợp B=0 ; B 0≠ ( Hoặc xét hai trưòng hợp A+B=0 ; A+B 0≠
như sách Bài tập nâng cao lớp 12 trang 240 )
2/ Bài toán 6: Cho hai điểm A;B và đường thẳng d Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B là :
a) Lớn nhất b) Nhỏ nhất
f’(x) f(x)
0
0 4
3
4 3