So tay Toan cap ba

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos... Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx... Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :... PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:... Định nghĩa : Hình

Nguyễn Lê Nguyên

SỔ TAY

TOÁN CẤP III

NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT

Ax = B

 A  0 : phương trình có nghiệm duy nhất x=

B A

 A = 0 và B  0 : phương trình vô nghiệm

 A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm

Ax > B

 A > 0 : x>

B A

 A < 0 : x<

B A

 A = 0 và B  0 : vô nghiệm

 A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm

a – b + c = 0 : nghieäm x1 = –1, x2 = −

c a

NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC

f(x) = ax + b ( a  0)x

–  −

b

a +

f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a

f(x) = ax2 + bx + c ( a  0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)

f(x) < 0, x  −

b 2a

 > 0 x –  x1 x2 +

f(x) cùng 0 trái 0 cùng

dấu a

NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI

VỚI CÁC SỐ

Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a  0) và ,  là hai số thực

1/ Muốn có x1 <  < x2 ta phải có af(x) < 0

2/ Muốn có x2 > x1 >  ta phải có { Δ>0 ¿ { af(α)>0 ¿¿¿¿

3/ Muốn có x1 < x2 <  ta phải có { Δ>0 ¿ { af(α)>0 ¿¿¿¿

4/ Muốn có x1<  <  < x2 ta phải có { af(α)<0 ¿¿¿¿

5/ Muốn có x1<  < x2 < ta phải có { af(α)<0 ¿¿¿¿

1/ Muốn có x1 < 0 < x2 ta phải có P < 0

2/ Muốn có x2 > x1 > 0 ta phải có { Δ>0 ¿ { P>0 ¿¿¿¿

3/ Muốn có x1 < x2 <  ta phải có { Δ>0 ¿ { P>0 ¿¿¿¿

Dấu đẳng thức xảy ra  a1 = a2 = a3 = = an

4/ BĐT Bunhia Côp ski :

Cho a1, a2, a3, , an, b1, b2, b3, , bn là những số tực khi đó:

| A+B|≤|A|+|B|

Đẳng thức xảy ra  AB  0

A HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )

1/ Sin 2 x+Cos 2 x=1

2/ Tanx=

Sinx Cosx

3/ Cotx=

Cosx Sinx

 Sinx là – 1  Sinx  1

 Cosx là – 1  Cosx  1

Tana+Tanb 1−TanaTanb

12/ Tan( a−b )=

Tana−Tanb 1+TanaTanb

13/ Cot (a+b)=

CotaCotb−1 Cota+Cotb

14/ Cot (a−b)=

CotaCotb+1 Cota−Cotb

C CÔNG THỨC NHÂN

I NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)

15/ Sin 2 a=2 SinaCosa

16/ Cos 2 a=2 Cos 2 a−1=1−2 Sin 2 a=Cos 2 a−Sin 2 a

17/ Tan2 a=

2 Tana 1−Tan 2 a

II NHÂN BA : ( 3 công thức)

18/ Cos 3a=4Cos 3 a−3 Cosa

19/ Sin 3a=3 Sina−4 Sin 3 a

IV GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức)

25/ Sinx=

2 t 1+t2

26/ Cosx=

1−t21+t2 , với t=Tan

33/ Tana−Tanb=

Sin(a−b) CosaCosb

34/ Cota+Cotb=

Sin(a+b ) SinaSinb

38/ SinaCosb=

1

2[Sin(a−b )+Sin(a+b)]

F CUNG LIÊN KẾT :

Cos đối Cos(–) = Cos ; Sin(–) = – Sin

Sin bù Sin( – ) = Sin ; Cos( – ) = – Cos

Phụ chéo Sin(/2 – ) = Cos ; Cos(/2 – ) = Sin

Khác  Tan Tan( + ) = Tan ; Cot( + ) = Cot Sai kém / 2 Sin(/2 + ) = Cos ; Cos(/2 + ) = – Sin

A CƠ BẢN :

B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos

Ta có

Sin( x+α )= c

√ a2+ b2 (*)(*) Có nghiệm khi

Vào phương trình  t ?

 x ?

C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

1/ Đối với một hàm số lượng giác:

Giả sử a 0

π

2+kπ )

2/ Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx

Dạng: aSin 2 x +bSinxCosx+cCos 2 x=0 (1)

Phương pháp :

Cách 1:

 Kiểm x = / 2 + k có phải là nghiệm của phương trình ?

 Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx

Cách 2:

Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và

SinxCosx= Sin2 x

2 thế vào

3/ Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:

Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)

Phương pháp: Đặt :

t=Sinx+Cosx=√2 Sin( x + π

4),|t|≤√2(∗) ⇔at +b t

2 +c=0  t ? ( nếu có)  x ?

D PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :

1/ Tổng bình phương :

 A2 + B2 + + Z2 = 0  A = B = = Z = 0

 A  0, B  0, , Z  0

Ta có : A + B + + Z = 0  A = B = = Z = 0

2/ Đối lập :

Giả sử giải phương trình A = B (*)

Nếu ta chứng minh { A≤K ¿¿¿¿

(∗)⇔ ¿ { A=K ¿¿¿

3/ { A≤l ¿ { B≤k ¿¿¿¿ ⇔ ¿ { A=l ¿¿¿

4/ | A|≤1,|B|≤1

AB=1⇔ ¿ { A=1 ¿¿¿ hay { A=−1 ¿¿¿¿

Tam giác thường ( các định lý)

Hàm số Sin 

a SinA=

b SinB=

c SinC=2 R

 a, b, c : cạnh tam giác

 A, B, C: góc tam giác

A

 ha: Đường cao tương ứng với cạnh a

 ma: Đường trung tuyến vẽ từ A

 R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác



p= a+b +c

Hệ thức lượng tam giác vuông:

Cho tam giác ABC :

1/ SinA +SinB+SinC =4 Cos

6/ Sin 2 A + Sin 2 B +Sin 2 C=2+ 2CosA CosB CosC

7/ Cos 2 A +Cos 2 B+Cos 2 C=1−2 CosA CosB CosC

Cos( A+B)=−CosC ; Sin

18

32

NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC

Định nghĩa 1:Hàm số y=f ( x) gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :

1/ f (x ) xác định tại điểm x = a

2/ limx →a f ( x )=f (a)

Định nghĩa 2: f (x ) liên tục tại điểm x = a

⇔ lim

x →a+

f ( x )= lim

f ( x )=f (a )

Định lý : Nếu f (x ) liên tục trên [a, b] và f (a).f (b )<0 thì

tồn tại ít nhất một điểm c (a, b) sao cho f (c)=0

1/ Định nghĩa : Cho a > 0, a  1 ( cố định) Hàm số mũ là hàm số

xác định bởi công thức : y = a x ( x  R)

2/ Tính chất :

a) Hàm số mũ liên tục trên R

b) y = a x > 0 mọi x  R

c) a > 1 : Hàm số đồng biến

a x1

<a x2

⇔x1¿x2

d) 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến

a x1

<a x2

⇔x1¿x2

Chú ý : a x1

<a x2

⇔x1=x2(0< a≠1 )

3/ Đồ thị :

(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1

NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT

1/ Định nghĩa :

a) Cho a>0 ,a≠1 , N >0

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : aM = N Ký hiệu : log a N = M

b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a  1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức: y = log a x ( với x > 0, a > 0, a  1)

2/ Tính chất và định lý cơ bản về logarit : Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn TC1 : loga N = M  aM = N TC2 : loga aM = M , aloga M =M TC3 : loga 1 = 0, log a a = 1 TC4 : loga (MN) = loga M + loga N TC5 : loga M N =loga M−log a N TC6 : Đổi cơ số loga N =logc N logc a ;loga b= 1 logb a 3/ Đồ thị : (a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1

0 x 0 x

4/ Phương trình Logarit : loga f ( x )=log a g (x )⇔ f ( x )=g (x )

( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a  1 )

5/ Bất phương trình Logarit :

loga f ( x )<log a g( x )(∗)

(∗)⃗ a>1 ¿ { f (x)>0 ¿¿¿

I/ Định nghĩa đạo hàm :

Cho hàm số y = f(x) , xác định trên ( a, b) , x 0  ( a, b) Ta nói

Δy

Δx khi Δx→0 tồn tại

 Cho y = f(x) xác định trên (a, b)

II/ Qui tắc tính đạo hàm :

1/ ( a+b+ .+c )'= a'+ b'+ +c'

2/ ( ab)'= a'.b+a.b'

( abc)'= a'.b.c+a.b'.c+a.b.c'

III/ Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :

= 1

xLna

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm x = c , c  (a, b): f(b) – f(a) = f ‘ (c) (b – a)

NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN

1/ Công thức NewTon _ Leibnitz :

∫

a

b

f ( x)dx=[F( x )]a b=F (b)−F (a ) với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b}

3/ Đổi cơ số :

g( x)dx

e ax b 1 ax b

z’ = r’(Cos + i.Sin) z, z’  0 z.z’ = r.r’[Cos( + ) + i.Sin( + )]

z

z '=

r

r '[Cos( α−β )+iSin(α−β )]

2/ MoaVrơ : [ r(Cos α +iSin α )]n= rn( Cosn α +iSinn α)

3/ Căn bậc n của số phức z = r.( Cos + i.Sin) :

A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

2/ Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A 2 + B 2  0)

 Pháp vectơ n→=( A,B)

 Vectơ chỉ phương a→=(− B , A) ( hay

11/ Góc của hai đường thẳng d 1 và d 2 :

Xác định bởi công thức :

Phương trình đường phân giác góc tù tạo bởi d1, d2

3/ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M( x0, y0)

(x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R2 ( Dạng 1)

x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0 ( Dạng 2)

Trục nhỏ, độ

Lý thuyết

Trục thực, độ

A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

 M x y z , ,   OM  x e1y e2z e3

 a( , , )a a a1 2 3  a a e a e 1 1 2 2a e3 3

 Cho ( , , ), ( , , )A x y z A A A B x y z B B B

1) AB(x B  x y A, B  y z A, B  z A)

2) AB (x B  x A)2(y B  y A)2(z B z A)2

3) Tọa độ trung điểm I của AB :

222

S    AB AC

1/ Phương trình tham số :

Cặp Vectơ chỉ phương ( VCP) a( , , ),a a a1 2 3 b( , , )b b b1 2 3

2/ Phương trình tổng quát : Ax + By + Cz + D = 0

 By + Cz + D = 0 song song trục ox

 Cz + d = 0 song song mp Oxy

 Ax + By + Cz = 0 qua gốc tọa độ

 By + Cz = 0 chứa trục ox

3/ Phương trình mặt phẳng qua M( x0, y0, z0) , có VTPT

( , , )



 là: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

4/ Phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn tên các trục tọa

Với m2 + n2 ≠ 0 và α cắt β

C PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

1/ Phương trình tham số :

Với: a( , , )a a a1 2 3 là Vectơ chỉ phương

2/ Phương trình tổng quát :

0:

0

A x B y C z D d

1/ Hai đường thẳng :

d qua M(x 0 , y 0 , z 0) có Vectơ chỉ phương a( , , )a a a1 2 3

d'qua N x y z( , , )0' 0' 0' có Vectơ chỉ phương b ( , , )b b b1 2 3

* d, d’ cùng nằm trong mặt phẳng a b MN, . 0

2/ Đường thẳng và mặt phẳng :

 d qua M(x 0 , y 0 , z 0) có Vectơ chỉ phương a( , , )a a a1 2 3

 mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyếnn ( , , )A B C

2/ Khoảng cách từ một điểm N(x’0, y’0, z’0) đến một đường

thẳng d qua M(x 0 , y 0 , z 0) và có VCP là a( , , )a a a1 2 3 là :

,

MN a a

DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

a b

d a a

d b b

a Nếu P // Q // R thì chúng sẽ chắn

tr6n hai cát tuyến bất kỳ a, bnhững đoạn thẳng tỉ lệ

' ' ' '

R Q P

b d

 Nếu a//b và a thì

 Nếu a thì bthì a//b

* Có hai mặt phẳng song songvà mỗi mặt chứa một đường14

H O

A'

B A



a a

C' B'

A'

C B

1/ Định nghĩa : Hình lăng trụ là

một hình đa diện có hai mặt nằmtrong hai mặt song song gọi làhai đáy và các cạnh không thuộchai đáy đều song song nhau

2/ Các loại :

* Hình lăng trụ đứng là hìnhlăng trụ có các cạnh bên vuônggóc với đáy

* Hình lăng trụ đều là hìnhlăng trụ đứng có mỗi đáy là đagiác đều

Ngoài ra còn có lăng trụ xiên

* STP = Sxq + 2Sđáy

* V = B.h

B : diên tích đáy

h : chiều cao19

D S

C B

A

HÌNH CHÓP 1/ Định nghĩa : Hình chóp là

một hình đa diện có một mặt làmột đa giác, các mặt còn lại đềulà những tam giác có chung mộtđỉnh

* Hình chóp đều là hình chóp cóđáy là một đa giác đều và cáccạnh bên đều bằng nhau

* Hình chóp cụt là phần của hìnhchóp nằm giữa đáy và một thiếtdiện song song với đáy

2/ S xq , S TP , V :

 Sxq của hình chóp và hìnhchóp cụt là tổng diện tíchtất cả các mặt bên củamỗi hình đó

V  h B B  B B

B, B’ : diện tích hai đáy

_ Hai cạnh OA và O’A’ vạchthành hai hình tròn bằngnhau gọi là hai đáy

_ Cạnh AA’ vạch thành mộtmặt tròn xoay gọi là mặtxung quanh của hình trụ_ OO’ gọi là trục hay đườngcao của hình trụ