Sổ tay toán cấp III doc

Các định lí về giới hạn của dãy Định lí 1 Điều kiện cần Nếu một dãy số có giới hạn thì dãy số đó bị chặn.. Định lí 2 tính chất duy nhất của giới hạn Định lí 3 Điều kiện đủ để dãy số có g

Tập hợp  

1 Mét sè kh¸i niÖm

+ TËp hîp A, chøa c¸c phÇn tö x, y, ,

A = {x, y, }, x  A, y  A

+ TËp hîp A chøa c¸c phÇn tö x tháa m·n ®iÒu kiÖn P.

A = {x\ x tháa m·n ®iÒu kiÖn P}

Lòy thõa

C¨n bËc n

Luü thõa vµ c¨n sè

+ Một số định nghĩa

* Luỹ thừa số mũ nguyên

* Luỹ thừa số mũ hữu tỉ

* Luỹ thừa số mũ vô tỉ

(a > 0, x là số vô tỉ > 0)

(xn) là dãy số gần đúng thiếu của x)

+ Các tính chất cơ bản của luỹ thừa

+ §Þnh nghÜa : n  N*, c¨n bËc n cña sè a lµ mét sè b sao cho bn = a, kÝ hiÖu lµ

* D·y sè cho bëi c¸ch m« t¶ c¸c sè h¹ng liªn tiÕp cña nã

* D·y sè cho bëi c«ng thøc truy håi ch¼ng h¹n d·y sè Phibonasi :

* D·y sè (Un) gäi lµ t¨ng nÕu n  N*, Un < Un + 1

* D·y sè (Un) gäi lµ gi¶m nÕu n  N*, Un > Un + 1

+ D·y sè bÞ chÆn

+ Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trớc nó với một

số không đổi khác 0 gọi là công sai

Mét sè c«ng thøc kh¸c cña d·y sè  

* LnN lµ logarit tù nhiªn (logarit c¬ sè e)

3 TÝnh chÊt cña logarit

4 §æi c¬ sè

5 Logarit thËp ph©n

+ §Þnh nghÜa

C«ng thøc :

(Qui íc 0! = 1)

+ §Þnh nghÜa

con cña A gåm k phÇn tö Sè tÊt c¶ c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö ký hiÖu lµ

+ C«ng thøc

+ TÝnh chÊt

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1

n = 6 1 6 15 20 15 6 1

n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1

n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

n = 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

n = 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Tam gi¸c Pascal  

Tk lµ sè h¹ng thø k + 1 cña khai triÓn nhÞ thøc :

Ph¬ng tr×nh

HÖ ph¬ng tr×nh

Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh

1 Một số khai triển

+ Đẳng thức f(x) = g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x, đợc gọi là phơng trình một ẩn số, x

là ẩn số

+ Giải phơng trình (1) là tìm giá trị x = x0 để có đẳng thức đúng f(x0) = g(x0)

+ Tơng tự f(x1, x2, x3, , xn) = g(x1, x2, x3, , xn) đợc gọi là phơng trình n ẩn, (n  N*)

+ Tập hợp các giá trị x0 gọi là tập hợp các nghiệm của phơng trình kí hiệu là M, nếu phơng trình không có

2 Phơng trình tơng đơng - phép biến đổi tơng đơng

+ Phơng trình f(x) = 0 (1) có tập hợp nghiệm là M1

Phơng trình g(x) = 0 (2) có tập hợp nghiệm là M

2

+ Nếu M1 M2 (2) là phơng trình hệ quả của phơng trình (1)

+ Hai phơng trình f(x) = 0 (1) và f(x) + h(x) = h(x) (2) là tơng đơng nếu h(x) có miền xác định chứa tập

nghiệm (1)

+ Hai phơng trình f(x) = 0 (1) và f(x).h(x) = 0 (2) tơng đơng  h(x) 0 và miền xác định h(x) chứa miềm xác định của f(x)

3 Phơng trình bậc nhất

+ Dạng ax + b = 0 (x là ẩn a, b  R miền xác định là R)

Nghiệm

* a = 0, b 0 : Vô nghiệm * a = 0, b = 0 : Vô số nghiệm trên R 4 Phơng trình bậc hai + ax2 + bx + c = 0  = b2 - 4ac * Nếu  > 0 thì M = {x1, x2}

khi b = 2b', '' = b'2 - ac thì :

* Nếu  = 0, thì M = {x1}

* Nếu  < 0, thì M =  + Một số trờng hợp thờng gặp Nếu  > 0, M = {x1, x2}  < 0, M =  * ax2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0

Phơng trình  

Định lí Viét Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có + Xét dấu nghiệm (quy ớc x1 > x2) 5 Phơng trình quy về bậc hai * ax4 + bx2 + c = 0 (1) (a 0) (phơng trình trùng phơng) Đặt : Phơng trình (1) đa về ay2 + by + c = 0 (2) Giải phơng trình (2) tìm nghiệm y  0, sau đó tìm x bằng công thức * (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 với a + b = c + d Đặt y = (x + a)(x + b) Đặt : Chia hai vế của phơng trình cho x2 (vì x = 0 không phải nghiệm của phơng trình) 6 Phơng trình bậc ba + Dạng x3 + px + q = 0 (1)

Công thức nghiệm của phơng trình (1) (công thức Cacđanô) + Dạng y3 + ay2 + by + c = 0 Đặt ta có phơng trình dạng x3 + px + q = 0 và có công thức giải nh trên 7 Phơng trình chứa căn bậc hai

8 Phơng trình tuyệt đối 9 Phơng trình mũ

* N  0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * N > 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt 10 Ph¬ng tr×nh logarit logax = N (a > 0, a 1) cã nghiÖm duy nhÊt x = aN  

1 HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt

BÊt ph¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt

BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai

Mét sè bÊt ph¬ng tr×nh kh¸c

BÊt ph¬ng tr×nh

* Nếu a = 0, b > 0 bất phơng trình có nghiệm tuỳ ý M = R.

+ Hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn số là tập hợp gồm nhiều bất phơng trình bậc nhất hai ẩn số.

Tìm miền nghiệm của từng bất phơng trình, sau đó tổng hợp tìm miền nghiệm của hệ

+ Tam thøc cã hai nghiÖm th× :

+ DÊu cña tam thøc

3 Một số tính chất của giá trị tuyệt đối

¸nh x¹

Hµm sè

Nh÷ng hµm sè c¬ b¶n

Hµm sè

Cho hai tập hợp X, Y Một ánh xạ f từ X đến Y, Y là một qui tắc cho ứng với mỗi x  X một và chỉ một phần

Cho hai tập hợp số X và Y (X  R, Y  R) Một ánh xạ f từ X đến Y là một hàm số f từ X đến Y, ký hiệu là :

với (C') qua đờng phân giác của góc I và góc III : y = x

bÒ lâm quay vÒ phÝa trªn.

1 Giới hạn của dãy số

2 Các định lí về giới hạn của dãy

Định lí 1 (Điều kiện cần)

Nếu một dãy số có giới hạn thì dãy số đó bị chặn

Định lí 2 (tính chất duy nhất của giới hạn)

Định lí 3 (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn)

Một dãy số có tăgn và bị chặn trên thì có giới hạn Một dãy số giảm và bị chặn dới thì có giới hạn

1 Một số định nghĩa

Cho hàm số y = f(x), tập xác định D

Thay cho (2), nếu chỉ có

Hàm số y = f(x) là liên tục tại điểm x

0, x

Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a ; b)

Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a ; b) đồng thời nó liên tục về bên phải

điểm a và liên tục về bên trái điểm b

2 Các định lí về hàm số liên tục

liên tục tại x0Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và x

1, x

1) f(x

Hệ quả : giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) có giá trị dơng và giá trị âm trên khoảng đó, thì

ph-ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x = c thuộc khoảng (a ; b)

3 Tính liên tục của các hàm số sơ cấp

y = f(x) là hàm số sơ cấp xác định trên D thì hàm số này liên tục trên D

4 Tính liên tục của hàm số hợp

Nếu y = f(u), u = g(x) là những hàm số liên tục thì hàm số hợp y = f[g(x)] là một hàm số liên tục

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là :

Hàm số y = f(x) đạo hàm trên đoạn [a ; b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm bên phải tại a

và bên trái tại b

Cách tính đạo hàm : Muốn tính đạo hàm hàm số y = f(x), ta cần thực hiện 3 bớc sau :

2) Lập tỉ số :

3) Tìm

13) y = f(x) cã hµm sè ngîc

y = f(x) có đạo hàm tại x, y' = f'(x)

y' = f'(x) có đạo hàm tại x thì đạo hàm này là đạo hàm cấp 2, ký hiệu là y'' = f''(x) = [f'(x)]'

Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x)

Đạo hàm cấp n của một hàm số

y' = f(x), D = (a ; b) và có f'(x) tại , vi phân của hàm số tại điểm x là dy = y'dx (hoặc df(x) = f'(x)dx)

Vi phân hàm số hợp : y = f(u) và u = g(x) thì dy = f'(u)du

ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng

Nếu hàm số y = f(x) đạo hàm tại điểm thì nó liên tục tại điểm đó.

Dùng để tính giới hạn các dạng vô định và Nếu hai hàm số y = f(x) và y = g(x) xác định trên (a ; b) chứa

và có đạo hàm trên (a ; b) thì :

1 Nhánh vô tận

2 Tiệm cận của đờng cong

dần đến 0 khi M chạy trên (N) ra xa vô tận

3 Các đờng tiệm cận của (C) : y = f(x)

hay Tiệm cận ngang

4 Đờng tiệm cận của đồ thị (C) một số hàm hay gặp :

có hai đờng tiệm cận

1 Dấu hiệu đồng biến, nghịch biến của hàm số

+ Định lí Lagơrăng

sao cho f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)

Dấu hiệu đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b)

+ Điểm x0 đợc gọi là điểm cực đại của hàm số f(x), nếu tồn tại một - lân cận của x0(x0 –  ; x0 + ) sao cho

+ Các dấu hiệu điểm cực trị

Nếu f'(x) > 0 trên (x0 –  ; x0) và f'(x) < 0 trên (x0 ; x0 + )  y = f(x) đạt cực tiểu tại x0

Dấu hiệu 2 : Nếu hàm số y = f(x) xác định trên một lân cận noà đó của điểm x0, có đạo hàm liên tục cấp 2 tại

3 Quy tắc tìm Max và Min của hàm số

y = f(x) liên tục và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn trên đoạn [a ; b]

Hoặc min{f(x1), f(x2), , f(xn), f(xa), f(xb)} kí hiệu là min[a ; b]f(x)

4 Tính lồi lõm và điểm uỗn của đồ thị

+ Khái niệm lồi, lõm, điểm uốn.

Trên đồ thị (C) của hàm số y = f(x) ta nói (C) lồi trên khoảng (a ; b) lõm trên khoảng (b ; d) và B là điểm uốn

+ Dấu hiệu lồi, lõm, điểm uốn

* Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên (a ; b)

- Nếu f''(x) < 0 x  (a ; b)  (C) lồi trên (a ; b)

* Quy tắc tìm điểm uốn

Khảo sát tính lồi, lõm, điểm uốn (nếu có)

3) Xét nhánh vô cực của đồ thị (C), tìm các tiệm cận của (C) (nếu có)

4) Lập bảng biến thiên

5) Vẽ đồ thị

+ Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

+ Lấy thêm một điểm (ngoài những điểm đã ghi ở bảng biến thiên).

1 Định nghĩa và tính chất của nguyên hàm

+ Định nghĩa

+ Tính chất

+ Sự tồn tại của nguyên hàm

Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó

2) Lấy vi phân hai vế của (2) hoặc (3)

+ Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ dạng

Trong đó :

+ Đơn vị đo góc và cung

1 rad là số đo của cung đờng tròn có độ dài bằng bán kính

+ Góc và cung định hớng

* Đờng tròn trên đó có xác định một chiều dơng, chiều ngợc lại là chiều âm gọi là đờng tròn định hớng

* Cung định hớng

* Số đo của cung định hớng

+ Cung có liên quan đặc biệt

* Hai cung đối nhau

* Hai cung phụ nhau

* Hai cung phô nhau

* Hai cung bï nhau

* Hai cung h¬n kÐm nhau

1 C«ng thøc céng

sin(a - b) = sina.cosb - sinb.cosa

sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa

cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb

gọi là phơng trình đẳng cấp bậc 2, 3, 4 đối với sinx và cosx.

đã cho về phơng trình mới và ta dễ dàng giải các phơng trình này

3 Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Có ba cách giải loại phơng trình này :

Giải phơng trình bậc hai đối với t, dễ dàng giải đợc phơng trình (1)

Đặt :

(đây là phơng trình cơ bản)

Chú ý : Ta luôn có :

4 Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1)

* Phơng pháp thế, giải một phơng trình của hệ rồi thế nghiệm tìm đợc vào phơng trình còn lại.

* Phơng pháp tìm nghiệm chung, giải tìm nghiệm của mỗi phơng trình trong hệ, sau đó tìm nghiệm chung 2) Hệ phơng trình lợng giác hai ẩn Chẳng hạn có hệ phơng trình :

Phơng pháp chung là đa nó về hệ phơng trình đại số hai ẩn, hoặc đa về phơng trình tổng tích

1) Một số kiến thức quan trọng về tam giác

+ Độ dài đờng trung tuyến, đờng cao, đờng phân giác.

+ Tính chất đờng phân giác của A

(D – giao điểm của phân giác và cạnh BC)

6 Tø gi¸c néi tiÕp

* Tø gi¸c néi tiÕp

(p lµ nöa chu vi tø gi¸c ABCD)

7 Tø gi¸c ngo¹i tiÕp

+ Tø gi¸c ngo¹i tiÕp  a + c = b + d

1 Đa giác đều n cạnh a

+ Tam giác đều nội tiếp :

+ Hình vuông nội tiếp

+ Ngũ giác đều nội tiếp :

+ Lục giác đều nội tiếp : a = R

3 Đa giác đều n cạnh ngoại tiếp đờng tròn bán kính r.

+ Trục đẳng phơng của hai đờng tròn (O) và (O') là tập hợp những điểm có cùng phơng tích với hai đờng tròn

đó (là đờng thẳng vuông góc với OO')

+ Tâm đẳng phơng của ba đờng tròn (O') (O''), (O''') (ba điểm O, O', O'' không thẳng hàng) là một điểm có

cùng phơng tích với các đờng tròn này

+ Tìm trục đẳng phơng

* Hai đờng tròn cắt nhau tại hai điểm là đờng thẳng đi qua hai giao điểm đó

* Hai đờng tròn tiếp xúc nha tại hai điểm là tiếp tuyến chung đi qua điểm đó

* Hai đờng tròn (O) và (O') không cắt nhau, dựng đờng tròn (O'') cắt cả hai đờng tròn trên theo thứ tự tại A, B

và C, D Hai đờng thẳng AB và CD cắt nhau tại M Thì trục đẳng phơng là đờng thẳng đi qua M và vuông góc với OO'

Hình tròn và các phần hình tròn

Khèi ®a diÖn

Khèi trßn xoay

Mét sè h×nh khèi quen thuéc

1 H×nh l¨ng trô

p chu vi thiÕt diÖn th¼ng

S DiÖn tÝch thiÕt diÖn th¼ng

(S lµ diÖn tÝch thiÕt diÖn th¼ng)

ánh xạ f từ tập hợp P vào tập hợp P đợc gọi là phép biến hình của mặt phẳng nếu hai điểm khác nhau thì có hai

ảnh khác nhau và mỗi điểm thuộc P đều coá tạo ảnh thuộc P

+ Kí hiệu f là phép biến hình, ta viết :

để chỉ M' là điểm tơng ứng của điểm M qua phép biến hình f

+ Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các ảnh M' ứng với mỗi điểm M của H cũng làm thành một hình H', ta

+ Cho vectơ (không đổi) Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M' sao cho gọi là phép tịnh tiến theo vectơ kí hiệu là

+ Khi , ta có phép biến hình đồng nhất e

+ Phép biến hình tịnh tiến là phép biến hình ngợc của phép tịnh tiến

* Đờng thẳng AB thành đờng thẳng A'B' cùng phơng

* Tia AB thành tia A'B' cùng hớng

* Đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A'B' bằng AB

* Góc xOy thành

* Đờng tròn (O) thành đờng tròn (O') bằng nó

Cho đờng thẳng d Phép biến hình mỗi điểm M thành điểm M' sao cho

+ Phép biến hình ngợc của Sd cũng là Sd

+ Khi M  d thì M' là ảnh của M trùng với M nên d là tập hợp điểm kép trong Sd

+ Phép đối xứng trục biến

+ Cho điểm O phép biến hình biến điểm M thành M' sao cho gọi là phép đối xứng tâm, kí hiệu là

S(O)

+ Phép biến hình ngợc của S(O) là S(O)

+ O là điểm kép trong phép biến hình S(O)

+ S(O) biến :

* Đoạn thẳng AB thành A'B' = AB

* Đờng thẳng không qua O thành A'B'//AB

* Đờng tròn (O) thành (O') bằng nó

Phép đối xứng tâm

Cho điểm O và góc Phép biến hình biến điểm M thành điểm M' sao cho

* Đờng thẳng AB thành đờng thẳng A'B'

* Đờng tròn (O) thành (O') bằng nó

+ Phép biến hình biến hai điểm A, B bất kì thành hai điểm A', B' sao cho AB = A'B' gọi là phép dời hình + Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép biến hình đồng nhất là những ví dụ

về phép dời hình

Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình

+ Cho ®iÓm O vµ mét sè k 0 PhÐp biÕn h×nh biÕn mçi ®iÓm M thµnh ®iÓm M' sao cho , gäi lµ phÐp vÞ tù t©m O tØ sè k, kÝ hiÖu lµ H(O , k).

+ Phép đồng dạng tỷ số |k| là tích của phép H(O , k) và một phép dời hình.

Mét sè kh¸i niÖm vÒ vect¬

C¸c phÐp to¸n víi vect¬

Vect¬

+ Vectơ là một đoạn thẳng định hớng.

* A là điểm đầu, B là điểm cuối

* Hớng đi từ A đến B

+ Vectơ không (kí hiệu ) có độ dài bằng 0 và hớng tuỳ ý chọn.

+ Hai vectơ bằng nhau

+ Hai vectơ đối nhau

+ Hai vectơ cùng phơng (cộng tuyến) nếu chúng cùng giá hoặc có giá song song.

+ Hai vectơ chung gốc O

(OA, OB, Oc là các cạnh của hình hộp, OS là đờng chéo).

+ Tính chất của phép cộng vectơ

(tính chất giao hoán)

(tính chất kết hợp) (tính chất vectơ )

(tính chất vectơ đối)

+ Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu chúng lần lợt nằm trên ba mặt phẳng đôi một song song

+ không cộng tuyến và đồng phẳng  cặp (m, n) duy nhất sao cho

+ TÝch vect¬ (hay tÝch cã híng) cña hai vect¬ vµ lµ mét vect¬ kÝ hiÖu lµ

+ TÝnh chÊt cña tÝch vect¬

Đờng tròn

Elíp

Hypebol

Parabol

Định nghĩa 3 đờng Cônic (K) theo tiêu điểm và đờng chuẩn

Các đờng bậc hai trong hệ tọa độ Oxy