Một số dạng toán cơ bản về dao động điều hòa

Nếu trong khoảng thời gian Δt vật t vật thực hiện được N dao động thì ta có: Δt vật t = N.T ♦ Tần số dao động fHz: Là số lần dao động trong một đơn vị thời gian, nó là đại lượng nghịch

Bài 1: Đại cương về dao động điều hòa

1 Các định nghĩa về dao động cơ

♦ Dao động cơ học

- Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác định gọi là vị trí cân bằng

♦ Dao động tuần hoàn

- Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái của vật được lặp lại như cũ, theo hướng cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau xác định (Chu kì dao động)

♦ Dao động điều hòa

- Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu thị bằng hàm cos hay sin theo thời gian

2 Phương trình dao động điều hòa

♦ Phương trình li độ:

- Phương trình dao động :

Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa :

+ x : li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng Đơn vị tính (cm, m )

+ A : Biên độ dao động hay li độ cực đại Đơn vị tính (cm, m )

+ ω : tần số góc của dao động , đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số dao động Đơn vị tính (rad/s)

+ φ : pha ban đầu của dao động (t = 0), giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm ban đầu Đơn vị tính (rad)

+ (ωt + φ) : pha dao động tại thời điểm t, giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm bất kỳ t Đơn vị tính (rad)

* Chú ý : Biên độ dao động A luôn là hằng số dương

♦ Phương trình vận tốc

Phương trình vận tốc :

Nhận xét :

- Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc:

- luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0)

♦ Phương trình gia tốc

Phương trình gia tốc:

Nhận xét :

- Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc , nhanh pha hơn li độ góc π

- luôn hướng về vị trí cân bằng

♦ Phương trình liên hệ giữa x, A, v và ω độc lập với thời gian:

Ta có :

* Chú ý :

Khi vật ở VTCB : x = 0; |v|max = ωA; |a|min = 0

Khi vật ở biên : x = ±A; |v|min = 0; |a|max = ω2A

3 Các đại lượng trong dao động cơ

♦ Chu kì dao động T(s):

Là khoảng thời gian ngắn nhất để vật thực hiện được một dao động toàn phần, hay là khoảng thờigian ngắn nhất để trạng thái dao động được lặp lại như cũ Nếu trong khoảng thời gian Δt vật t vật thực hiện được N dao động thì ta có: Δt vật t = N.T

♦ Tần số dao động f(Hz):

Là số lần dao động trong một đơn vị thời gian, nó là đại lượng nghịch đảo của chu kỳ dao động

♦ Mối quan hệ giữa chu kì, tần số và tần số góc:

Biểu thức:

4 Năng lượng trong dao động cơ:

Cơ năng = Động năng + Thế năng

♦ Động năng:

♦ Thế năng :

♦ Định luật bảo toàn cơ năng: W = Wđ + Wt = = Wđmax = Wtmax = const

Trong quá trình dao động thì động năng và thế năng có sự biến đổi qua lại, động năng tăng thì thế năng giảm và ngược lại nhưng tổng của chúng là cơ năng (năng lượng toàn phần) luôn được bảo toàn

* Chú ý :

- Dao động điều hoà có tần số góc là ω, tần số f, chu kỳ T Thì động năng và thế năng biến thiên với tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kỳ T/2

- Động năng và thế năng trung bình trong thời gian nT/2 ( nЄN*) là:N*) là:

5 Một số dao động có phương trình đặc biệt:

• x = a ± Acos(ωt + φ) với a = const

Các tham số của phương trình :

- Biên độ là A, tần số góc là ω, pha ban đầu φ

- x là toạ độ, x0 = Acos(ωt + φ) là li độ

- Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a ± A

- Vận tốc v = x’ = x0’, gia tốc a = v’ = x” = x0”

- Hệ thức độc lập: a = -ω2x0 ;

• x = a ± Acos2(ωt + φ)

Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác ta có:

x = a ± Acos2(ωt + φ) =

→ Biên độ dao động là A/2; tần số góc 2ω, pha ban đầu 2φ

6 Cách lập phương trình dao động điều hòa

Gọi phương trình dao động là x = Acos(ωt + φ) (cm) Để viết phương trình dao động chúng ta cần tìm ba đại lượng A, ω, φ

- Khi thả nhẹ thì ta hiểu là vận tốc ban đầu v0 = 0, còn nếu cho vận tốc ban đầu v0 ≠ 0 thì chúng

ta áp dụng hệ thức liên hệ để tìm các thông số khác

7 Ví dụ điển hình:

Ví dụ 1:

Một vật dao động điều hòa với phương trình :

a Tính biên độ dao động, tần số góc, pha ban đầu, chu kỳ, tần số dao động

b Lập phương trình vận tốc và phương trình gia tốc

c Li độ, vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t = 4s; t = 4,2s

d Giá trị cực đại của li độ, vận tốc và gia tốc

c Tại thời điểm t = 4s:

Tại thời điểm t = 4,2s:

a khi t = 0 thì vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương

b khi t = 0 thì vật qua vị trí có li độ x = - 1cm theo chiều dương

Đây là dạng bài toán mà cho biết 3 trong 4 đại lượng x, v, A và ω Để giải quyết đơn giản chúng

ta sử dụng hệ thức liên hệ Áp dụng hệ thức liên hệ giữa x, v, A và ω ta có:

8 Bài tập tương tự luyện tập:

Bài 1: Một vật dao động điều hòa có phương trình: x = 2cos(10πt + π/4 ) (cm)

a) Hãy cho biết biên độ, tần số, chu kì và pha ban đầu của dao động

b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở các thời điểm t = 0 và t = 0,5s

Bài 2: Hệ dao động đều hoà gồm quả cầu và lò xo Gia tốc cực đại và vận tốc cực đại của quả

cầu lần lượt là : amax = 18m/s2 và vmax = 3m/s Xác định tần số và biên độ dao động của hệ

Bài 3: Một vật dao động với biên độ 3cm, chu kì 0,5s Tại thời điểm t = 0, hòn bi đi qua vị trí cân

bằng

a) Viết phương trình dao động của vật

b) Hòn bi có li độ x = 1,5cm; x = 3cm vào những thời điểm nào?

Bài 4: Một chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục x với biên độ 10 cm và chu kì 2s Lấy gốc

tọa độ là vị trí cân bằng Viết phương trình dao động trong các trường hợp:

a) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm qua vị trí cân bằng theo chiều dương

b) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ cực đại theo chiều âm

c) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ x = +5 cm và đi theo chiều dương

Bài 5: Viết phương trình dao động của một chất điểm dao động điều hòa trong các trường hợp

- Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kỳ dao động là S = 4A

- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = 2A

- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = A

- Chiều dài quỹ đạo: 2A

2 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của

chuyển động tròn đều

Xét một vật chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A

và tốc độ góc là ω Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí điểm

M0 và tạo với trục ngang một góc φ Tại thời điểm t chất điểm ở

vị trí điểm M và góc tạo với trục ngang là (ωt + φ) Khi đó hình

chiếu của điểm M xuống Trục ngang là OP có độ dài đại số

Khi đó ta nói hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động điều hòa

* Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công cụ

rất mạnh" trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời gian trong dao động điều hòa Không chỉ giới hạn trong phạm vi của chương Dao động cơ học này mà ở các chương về Dao dộng điện từ hay Dòng điện xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của nó Và việc hiểu để áp dụng được là một yêu cầu cần thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh các bài toán

3 Các dạng bài toán cơ bản:

Dạng 1: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2

Cách giải : Chúng ta sử dụng ứng dụng của hình chiếu dao động điều hòa vào chuyển động tròn

đều Các bước thực hiện như sau :

- Xác định các vị trí x1 và x2 trên trục quỹ đạo

- Tính các góc φ1, φ2 với thỏa mãn (0 ≤ φ1, φ2 ≤ π)

- Thời gian ngắn nhất cần tìm là:

* Ví dụ điển hình :

Ví dụ 1 : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 8s, tính thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí

b

c

NHẬN XÉT : 3 Trường hợp trên là những trường hợp phổ biến nhất trong các kỳ thi và hầu như

các bài toán lớn hơn thì biến đổi đều đưa về 3 trường hợp trên Từ đó chúng ta cần ghi nhớ công thức:

Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = A hoặc x = -A và ngược lại thì

Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí hoặc và ngược lại thì

Khi vật đi từ vị trí đến vị trí x = A hoặc đến x = -A và ngược lại thì

Dạng 2: Tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2

Cách giải : Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật dựa vào việc giải các phương trình

lượng giác sau:

(v1 và v2 chỉ cần xác định dấu) Phân tích: Δt vật t = t2 – t1 = n.T + T/2 + T/4 + t0 (n ЄN*) là:N; 0 ≤ t0 < T/4)

- Quãng đường đi được trong thời gian n.T + T/2 + T/4 là S1 = n.4A+ 2A + A

- Ta tính quãng đường vật đi được trong thời gian t0 là bằng cách sau:

• Tính li độ x1 và dấu của vận tốc v1 tại thời điểm

• Tính li độ x2 và dấu của vận tốc v2 tại thời điểm t2

• Nếu trong thời gian t0 mà vật không đổi chiều chuyển động (v1 và v2 cùng dấu) thì quãng đường

đi được trong thời gian cuối t0 là S2 = |x2 - x1|

• Nếu trong thời gian t0 mà vật đổi chiều chuyển động (v1 và v2 trái dấu) thì để tính quãng đường

đi được trong thời gian cuối t0 ta phải biểu diễn chúng trên trục tọa độ rồi tính S2 Từ đó quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2

CHÚ Ý :

+ Nếu Δt vật t = T/2 thì S2 = 2A

+ Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox

+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn

+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2: với S là quãng đường tính như

trên Ví dụ điển hình :

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình Tính quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên

Hướng dẫn giải: Quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên tức là tính từ lúc vật bắt đầu

chuyển động Như vậy chúng ta phải thay t = 0 vào phương trình li độ và phương trình vận tốc

để kiểm tra xem vật bắt đầu đi từ vị trí nào và theo chiều nào

Ta có :

Tại t = 0 :

Vậy vật bắt đầu đi từ vị trí x = - 1cm theo chiều dương Ta lại có

Quãng đường vật đi được là S = 5.4A+ 2A = 22A = 44cm

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình Tính quãng đường vật đi được trong 2,25s đầu tiên

Hướng dẫn giải:

Cách 1 : (Sử dụng phân tích) Ta có : ; (s) Quãng đường vật

đi được trong 2s đầu tiên là S1 = 4A = 16cm

- Tại thời điểm t = 2s :

- Tại thời điểm t = 2,25s :

Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật đi được

Vậy quãng đường vật đi được trong 0,25s là S =

Cách 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều)

Tương tự như trên ta phân tích được Δt vật t = 2,25s = T + 0,25(s)

Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S1 = 4A = 16cm

Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối Trong thời gian 0,25s cuối thì góc mà vật quét được trên đường tròn bán kính A = 4cm là Độ dài hình chiếu của vật chính là quãng đường đi được Độ dài hình chiếu này là

Từ đó ta cũng tìm được quãng đường mà vật đi được là S =

Dạng 3: Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < Δt vật t < T/2.

Cách giải:

NHẬN XÉT : Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong

cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏkhi càng gần vị trí biên Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn để đểgiải bài toán Góc quét Δt vật φ = ωΔt vật t

• Quãng đường lớn nhất khi vật

đi từ M1 đến M2 đối xứng qua

trục sin (hình 1)

• Quãng đường nhỏ nhất khi vật

đi từ M1 đến M2 đối xứng qua

trục cos (hình 2)

CHÚ Ý : + Trong trường hợp Δt vật t > T/2

Tách:

Trong đó:

Trong thời gian quãng đường luôn là n.2A

Trong thời gian Δt vật t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên

+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian Δt vật t:

và với Smax; Smin tính như trên

Ví dụ điển hình :

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ là T Tìm quãng đường:

a Nhỏ nhất mà vật đi được trong

b Lớn nhất mà vật đi được trong

c Nhỏ nhất mà vật đi được trong

Vậy quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong là

Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T Tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất

và tốc độ trung bình lớn nhất của vật trong

Hướng dẫn giải : Góc quét

Dạng 4: Bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian Δt vật t

Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x0

Cách giải:

* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt + φ) cho x = x0 Lấy nghiệm ωt + φ = α với

ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc ωt + φ = -α ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)

* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó Δt vật t giây là:

hoặc

Ví dụ điển hình :

Một vật dao động điều hòa với phương trình:

a Biết li độ của vật tại thời điểm t là 4cm Xác định li độ của vật sau đó 0,25s

b Biết li độ của vật tại thời điểm t là - 6cm Xác định li độ của vật sau đó 0,125s

c Biết li độ của vật tại thời điểm t là 5cm Xác định li độ của vật sau đó 0,3125s

Hướng dẫn giải:

4 Bài tập tương tự luyện tập

Bài 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình Gọi M và N là hai biên của vật trong quá trình dao động Gọi I và J tương ứng là trung điểm của OM và ON Hãy tính vận tốc trung bình của vật trên đoạn từ I tới J

Bài 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ là A và chu kỳ T Tìm:

a) Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong

b) Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong

c) Tốc độ trung bình lớn nhất mà vật đi được trong

Bài 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 = 1,5s đến t2 = là bao nhiêu?

Bài 4: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ A Hãy tính khoảng thời gian ngắn

f) x1 = A đến x2 = A

g) x1 = A đến x2 = -A/2

Bài 5: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm có chu kỳ dao động T = 0,1s

a) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có ly độ x1 = 2cm đến x2 = 4cm

b) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1 = -2cm đến x2 = 2cm

c) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x =2cm

Con lắc lò xo

1 Cấu tạo:

- Con lắc lò xo gồm một là xo có độ cứng k (N/m) có khối lượng không đáng kể, một đầu cố định, đầu còn lại gắng vào vật có khối lượng m

- Điều kiện để con lắc lò xo dao động điều hòa là bỏ qua ma sát,

lực cản và vật dao động trong giới hạn đàn hồi

2 Phương trình dao động của con lắc lò xo

x = Acos (ωt + φ) (cm)

Với:

• x: li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng (cm)

• A: Biên độ dao động hay li độ cực đại (cm)

• ω : tần số góc của dao động (rad/s)

• φ : pha ban đầu của dao động (t = 0)

• (ωt + φ) : pha dao động tại thời điểm t (rad)

♦ Tần số góc:

-Tần số góc của con lắc lò xo (rad/s)

♦ Chu kì:

-Chu kì của con lắc

♦ Tần số:

-Tần số dao động của con lắc lò xo

3 Năng lượng dao động của con lắc lò xo

♦ Động năng:

♦ Thế năng (thế năng đàn hồi của lò xo):

♦ Cơ năng:

Đơn vị : k (N.m); m (kg); x (m); A (m)

4 Các dạng dao động của con lắc lò xo

4.1 Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng ngang Đặc điểm:

- Tại vị trí cân bằng lò xo không bị biến dạng,

- Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo chính là lực hồi phục với

4.2 Con lắc lò xo chuyển động thẳng đứng

Đặc điểm:

- Tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn được cho bởi biểu thức

dao động của con lắc lò xo trong trường hợp này:

- Chiều dài tại vị trí cân bằng, chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động:

• Chiều dài tại VTCB:

• Chiều dài cực đại :

• Chiều dài cực tiểu :

- Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo trong quá trình vật dao động (Fdh):

• Phương : cùng phương chuyển động của vật

• Chiều : luôn hướng về phía vị trí cân bằng

• Độ lớn : , với là độ biến dạng của lò xo tại vị trí đang xét (lò xo có thể bị dãn hoặc nén) Gọi x là vị trí đang xét