Thuật toán Các pháp biến đổi 2d

Tài liệu này dành cho sinh viên, giáo viên khối ngành công nghệ thông tin tham khảo và có những bài học bổ ích hơn, bổ trợ cho việc tìm kiếm tài liệu, giáo án, giáo trình, bài giảng các môn học khối ngành công nghệ thông tin

ĐỒ HỌA 2D

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI

Giảng viên Bùi Tiến Lên

Phép biến đổi là gì ?

Phép biến đổi là một ánh xạ từ không gian R 2 vào R 2 : -Biến một điểm P thành một điểm P’

-Biến một đối tượng S thành đối tượng S’

P’

T

Trang Trang 22222222

Công thức phép biến đổi

=

→

) P ( T '

P

hàm dạng

đổi Biến

P'

P

R R

: T

xạ ánh dạng

đổi

Biến

2 2

Trang Trang 33333333

) P , P ( T P

hay

) P ( T '

P

y x y

' y

y x x '

x

Định nghĩa biến đổi affine

Phép biến đổi affine là phép biến đổi mà các hàm biến đổi Tx, Ty có dạng tuyến tính.

Tx(x, y) = ax + cy + e

Ty(x, y) = bx + dy + f

Trang Trang 44444444

Hệ tọa độ thuần nhất

Hệ tọa độ Đề các Hệ tọa độ thuần nhất

P(Px, Py) P(Px, Py, 1) P(Px, Py) P(wPx, wPy, w)

Trang Trang 55555555

Công thức xác định ảnh của một điểm







+ +

=

+ +

=

trận ma

Dạng

f dP

bP P

e cP

aP P

hàm Dạng

y x

' y

y x

' x

Trang Trang 66666666

e

0 d

c

0 b

a 1 P

P 1

P P

hoặc

M P '

P

trận ma

Dạng

y x

' y

' x

Ma trận biến đổi

Công thức xác định ảnh của một điểm







+ +

=

+

=

đổi biến

trận ma

dạng Hoặc

4 2y

2x - y) (x, T

5 – 3y 2x

y) (x, T

hàm dạng

đổi biến

thức Công

y x

Trang Trang 77777777

5

0 2

3

0 2

2

đổi biến

trận ma

dạng Hoặc

Cấu trúc dữ liệu

// Lưu thơng tin phep bien doi affine

struct TAffine2D {

double M[3][3];

};

Trang Trang 88888888

Biến đổi điểm

Biến đổi điểm –– Cài đặtCài đặt

TPoint2D TransformPoint2D(TAffine2D T, TPoint2D P)

{

TPoint2D Q;

Q.x = T.M[0][0]*P.x + T.M[1][0]*P.y + T.M[2][0]; Q.y = T.M[0][1]*P.x + T.M[1][1]*P.y + T.M[2][1];

return

Trang Trang 99999999

return Q;

}

Cài đặt

void Read_Transform_Convert_Draw_2D(CDC *pDC, char *filename , TAffine2D T) {

TPoint2D P1, P2;

// Chuyen toa do doan thang

Tính chất phép biến đổi affine

Một phép biến đổi affine luôn có 3 tính chất

-Bảo toàn tính thẳng

-Bảo toàn tỉ lệ

-Bảo toàn song song

Trang Trang 11 11

Bảo toàn tính thẳng

GT d là đường thẳng

Bảo toàn tỉ lệ

A’

B’

C’ T

Trang Trang 13 13

C’ = T(C)

KL A’:B’:C’ = A:B:C

Bảo toàn song song

d1d2

Hệ quả

-Đoạn thẳng biến thành đoạn thẳng.

-Đa giác biến thành đa giác.

-Đường cong bezier biến thành đường cong Bezier.

Trang Trang 15 15

T

Biến đổi đối tượng

Trang Trang 16 16

Biến đổi đối tượng

Trang Trang 17 17

Biến đổi đối tượng

Trang Trang 18 18

Biến đổi đối tượng

Trang Trang 19 19

Biến đổi đối tượng

Trang Trang 20 20

Biến đổi đối tượng

Trang Trang 21 21

Biến đổi đối tượng

Trang Trang 22 22

Công thức xác định ảnh của một điểm

B

1 4

5

0 2

3

0 2

2 1

2 2

1 4

5

A' thành biến

A

Trang Trang 23 23

5

0 2

3

0 2

2 1

1 3

1 0

3

B' thành biến

B

Các phép biến đổi affine cơ sở

Có 3 phép biến đổi cơ sở

-Phép tịnh tiến

-Phép quay

-Phép tỉ lệ

Trang Trang 24 24

Phép tịnh tiến (translation)

Dùng để thay đổi vị trí của các đối tượng từ vị trí này sang vị trí khác.

Tham số :

- Độ dịch chuyển trên trục Ox : tx

- Độ dịch chuyển trên trục Oy : ty

Trang Trang 25 25

tx

ty

trận ma

Dạng

t P

P

t P

P

hàm Dạng

y y

' y

x x

' x

Trang Trang 26 26

t

0 1

0

0 0

1 M

y x

Phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến –– Cài đặtCài đặt

TAffine2D BuildTranslation2D(double tx, double ty)

return T;

}

Phép quay (rotation)

Dùng để thay đổi hướng của các đối tượng

Tham số :

- Tâm quay : O

- Góc quay : α

Trang Trang 28 28

O

α

=

α

− α

=

0 sin

cos

trận ma

Dạng

P cos

P sin

P

P sin

P cos

P

hàm Dạng

y x

' y

y x

' x

Trang Trang 29 29

−

α α

=

1 0

0

0 cos

sin

0 sin

cos M

Phép quay

Phép quay –– cài đặtcài đặt

TAffine2D BuildRotation2D(double alpha)

{

TAffine2D T;

alpha *= PI/180;

T.M[0][0]=cos(alpha); T.M[0][1]=sin(alpha); T.M[0][2]=0; T.M[1][0]=-sin(alpha); T.M[1][1]=cos(alpha); T.M[1][2]=0; T.M[2][0]=0; T.M[2][1]=0; T.M[2][2]=1;

Trang Trang 30 30

return T;

}

Phép tỉ lệ (scaling)

Dùng để thay đổi kích thước của các đối tượng

Tham số :

- Tâm tỉ lệ : O

- Hệ số tỉ lệ : sx, sy

Trang Trang 31 31

O

trận ma

Dạng

P s P

P s P

hàm

Dạng

x

y y

' y

x x

' x

Trang Trang 32 32

0

0 s

0

x

Phép tỉ lệ

Phép tỉ lệ –– cài đặtcài đặt

TAffine2D BuildScaling2D(double sx, double sy)

return T;

}

Nguyên lý kết hợp các phép biến đổi

Nếu T1, T2 là phép biến đổi affine

Thì

- T = T1 + T2 là phép biến đổi affine

- M = M1 x M2

Trang Trang 34 34

2 , M2

T, M

Nguyên lý phân rã phép biến đổi

Mọi phép biến đổi affine bất kỳ đều có thể phân rã

thành một chuỗi các phép biến đổi cơ bản.

T

Trang Trang 35 35

T1

Tn

Cài đặt nguyên lý kết hợp

TAffine2D operator + (TAffine2D T1, TAffine2D T2)

T1.M[i][0]*T2.M[0][j] + T1.M[i][1]*T2.M[1][j] + T1.M[i][2]*T2.M[2][j];

}

return T;

}

Phép đồng nhất (Identity)

Dạng

P P

P P

hàm Dạng

y

' y

x

' x

Trang Trang 37 37

0

0 1

0

0 0

1 M

trận ma

Dạng

Phép đồng nhất

Phép đồng nhất –– Cài đặtCài đặt

return T;

}

Phép đối xứng (reflection)

y Đối xứng qua Oy

Trang Trang 39 39

Đối xứng qua Ox

P P

P P

hàm Dạng

Ox trục

qua xứng

Đối

y

' y

x

' x

Dạng

P P

P P

hàm Dạng

Oy trục

xứng Đối

y

' y

x

' x

Trang Trang 40 40

0

0 1 0

0 0

1 M

trận ma

0

0 1

0

0 0

1 M

trận ma

Dạng

Phép biến dạng (shearing)

Dùng để làm nghiêng đối tượng theo một trục nào đó Tham số :

- Trục nghiêng : Ox

- Góc nghiêng : β

Trang Trang 41 41

β

Phép biến dạng

Phép biến dạng –– công thứccông thức

=

0 0

1 0

0 1

trận ma

Dạng

P P

P tg P

P

hàm Dạng

y

' y

y x

' x

Trang Trang 42 42

=

1 0

0

0 1

sh

0 0

1 M

hoặc

1 0

0

0 1

tg

0 0

1

Phép nghịch đảo

T

Trang Trang 43 43

T -1

0 bc

ad với

-, 1 f

e

0 d

c

0 b

a M

có T

Nếu

1

-Trang Trang 44 44

ad

af

be bc

ad

de cf

0 bc

ad

a bc

ad

c

0 bc

ad

b bc

ad

d M

có T

thì

1 -

Biến đổi mô hình đối tượng phân cấp

Trang Trang 45 45

Biến đổi mô hình đối tượng phân cấp

Trang Trang 46 46

Tcon = Tcon-cha + Tcha

Hệ qui chiếu gốc