Thuật toán vẽ đường cong

Tài liệu này dành cho sinh viên, giáo viên khối ngành công nghệ thông tin tham khảo và có những bài học bổ ích hơn, bổ trợ cho việc tìm kiếm tài liệu, giáo án, giáo trình, bài giảng các môn học khối ngành công nghệ thông tin

ĐỒ HỌA 2D

ĐƯỜNG CONG

Giảng viên : Bùi Tiến Lên

Phân loại

Quan điểm toán học

- Đường cong được biểu diễn bằng hàm số

- Đường cong được biểu diễn bằng phương trình tham số

Quan điểm thiết kế

- Đường cong CAD (Computer Aided Design)

Trang Trang 22222222

- Đường cong CAD (Computer Aided Design)

Đường cong được biểu diễn bằng

hàm số

xmin

y=f(x)

Thuật toán

Bước 1 : Chia miền đối số ra N

đoạn bằng nhau

x0 x1 x2 xN-1xN

x0 x1 x2 xN-1xN

for(int i=1; i<=N; i++)

Vấn đề phân đoạn

Số phân đoạn N là bao nhiêu ?

độ phân giải cột

Trang Trang 10 10

Đồ thị đa thức bậc ba

Vấn đề tính giá trị đa thức

Cách tính thông thường

Cần 3 phép nhân và 3 phép cộng

Cách tính cải tiến

?

Vấn đề tính giá trị đa thức

Đa thức bậc nhất y = ax + b

Cách tính thông thường Cách tính cải tiến

Vấn đề tính giá trị đa thức

Đa thức bậc hai y = ax2 + bx + c

Cách tính thông thường Cách tính cải tiến

yi + ∆yi

∆yi + 2a ∆x∆ 2

Trang Trang 14 14

Vấn đề tính giá trị đa thức

Đường cong được biểu diễn bằng

Phương trình tham số

cos 5

cos

=

=

t t

t y

t t

t x

( ) ( )

( )t a ( )t

y

t a

Thuật toán

Bước 1 : Chia miền tham số ra

N đoạn bằng nhau

Miền tham số

Trang Trang 18 18

(x0, y0)(x1, y1)(x2, y2)

Cài đặt

// Hàm vẽ đường cong tham số

void DrawCurve2D(CDC *pDC, TPara2D f, double tmin, double tmax) {

Vấn đề phân đoạn

y

tcost

t

y

tcost

t

x

ĐƯỜNG CONG BEZIER

Định nghĩa đường cong

Đường cong Bezier bậc một

hoặcx(t) = (1 – t)p0x + tp1xy(t) = (1 – t)p0y + tp1y

t ∈ [0, 1]

p0

Đường cong Bezier bậc hai

t ∈ [0, 1]

p0

Đường cong Bezier bậc ba

Một số đường cong Bezier bậc ba

Công thức xác định đường cong

(

!kn

!k

!

nt

B

với1

,0t

p.tBt

p

khiểnđiều

điểm1

nbởitạo

đượcn

bậcBezier

congđường

Ptts

n k

k k n

n k

n k

0 k

[ ]0,1t

p.tBt

y

p.tBt

x

n k

0 k

ky

n k

n k

0

k

n k

Tính chaát 1

Tính chất 2

Các điểm điểu khiển tạo thành bao lồi của đường cong

Trang Trang 32 32

Độ thẳng của đường cong Bezier

3 2

2 1

1 0

pp

pp

pp

p

pf

−

−+

−+

−

=

Thuật toán vẽ đường cong Bezier

Trang Trang 34 34

Thuật toán vẽ đường cong Bezier

Xét đường cong Bezier với các điểm điều khiển {p0, p1, , pn}, nối các điểm liên tiếp để tạo thành đa giác điều khiển

Chia mỗi đoạn trong đa giác với tỉ số t:(1-t), nối các

điểm mới tính, ta có được đa giác với số đỉnh ít hơn 1

Lặp lại bước trên cho đến khi chỉ còn một điểm đơn, chính là điểm của đường cong Bezier ứng với tham số tLặp lại bước trên cho đến khi chỉ còn một điểm đơn, chính là điểm của đường cong Bezier ứng với tham số t

Trang Trang 36 36

p0

p3

p2

p1

Tính liên tục

•Một đường cong Bezier không đủ phức tạp

•Ghép nhiều đường cong Bezier với nhau

•Yêu cầu tính liên tục tại các điểm ghép nối

•Liên tục tham số

C0: liên tục tham số bậc 0, hai Bezier có cùng đầu mút

C1: C0 + có cùng vector tiếp tuyến tại điểm đầu mút

C1: C0 + có cùng vector tiếp tuyến tại điểm đầu mút

C2: C1 + có cùng đạo hàm bậc 2 tại điểm đầu mút

Tính liên tục

Liên tục bậc 0

Liên tục bậc 1

Trang Trang 38 38

Liên tục bậc 2

Tính liên tục

•Liên tục hình học

•G1: tiếp tuyến cùng hướng nhưng không cần cùng độ lớn

•G2: cùng tiếp tuyến và cùng độ cong

Thuật toán vẽ đệ qui

p3

Trang Trang 40 40

Thuật toán vẽ đệ qui

3 2

1 1

3 2

1

0 0

1

0 1

0 0

4

pp

2

pr

8

pp

3p

3

pr

2

p

pl

pl

+

+

=

++

3

2 2

1

3 2

1

0 3

2 1

0 2

1

pr

2

p

pr

4

8

pp

3p

3

pl

4

pp

2

pl

2

=

+

=+

+

+

=

++

=

Thuật toán vẽ đệ qui

0 1 2 3

Vẽ Bezier (r0, r1, r2, r3)

Kết thúc

ĐƯỜNG CONG HERMITE

Định nghĩa đường cong

0

v
v
1

Công thức xác định đường cong

Một số đường cong Hermite

Trang Trang 46 46

Đường cong Bezier bậc ba & Hermite

( B)

2

B 3

H

1

B 0

B 1

H

0

B 3

H

1

B 0

H

0

pp

3v

pp

3v

pp

pp

2

p

B 3

1

p

H 0

v

H

v

Dẫn nhập

Bao nhiêu đường cong?

Trang Trang 48 48

ĐƯỜNG CONG PHỨC

Định nghĩa đường cong phức

Đường cong phức là sự kết hợp của những đường cong

C1

C4

Yêu cầu thiết kế đường cong phức

Đối với người thiết kế

1 Dễ vẽ

2 Liên tục

3 Cục bộ

Đối với người lập trình

Đối với người lập trình

1 Biểu diễn dễ dàng và hiệu quả

2 Tính toán hiệu quả

Tính liên tục

Liên tục bậc 0

Liên tục bậc 1

Trang Trang 52 52

Liên tục bậc 2

Phân loại

1 Đường cong Splines

2 Đường cong B-Splines

3 Đường cong Nurbs (NonUniform Rational B-Splines)

CÁC ĐƯỜNG CONG SPLINES

Định nghĩa đường cong Splines

Pp

=

=

Trang Trang 56 56

1 k 1

k 0

1 k 1

P

P2

t

1v

P

P2

t

1v

Pp

+

Ảnh hưởng của tham số tension t

Là trường hợp đặc biệt của Cardinal Splines với t = 0

Pp

Pp

2 1

1 0

2

P

Pv

2

P

Pv

Pp

1

3 1

0

2 0

2 1

Kochanek Bartels Splines Bartels Splines

Là trường hợp tổng quát của Cardinal Splines

- Tham số tension t

- Tham số bias b

- Tham số continuity c

k 1

k k

0

1 k 1

k 0

PP

c1b1P

Pc1b1t1

1v

PP

c1b1P

Pc1b1t

12

1v

Pp

Pp

+

− +

−

−

−+

−+

+

−

=

−+

−+

−

−+

−

=

=

=

Ảnh hưởng của tham số bias b

Trang Trang 60 60

P2

P3

v2

1 0

PP

3

PP

3

vv

v

v

14

1

14

11

1 3

n

1 n 2

v

PP

3

PP

3

vv

v

1

14

1

14

0 1

1

0

PP

3

PP

3v

v1

41

12

2 n n

1 3

0 2

n

1 n

2 1

PP

3

PP

3

PP

3

PP

3

vv

vv

21

14

1

14

1

14

Free Splines

Là đường cong liên tục C0

ĐƯỜNG CONG B

ĐƯỜNG CONG B SPLINES SPLINES

1,0t

PtNt

0 i

i

k i

tt

t

tt

Ntt

t

tt

N

khác0

t,t

t nếu

1t

N

1

k 1

i 1 i k

i

k i 1

k i i 1

k i

i

k

i

1 i i

1

i

− + +

+

+

−

− +

+

−

−+

6

PP

4

Pp

2

1 1

2 1

0 0

4

Pp

3

P2

Pp

3

3 2

1 3

2

1 2

P

P

p 1 0 0

=

−

=

Trang Trang 70 70

Pp

1

2 2

1 1

−

=

=

ĐƯỜNG CONG HỮU TỈ

Định nghĩa

Là đường cong trong đó các hàm x(t) và y(t) là các hàm đa thức hữu tỉ

Trang Trang 72 72

Đường Conic

Dạng chuẩn

yx

Hyperbola

0b

a,

1b

ya

xEllipse

2 2

2

2 2

2

>

=+

0a

ax4y

Parabola

0b

a,

1b

ya

x

2

2

2 2

Đường Conic

Dạng tham số

( ) ( )

(− ∞ ∞)

∈+

t

1

t

2bt

y

t1

t

1at

xEllipse

2

2 2

Trang Trang 74 74

( ) ( )

t

1

t

2bt

y

t1

t

1at

x

Hyperbola

t1

2 2 2

Đường Bezier hữu tỉ bậc hai

Input

p0(x0, y0) và trọng số w0

p1(x1, y1) và trọng số w1

p2(x2, y2) và trọng số w2

Output

p1,w1

p0,w0

p1,w1

Công thức

Hệ tọa độ thuần nhất

( ) ( ) ( )

2 1 0

2 0

2 2

2 2

2

1 1

1 2

1

0 0

0 2

0

xtBx

tBx

tB

wy

xt

Bw

y

xt

Bw

y

xt

Bt

w

ty

tx

Trang Trang 76 76

=

2

2 2 1

2 1 0

2 0

2

2 2 1

2 1 0

2 0

2 2

1 1

0 0

wtBw

tBw

tB

ytBy

tBy

tB

Công thức

Hệ tọa độ đề các

( ) ( )

2

2 2 1

2 1 0

2 0

2

2 2 1

2 1 0

2 0

2

2 2 1

2 1 0

2 0

xx

x

wtBw

tBw

tB

ytBy

tBy

tB

wtBw

tBw

tB

xtBx

tBx

tBt

y

tx

++

++

++

2 2 1

1 1

2 1 0

0 0

2 0

2

2 2 1

2 1 0

2 0

2

2

2 2 1

1

2 1 0

0

2 0

y

xw

t

By

xwt

By

xw

tB

wtBw

tBw

tB

y

xt

By

xt

By

xtB

Biểu diễn Conic bằng Bezier hữu tỉ

Đường Ellipse

( ) ( )

tBa

tB

t1

t2b

t1a

ty

tx

2 2

2 1

2 0 2 2

( )t 1 B ( )t 1 B ( )t 2B

b

0.2.t

Bb

a.1.t

B0

a.1.tB

2tBt

Bt

B

b2tBb

tB0

tB

2 2

2 1

2 0

2 1

2 1

2 0

2 2

2 1

2 0

2 2

2 1

2 0

2 1

0

++

ĐƯỜNG CONG NURBS

Định nghĩa

Là đường cong phức C = {C1, C2, …, Cn-2} với Ci là các đường cong Bezier hữu tỉ

Trang Trang 80 80