Vấn đề 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐI.. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tính các giới hạn sau đặt nhân tử chung hoặc chia cho số mũ cao nhất 1... Các dạng vô định: Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có
Trang 1Vấn đề 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.C là hằng số ⇒ lim C C =
k
n
+
3.lim qn = 0, ∀ q q : < 1 lim qn = +∞ ∀ , q q : > 1
4.Nếu lim un = a ;lim vn = b thì;
a) lim ( un± vn) = ± a b lim ( u vn. n) = a b
b) 0, 0 lim n
n
n
5. lim
lim
a
= ±∞
n
n n
n n
u
v
lim
n
n n n
u
= >
6.a) Dãy ( ) un là một cấp số nhân lùi vơ hạn ⇔ ( ) un là 1 CSN vơ hạn cĩ cơng bội q : q < 1
b) Khi đĩ, tổng: 1 2 3 1
1
n
u
q
= + + + + + =
Chú ý : lim n
→+∞ = thì ta cĩ thể viết limu n =a
II BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính các giới hạn sau (đặt nhân tử chung hoặc chia cho số mũ cao nhất)
1
n n
n n
2
1 2 6 lim 3
3
−
+
−
2
n n
n n
+
+
−
2
2 5
2 1
lim
3
7 5
3 3 4 2
2 3
+
−
+ +
−
n n
n n n
+
− +
2
1 2 lim
n
n
5
5 3
2 2
2
+
+ +
−
n
n n
6
7 3
5 4 lim 3 2
2
+ +
− +
n n
n n
7
9 6 4
2
4 5
+ +
−
− +
n n
n n n
8
5
2 3 7
2
+
+
−
n
n n
9
n n
n n
−
− +
2
3 2
1 2 3 lim 10
+
− +
5 1 3 2
2 lim
2 2
3
n
n n
n
11
n n n
n n
3
11 7
3 lim 55 4 3
− +
− +
−
2 5
3 2 lim
n n
n
+
−
13
( 3 4 ) ( 5 1 )
7 4 3 2 lim
2 2
3 2
+
−
+
−
n n
n n
14
( 2 1 ) ( 1 )
3 5 1 3 lim 3
2
+
−
+ +
n n
n n
15
2 2
1 2
2 7 1 lim
+
+
−
n
n n
16
2
2 3 1
2 lim
n
n n
−
−
17
1
1 lim
+
+
n n
18
2
lim3 3
+
+
n n n
Trang 23 2
2 3 2
lim 2
4
+
−
− +
n n
n n
20
12
8 5 7 lim
+
+
−
−
n
n n n
21
1 2
+
+ +
n
n n n
22
n n n
n n
− +
+ +
4 3
2 1 lim
23
2 3
1 1
lim
2
+
+
− +
n
n n
24 lim ( 3 n3 − 7 n + 11 ) 25
2 2
lim n4 − n2 + n +
26
1 2
2 1 lim 2
+
− +
n
n n
27
2 3
1 1
lim
2
+
+
− +
n
n n
Bài 2: Tính giới hạn các dãy sau ( Bằng cách nhân lượng liên hợp )
1
( 3 1 2 1 )
lim n − − n −
2 lim ( n + 1 − n ) n
3 lim ( n2 + n + 1 − n )
4
lim n2 +n+ − n+
5 lim ( n + 3 − n − 5 )
6 lim ( n2 − n + 3 − n )
7 lim n2( n − n2 + 1 )
8
1 2
1 lim
+
−
n
9 lim ( 2 n + 3 − n + 1 )
10 lim n ( n2 + 1 − n )
11 lim n ( n2 + 5 − n )
12 lim ( n2 − n + 3 + n )
13 lim ( n +31 − n3)
14 lim ( a + n − n )
15
( ) ( )
3 1+ 2 −3 −12
16 lim (3 n2 − n3 + n )
17
lim n3 n3 + − n3 −
18
n+ n+ n − n
lim
19
lim n + n + − n − n
Bài 3: Tính giới hạn của các dãy số sau
2
1 2
lim
/
1
+
+
n
n
4
1 3 lim /
2
+
+
n
n
2 3
1 5 lim / 3
+
−
n n
n n n
n n
− +
+ +
2
2 2
3 2 lim
/
1
3 2
lim /
+ +
+
n n
n
n
) 3 )(
2 3 (
) 1 2 )(
1 ( lim / 6
+ +
− +
n n
n n
1 3
2 lim
/
+ +
+
n n
n n
1 3
2 lim /
+
n
n
) 2 )(
1 (
) 3 )(
2 ( lim / 9
+ +
+
n n
n n
n
Bài 4 : Tính giới hạn của các dãy số sau
1
1 2
lim
/
2
+
−
n
n
2
5 2 lim /
+
−
+
n n
n
2 3
2 lim
/
3
− +
−
n n
n n
4 / lim (3 n2 − n3 + n )
2 3
1 2
lim /
−
+ +
n
n n
6 / lim (3 n3 − 2 n2 − n )
Bài 5 : Tính giới hạn của các dãy số sau
n n
n
3 2
1 lim
/
−
+
4
3 2
) 1 (
) 2 ( ) 1 ( lim / 2
−
+ +
n n
n n
3 / lim ( n2 + n − n2 + 1 )
4 / lim( n +3 3 n2 − n3 )
2
1 11 2
lim /
−
+
−
n
n n
4 2
1 lim
/ 6
2
2 + − n +
n
Trang 3Bài 6: Tính các giới hạn sau :
n
n
+
+
2 1)
n
−
3
2
n n
− +
23.
lim
2
1)
1
−
Bài 7*: Tính các giới hạn sau :
7.lim(1 3 5 (2 1)) 8.lim(2 5 8 (3 1))
9.l
n
n n
n
im(1 3 5 (2 1) ) 10.lim(1.2 2.5 3.8 (3 1))
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)
( 1) 13.lim(1 3 6 10 )
2
n
n n
+ + + + + +
Bài 8*: Tính các giới hạn sau
1 lim1 2 2
n n
+ + +
2
2 3
2
4 2
− +
+ + +
n n
n n
3
2 3
2 1
2 2
2
+ +
+ + +
n n
n
Trang 4
2 3
2 1
lim 4 3
3 3
3
+ + +
+ + +
n n n
n
5
2 11
2 1
lim 2
3 3
3
+ +
+ + +
n n
n
4
1
2
1
2 2 3 3
3+ + + =n n+
n
6
1 2
) 1 2 (
3 1
+ +
− + + +
n n
n n
7
n n
+ +
+ +
+ +
+ +
5
1
5
1 5
1 1
3
2
3
2 3
2 1
2
8
+ + + +
) 1 (
1
3 2
1 2 1
1 lim
n n
9
+ +
+ +
) 2 2 ( 2
1
6 4
1 4 2
1 lim
n n
Vấn đề 2: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.a) C là hằng số
0
lim
x x C C
→
⇒ = b)
lim
x x x x
2.a) lim k ;
→+∞ = +∞ ∈ b) lim k
x x
→−∞ = +∞,∀k là số lẻ lim k
x x
→−∞ = −∞, ∀k là số chẵn.
3.Giới hạn một bên:
0
lim ( )
x x f x L
lim ( ) lim ( )
x x f x x x f x L
4.Nếu ( ) ( )
x x f x a x x g x b
b) ( ) 0, 0 lim ( ) ( )
x
→∞
x
→∞
* Chú ý : 4 Vẫn đúng khi x → −∞ → +∞ ; x …
5.Giới hạn vơ cực:
a) Giới hạn của tích f(x).g(x) b) Giới hạn của thương f(x)
g(x)
6 Các dạng vô định:
Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp sau đây Ta cần tìm:
1/ lim ( ( ) )
) ( 0 v x
x u
x x
x
∞
→
→ mà lim ( ) lim ( ) 0
) ( )
=
=
∞
→
→
∞
→
x x
x
x x
2/ lim ( ( ) )
) ( 0 v x
x u
x x
x
∞
→
∞
→
→
∞
→
lim
) ( )
x v x
u
x x
x
x x
3/ lim [ ( ) ( ) ]
) ( 0
x v x u
x x
x
∞
→
→ mà lim ( ) 0
) ( 0
=
∞
→
x x
∞
→
lim ) ( 0
x v
x x
4/ lim [ ( ) ( ) ]
) ( 0
x v x u
x x
∞
→
∞
→
→
∞
→
lim
) ( )
x v x
u
x x
x
x x
∞
→
→
∞
→
lim
) ( )
x v x
u
x x
x
x x
0
lim ( )
x x f x
lim ( )
x x g x
→ Dấu của g(x)
0
( ) lim ( )
x x
f x
g x
→
0
lim ( )
x x f x
lim ( )
x x g x
0
lim ( ) ( )
x x f x g x
→
Trang 5II BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính các giới hạn: (thay giá trị vào )
1)
2
3
lim 3
2
−
−
x
5
3 2 7
3 4
+
−
x
2 4
2 3 2 lim
+
−
+ +
−
x x
6 lim 3
2
x
5)
7
2
1
5
lim
−
x
6 2
2
3 5 lim 3 2
2
+ +
−
x x
x
Bài 2: Tính các giới hạn (Phân tích thành nhân tử)
1
2 5 3
10 3 lim 22
− +
x x
x
2
a x
a
a
−
→
lim
3
2 1
) (
) ( lim
a x
a x na a
a
−
−
→
1 ( 1)
1 lim
−
− +
−
n nx
x n
x
−
−
−
3 1
1 lim
x x
x
−
−
−
n
n
1 1
lim
1
h
x h x
h
3 3 0
lim + −
→
8
x
x
−
1 lim
9
3
15 2
− +
x x
x
10
5
15 2 lim
2
− +
−
x x
x
11
6 ) 5 (
1 lim
3
−
x
x
12
6
2 9 3
2 3
−
− +
x x x
x
13
x x
x x
4 3 lim 2 2
− +
−
→
14
20 12
6 5 lim 2
2
+
−
−
x x
x
15
6
2 3 lim 2
2 3
+ +
−
x x x
x
16
3 2
1 lim 2
4
−
x
x
17
6
4 4
2 3
+ +
−
x x x
x
Bài 3: Tính các giới hạn (Nhân lượng liên hợp cĩ một căn bậc hai )
2
3 5 lim
2
− +
x
x
2
7
2 9 lim4
− +
x
x
3
x
x
−
5
lim
5
4
2
1 5 3
lim
−
−
x
5
1 1
lim
x
6
x x
x
1 lim
2
+
−
7
x
x x
x
1 1
lim
2 0
− + +
→
8
25
3 4
− +
x
9
( )
x
x x
x
x
+
− +
−
→
1 2
1 lim
2 0
10
4 10 2
3 lim
−
x
11
1
2 3 lim
3
−
−
x x
x
12
x
x
n x
1 1
lim 0
− +
∈N, n ≥ 2 13
6
2 2 lim
−
−
x
x
14
2 3
2 4
2 3 lim 2
2
−
−
−
−
x x x
x
15
1
1 3 2 lim 2
+
−
x x
x
16
2
58 3 lim
3
+
−
x x
x
17
3 2
1
−
x
x
Bài 4: Tính các giới hạn (Nhân lượng liên hợp cĩ hai căn bậc hai )
1
x
x x
x
−
− +
→
5 5
lim
0
2
x
x x
x
−
− +
→
1 1
lim
0
3
1
1 2
lim
−
−
x x
x
4
x
a x a
x
− +
→ 0 lim (a >
0) 5
x
x x x
x
1 1
0
+ +
− +
→
6
2 3
2 4
2 3
2
−
−
−
−
x x x
x
7
2 3
2 4
2 3
−
−
−
−
x x x
x
Trang 6x
a x a
x
3 3
0
→
9
1
1 2
3
+
− +
−
x x x
x
10
x
x x
x
x
+
− +
−
→
1 3
1 lim
2 0
Bài 5: Tính các giới hạn (Nhân lượng liên hợp cĩ căn bậc ba)
a)
x
x
x
1 4 1
lim3
0
− +
2
2 4 lim3
−
x
x
x
1 1
lim 3 0
+
−
1 1
lim 3
x
x
x 0
1 x 1 x
lim
x
→
2
x 1
lim
→
−
Bài 6: Tính các giới hạn (Nhân lượng liên hợp cả tử và mẫu )
1
x
x
x − −
+
−
5 3
lim
2
3 1 4
2 lim
+
−
x x
x
3
1 lim
2
−
x x
x
4
2 3
1 lim
2
3
+
−
x
x
5
1
1 lim
4
3
−
x
x
6
3 9
2 4
lim
2
2
−
−
x
x
7
3
5 2 7 lim
− +
x
x
8
3
644
8 lim
x
x
−
→
9
1
1 lim3
−
x
x
Bài 7: Tính các giới hạn: (
0
0
)
3 7
4 lim / 20 1 1
lim / 19 2
3
7 11
8 lim / 18 3
4
4 7
2
lim
/
17
3 2
3 7 2 lim / 16 1
3 1
3 lim / 15 4
2 2 lim
/ 14 1 2
3 2
lim
/
13
2 3
2 4
lim / 12 )
1 (
5 4 lim / 11 2
3
2 4
lim / 10 6
2 2
lim
/
9
1
6 5 lim / 8 3
3 4 lim
/ 7 9
3 lim / 6 3
3 4
lim
/
5
8
4 lim / 4 20
16 lim
/ 3 1
2 3 lim
/ 2 4
6 lim
/
1
2 2
0 2
2 2
3
1
1 3
1 2
2 2
2
1
2
2 3 1 2
5 6 1 2
2 3 2
2 3
2
2 1
2 3 / 8 2
3
2
3
3 2 2 2
2 4 2
3 3 1 2
2
2
− +
− +
− + +
−
+
− + +
−
− + +
+
−
− +
−
+
− +
−
− +
−
−
− +
+
−
+ +
−
−
+
− +
−
+ +
−
− +
− +
−
−
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
− +
− +
−
−
+
−
−
−
+
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
−
→
→
−
→
→
→
→
x
x x
x x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x x x
x x x x
x
x x x x
x
x x
x
x
x x x
x x x
x x
x
x
x
x x
x
x x
x x
x x x
x
x
x
x x
x x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
Bài 8: Tính các giới hạn:
3 3
27 6
lim
/
7
2 2
2 lim
/
4
1
1 lim
/
1
2 3
2 4
3
2
2 2
3
1
+ + +
−
−
− +
−
−
−
−
−
→
→
→
x x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
3 3
0 1
2
2 3 1
2 3 2
1 1
lim / 8
4 5
3 2 lim / 5
4 3
4 2 lim
/ 2
+
− +
−
−
+
−
− +
−
−
+ +
−
→
→
−
→
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x
3 1 4
2 lim
/ 9
2 3
2 4
2 3 lim / 6
1 1
lim / 3
2
2 2 1
2 0
− +
+
−
+
−
−
−
−
−
+ +
− +
→
→
→
x
x x
x x
x x x
x
x x x
x x x
Bài 9 : Tính các giới hạn:
Trang 72 3
1 lim
/ 10 3
1 1 lim / 9 2
3 2
1
lim
/
8
1
1 2 lim / 7 2
3
1 lim
/ 6 5
1
5
3
lim
/
5
6 2
2 3 lim / 4 )
1 )(
1 ( lim / 3 3
3 4 lim / 2 1
1
lim
/
1
2
3 1
3 0 4
2
2 3
1 2
3 1 4
2 2 2 2
3 2 3
2 3
3
0
− +
+
−
−
−
− +
−
+
− +
−
− +
−
−
−
+
−
+ +
+ + +
+
− +
−
+
−
−
−
−
→
→
→
→
→
→
−
→
→
→
→
x
x x
x x
x
x
x x x
x
x x
x
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
Bài 10 : Tính các giới hạn:( Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp)
Cách thêm lượng liên hợp: Giả sử
) (
) ( ) (
x g
x f x
F = cĩ giới hạn là 0/0 phân tích
) (
) ( )
(
) ( )
x g
c x f x g
c x f x
Gọi αi( i = 1 , n )là nghiệm của g(x) Giải hệ f1( αi) + c = 0và f2( αi) − c = 0tìm c
2
1 2 2
lim / 7 2
6 6
lim / 6 1
3 9
lim
/
5
7 16 9
lim / 4 3
5 1
lim / 3 1
1 lim / 2 2
3
7 11
8
lim
/
1
2 1 2
3 2
3
1
0
3 3
3 0 2
3
2
−
−
−
−
+
− +
+ +
−
−
+ +
−
− + +
+
−
+
− +
−
−
+ +
−
+
− +
−
→
−
→
→
→
→
→
→
x x
x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
Bài 11: Tính các giới hạn sau:
1
x
x x
x
3 0
8 1
2
lim − − −
2
2 3
2 4
2
3
3 2
−
−
−
−
x x x
x
3
1
7 5
3 2 3
+
−
−
x x
x
4
2 3
2 4
2 3
2 3
−
−
−
−
x x x
x
5
1
5 7 lim
2 3
−
− +
x x
x
6
x
x x
x
3 0
5 8 4 3
→
7
x
x x
x
7 1 2 1 lim3
0
+
− +
Bài 12: Tính các giới hạn: (
∞
∞
)
1) 1 2
3 2 lim / 10 1
3
1 4 lim / 9 1
3 2
lim
/
8
5 3
7 3 4 lim / 7 1
6
8 3 lim / 6 )
4 3 (
) 4 1 )(
1 2 )(
2
(
lim
/
5
5 3
1 3 2 lim / 4 1
1 2 lim / 3 2
1 lim
/ 2 3
2
1
lim
/
1
3
2 2
3 3
2
2
3 4
2 3
2
2 3
2 5 2
3 2
+
−
+
−
+ +
−
+ +
+
−
− + +
−
− + +
− +
−
+
−
+ + +
+ +
−
+ +
− +
+
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→ +∞
→
−∞
→
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x x
x
x x x
x x
x
x x
x x x
x x x
x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
5/
x
lim
→−∞
2 2 x
lim 2x x 1
→+∞
+ −
x
2x 3 4x 7 lim
3x 1 10x 9
→+∞
50 x
lim
2x 1
→−∞
2 2 x
lim
→−∞
5x 3 1 x lim
1 x
→−∞
−
Bài 13 : Tính các giới hạn:
x x
x x
x
+ + + +
∞
4 1 3 2 lim
/
1
2
2
1
1 2 4 1 9
lim / 2
2 2
−
+ +
− + +
∞
x x x
x
−
5
1 /
1
− 1
1 /
2
Bài 14 : Tính các giới hạn: (∞ − ∞)
Trang 8
+
−
+ +
− +
+
− +
−
+
−
− +
−
−
−
− +
−
−
−
−
− +
→
−∞
→
+∞
→
→∞
→
←∞
→∞
+∞
→
6 5
1 2
3
1 lim
/ 8 )
1 1
(
lim
/
7
) 1 (
lim / 6 )
3 ( lim / 5 1
3 1
1
lim
/
4
) (
lim / 3 )
3 4 4 1 2 ( lim / 2 )
(
lim
/
1
2 2
2 2
2
2
3 1
2 2
3 3 2
x x x
x x
x x
x
x x x
x x x
x
x x x x
x x
x x x
x x
x x
x
x x
x
Bài 15: Tính các giới hạn sau (x → ∞ )
3
6 6 2
1 3 lim
x x
x x
+ +
∞
2. + −
+∞
xlim
3.
( )60
40 20
1 2
2 3 3
2
lim
+
+
−
∞
x x
4.
lim 2 + − 2 −
+∞
x
5.
n
n n
x x x
lim
2
−
+∞
→
6.
lim 2 − + − 2 − +
+∞
x
7.
( x x x x)
xlim 2 −4 +1− 2 −9
+∞
→
8.
lim 2− + − 2− +
+∞
x
9.
+∞
x
10.
(2 1 4 4 3)
+∞
x
11.
+∞
xlim 3 3 3 3 12.
∞
→
3 3 2 2 lim
13.
lim3 3 − 2 + − +
∞
x
+∞
lim 2
15.
( x a x b x )
+∞
→
lim 16.
+∞
xlim
17. lim( 2 + − +2)
+∞
18.
( x x x x)
xlim 3 3+2 2 − 2−2 +∞
→
19.
1 lim
−
− +
+∞
x
20.
+∞
→
2
lim
21.
+∞
lim 22.
.
+∞
x
23.
2
+∞
x
24.
.
+∞
x
25.
+∞
∞
→
lim
Bài 16 : Tìm các giới hạn sau
1)
1 1
3 2 lim
2
2
+
− +
+ + +
−∞
x x
x
x x
x x
x
+ + + + +∞
1 4 3 2 lim
2
2
3)
1
1 2 4 1 9
lim
2 2
+
+ +
− + +
−∞
x x x
x
x
4)
3 3
2
1
3 2 lim
+
−
+ +
−∞
x x
2
lim 2
+
− +∞
x x
x
x x
1 lim
2
−
− +
−∞
→
7) lim ( x2 x x )
+∞
−∞
+∞
x
10) lim ( x x2 x )
+∞
−∞
+∞
→
13) lim ( 2 − 3 − 4 2 + 4 + 3 )
+∞
−∞
x x
x→ −∞ − 2 +
2 2
lim
Trang 9Bài 17: Tìm các giới hạn sau (giới hạn một bên)
a) lim ( 5 2 )
3
1 lim
3 + −
x
x x
− +
−
3 lim
2
1 2
3 2 lim 2 2
− +
+
x x
x
4
1 2
3
(
2 + − − −
1 3 2
5 2
1
2 3 (
2
+
+
x
| 1
|
2 3 lim
2 ) 1
+ +
+
−
x x
x
h)
2
|
2
|
lim
−
x
−
+
−
1 2 ) 1 (
2
x x
) 2 3 )(
1 (
5
x
l)
1 x
1 x 1
x
lim
2
1
− +
−
+
x 3
3 x lim
3 x +
→
−
3 x lim
3 x
−
→
−
−
o)
x 0
x 2 x
lim
+
→
+
2x 1 lim
x 2 +
→
+
2x 1 lim
x 2
−
→
+
−
t)
2
2
2x 5x 3
lim
x 3
−
→ −
3 x lim
27 x
−
→
−
3 2
x 2
x 8 lim
x 2x +
→
−
x)
8 2x 2
lim
x 2 +
→−
+ y)x 0
2 x 3x lim
3 x 2x +
→
−
Vấn đề 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Hàm số f(x) liên tục tại điểm xo⇔ xlim f (x) f (x )xo o
2. Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) là liên tục tại điểm x0 ∈ (a; b) ⇔xlim→x o− f ( x ) và lim ( )
0
x f
x
x→ +
tồn tại vàlim ( ) lim ( ) ( 0)
0 0
x f x f x
f
x x x
→
3 f(x) liên tục trên [ ] a b ; ⇔ f(x) liên tục trên khoảng( ) a b ; ,lim ( ) ( ) , lim ( ) ( )
x a+ f x f a x b− f x f b
4 a) Hàm số đa thức ( bậc n ); liên tục trên R ;
b) Hàm số phân thức và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định
5 Nếu f x ( ) liên tục trên đoạn [ ] a b ; , và f a f b ( ) ( ) < 0 thì ; ∃ ∈ x0 ( ) ( ) a b ; : f x0 = 0
Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b).
II BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Xét sự liên tục của các hàm số sau
1.f(x) =
≥
−
<
+
−
1 x khi 3 2x
1
x khi 4 x
x2
tại xo = 1 15.f(x) =
=
≠
−
−
−
−
2 x khi 3 11
2 x khi 2 x x
6 x x
2 3
tại xo = 2
2.f(x) =
sin x
khi x 1
x 1
khi x 1
π
tại xo = 1 16.f(x) =
2 2
x 3x 2
khi x 1
x 1 x khi x 1 2
tại xo = 1
Trang 103.f(x) =
2
4 x
khi x 2
x 2
1 2x khix 2
−
tại xo = 2 17.f(x) =
3
3
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
+ −
tại xo = 0
4.f(x) =
3
2
1 cosx
khi x 0 sin x
1
khi x 0
6
tại xo = 0 18
=
≠
−
−
=
2 x nếu 4
2 x nếu 2
4 )
(
2
x
x x
5
=
≠
−
−
−
=
2 x nếu 1
2 x nếu
x
x x
f ( ) 1 2 2 3 tại x0 = 2 19
≥
−
<
=
0 x nếu
0 x nếu
x
x x
f
1 ) (
2
tại x0 = 0
6
>
≤
−
=
-2 x nếu x
-2 x nếu 3
2 3 4
)
≤ +
>
−
− +
=
1 2
1 1
2 )
(
2
x
x x
x x x f
nếu
x nếu
tại x0 = 1
7
=
≠
−
−
=
4 ,
6
4 ,
4
16 )
(
2
x x
x
x
f
nếu
x nếu
tại x0 = 4 21
≤
>
−
−
−
=
2 1
2 ,
2
3 2 1 ) (
x x
x x
0= 2
8
=
−
≠ +
−
−
=
1 2
1 2
3
2 2
)
2
x x
x
x x
f
nếu
x nếu tại x
0 = 1 22
≤ +
>
−
=
1 ,
1
1 ,
3
1 )
x
x f
nếu
x nếu
tại x0 = 1
9
−
+
−
−
=
1
2 3
2
)
(
2
2
x
x x
x
x
) 1 (
) 1 (
≥
<
x
x
tại x0 = 1 23
−
−
−
=
2 4
2 1 )
x x
x x
) 2 (
) 2 (
<
≥
x
x
tại x0 = 2
10
− +
− +
=
1 1
1 1 2
3
)
(
3 x
x x
) 0 (
) 0 (
>
≤
x
x
tại x0 = 0 24
−
−
=
5 1
1 )
(
2
x
x x
) 1 (
) 1 (
=
≠
x
x
tại x0 = 1
11
−
−
−
=
x x x
f
2
3 2 1
1
)
) 2 (
) 2 (
≠
=
x
x
tại x0 = 2 25
−
=
x
x x
1 )
) 0 (
) 0 (
≠
=
x
x
trên toàn trục số
12.f(x) =
≥ +
<
− +
1 x khi a 2x
1
x khi 1 x
x2
tại x0 = 1 26.f(x) =
=
≠
−
− +
1 x khi a
1
x khi 1 x
3 x x
2 3
tại x0 = 1
13.f(x) =
1 cos4x
khi x 0 x.sin 2x
x a
khi x 0
x 1
+
+
tại xo = 0 27.f(x) =
khi x 0 x
4 x
x 2
−
tại xo = 0