CÁC THUẬT TOÁN TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH

B ắ t đầu từ điểm Px,y nằm bên trong vùng tô, kiểm tra các điểm lân cận cảu p đà được tô màu hay có phải là điểm biên hay không, nếu không phải là điểm đã tô và không phỉa là điểm biên t

void put8pixel(int xc, int yc, int X, int y)

putpixel(x+xc, y+yc, color);

putpixel(y+xc, x+yc, color);

puipỉxel(y+xc, -x+yc, color);

putpixel(x+xc, -y+yc, color);

putpixel(-x+xc, -y+yc, color);

putpixel(-y+xc, -x+yc, color);

putpixel(-y+xc, x+yc, color);

putpixel(-x+xc, y+yc, color);

l.Thuâc toán Bresenham

G iả sử tạ i bư ớc i đã v ẽ được điểm (xi,yi)

Đ iểm cần v ẽ k ê tiếp (xi+1, yi+1) là:

(xi +1, yi) hay (xi +1, yi -1)

Giá trị y thực sự thuộc đường tròn ứng với xi là:

y 2 = 1-2 - (xi +1)2

G ọi d l = yi2 - y2 = yi2 -r 2 +(xi +1)2

d2= y2 - (yi -1)2 = r2 - (xi +1)2 - (yi -1)2

Pi = d l-d 2 = yi2 - r2 +(xi +1)2 -r 2 + (xi +1)2 + (y i-l)2

= 2(xi +1 )2 + yi2 +(yi -1)2 -2r2

Pi+1 - pi = 2 (x i+ l +1)2 + yi+12 + (yi+1 -1)2 - 2r2 - 2(xi +1)2

- yi2 - (yi -1)2 + 2r2

= 4xi + 6 + 2(yi+12 - y i 2 ) -2 (y i+ l-y ỉ)

^ Pi+1 = pi+4xi + 6 + 2(yi+12 - yi2) -2(yi+1-yi)

V ậ y :

+ n ê u pi < 0 thì y i + 1 = y i , khi đó p i + 1 = p i + 4 x i + 6

+N êu pi > = thì yi+1 = yi-1, khi đó pi+1 = pi + 4(xi-yi)+10

Giá trị pi tại điểm đầu tiên (x l,y l) = (0,r) là:

P1 = 2 + r2 + (r-l)2 - 2r2=3-2r

void CircleBres(int xc, int yc, int r)

2.Thuât toán Midpoint

G ọi F(x,y) = x2+y2-r2, ta CÓ:

F (x ,y ){< 0 nếu (x,y) nằm Irong đường tròn

= 0 nếu (x,y) thuộc đường tròn

>0 nếu (x,y) nằm ngoài đường tròn

Chọn điểm b ắt đầu v ẽ là (0,r)

G iả sử đã v ẽ được điểm (xi,yi),

Đ iểm cần v ẽ k ê tiếp ( x i+ l,y i+ l) là s hay p

V iệ c chọn điểm s hau p dựa trên dấu của:

Pi=F(M idpoint) = F (x i+ l,y i-l/2 )

+ Nêu pi<0 = > chọn s

+ Nêu p i>=0 = > chọn p

M ặt khác:

pi+1 - pi = F(xi+1 +1, yi+1 -1/2)- F (xi+1, yi-1/2)

= [(xi+1 +1)2 + (yi+1 - Vì)2 - r2] - [(x i+ l)2 + (y i-l/2 )2 - r2]

= 2xi + 3 (yi+12 - yi2) - (yi+1 - yi)

V ậ y : + N êu pi<0 thì yi+1 = yi, khi đó pi+1 = pi + 2xi + 3

+ Nếu p i>=0 thì y i+ l= yi -1, khi đó pi+1 = pi + 2(xi-yi) +5

Giá trị pi tạ i điểm đẳu tiên (x l, y l)= (0 ,r) là:

B ắ t đầu từ điểm P(x,y) nằm bên trong vùng tô,

kiểm tra các điểm lân cận cảu p đà được tô màu

hay có phải là điểm biên hay không, nếu không

phải là điểm đã tô và không phỉa là điểm biên

thì ta s ẽ tô màu nó Quá trình này được lặp laijcho

đến khi không còn lô được diểm nào nữa thì dừng

Có hai cách chọn điểm lan cận, đó là chọn 4 hoặc

8 điểm lân cận dôi với điểm đang xét

Thủ tục minh hoajthuaatj toán tô màu theo đường biên:

Void T01oang(int X, int y, int mauto, int mauvien)

{ int mau;

mau=getpixel(x,y);

if(mau != mauvien)& (mau != mauto)

{ Putpixel(x, y.mauto);

T oloang(x-l,y, mauto, mauvien);

Toloang(x, y+1, mauto, mauvien);

T o loan g(x+l, y, mauto, mauvien);

Toloang(x, y-1, mauto, m auvien);}}

=>NhưỢc điểm của phương pháp đ ệ quy là

=>không thực hiện được khi vùng loang có diện

=>tích lớn( dẫn đến tràn Stack

B ư ớ c 1: khởi tạo hang đợi (hoặc stack) với

phần lử đắu tiên là P(x,y) đã được tô

B ư ớ c 2: khi hàng đợi (h oặc stack) không rỗng thì:

+ L ấy ra từ hang đỢi(hoặc stack) m ột điểm Q

+ tìm các điểm lân cận của Q chưa tô thì tô

chúng và đưa chúng vào hang đỢi(hoặc stack)

B ư ớ c 3 này đưỢc lặp đi lặp lại cho

đến khi hang đợi (h oặc stack) rỗng

struct DS { int x,y;

Void toloang_stack(int xO, int yO,

int mauto, int mauvien){ int x,y;

tolancan(x-l, y, mauto, mauvien);

tolancan(x+l, y, mauto, mauvien);

tolancan(x, y +1, mauto, mauvien);

tolancan(x, y-1, mauto, m auvien);}}

Thuật toán rời

Yêu cầu gọi hệ

thống

GetPixel/Val

Đ ộ c lập với thiêt bị

Đòi hỏi điểm

seed

Không đòi hỏi điểm seedYêu cầu stack rất

lớn

Yêu cắn stack nhỏ

G iả sử có điểm P(x,y), lúc đó gán mã cho điểm P:

Pleft={ 1, nếu Px < xmin

Pright={ 1, nếu Px>xmax

0, ngược lại

0, ngược lạ i

Pbottom={ 1, nêu Py<ymin

Ptop= { 1, nếu Py>ymax

0, ngược lại

0, ngƯỢc lại

X ét đoan thẳng A B ta có các trường hơp sau:

1.N êu (M a(A )=0000) và (M a(B )=000)

{hay(M a(A ) or M a (B )=0000} thì

=>C lip D (F)=A B

2 N êu (M a(A) and M a (B ))*0000) thì

= > ClipD(F) = 0

3.N êu ((M a(A) and M a(B ))=0000) và

(M a(A )*0000 h oặc Ma(B)*OOỮO) thì

G iả sử M a(A )*0000 { nêu m a(A)=0

ta đổi vai trò A và B }

-N êu A x =B x (A B thẳng đứng ) thì

+N êu Ay>ymax (A ở trên) thì Ay=ym ax’

ngưỢc lại (A ở dưới) Ay=ymin

= > C lipD (F)=A B

-NgƯỢc lạ i (trường hợp A x^Bx):

+Tính h ệ sô góc m =(By-A y)/(Bx-A x)

{đ ể tính giao của A B với HCN}

Vì A nằm ngoài hình chữ nhật nên:

+N êu Ax<xmin thì thay A

bởi điểm giao của AB với cạnh trái(nối dài) của HCN

+N êu Ax>xm ax thì thay A

bởi điểm giao của Ab với cạnh phải(nối dài) cua HCN

+N êu Ay<ymin thì thay A

bởi điểm giao của AB với cạnh dưới(nối dài) của HCN

+N êu Ay>ymax thì thay A

bởi giao điểm của Ab với cạnh trên(nối dài) của HCN

Quá trình lặp lại này

dừng khi x ả y ra m ột trong hai trường hỢp lhay 2

void ClipCohen(Point A, oint B, Point wmin, Point wmax)

{ int thoat,ve; double m;

thoat=0; v e = l;

{ if((ma(A) I m a(B )==0) thoat=l;

else if((m a(A )& m a(B ))!=0){th oat=l; v e=0}

else { if(m (A )==0) hoanvi(&A,&B);

if(A x==B x)

{ if(A.y>w max.y) A.y=wmax.y;

else A.y=wm in.y;}

else{ m =(double)(B.y-A.y)/(b.x-A.x);

if(A x<w m in.x){ A y=A y+(w m in.x-A x)*m ;

A,x=wm in.x; }

Else if(A x>w m ax.x){

A.y=A y+(w m ax.x-A x)*m ;

A.y=wmax.y; } } } }//end while

if (ve) veduongthang(A.B);}

2.Thuât toán chia nhi phân

Chia m ặt phẳng thành 9 vùng, mỗi vùng

được gán bởi m ột mã nhị phân 4 bit

-Ý tưởng của thuật toán như sau:

L ấy trung điểm củ a đoạn thẳng và kiểm tra

mã của nó đ ể lo ại dần các đoạn con không

chứa giao điểm , và cuối cùng cho điểm giữa

hội tụ v ề giao điểm của đoạn thẳng với hình chữ

nhật, k ết quả là ta thu được đoạn con nằm trong

-Ý nghĩa hình học của mệnh đề:

Nêu cả ba điểm A, B, M đều ở ngoài hình chữ

nhật thì có ít nhất m ột đoạn hoàn toàn nằm ngoài hình chữ nhật

Trong khi |xP - xQI + lyP - yQ|>=2 thì:

L â y trung điểm M của PQ

P:=A; Q :=B ;

L ấy M: trung điểm PQ;

Khi (Mã(M)^OOOO) và (|xP-xQ| + |yP-yQ|>=2) thi:

if((M a(A )|M a(B))==0) VeDuongThang(A,B);

if((M a(A )& M a(B))!=0) return;

if((M a(A )!=0)& & (M a(B )=0)) H oanVi(&A,&B);

if((M a( A )= = 0 )& & (M a (B )!=0))

{ P=A; Q =B ;

w hile((abs(P.x-Q x)+abs(P.y-Q y)).2)

w hile((M a(M )!=0)& & ((abs(P.x-Q x)+abs(P y-Q y))>2))

{ if((M a(P)& M a(M )!=0) P=M ;

Mô hình khung k ết nối (W F-W ireFrame model)

thể hiện hình dáng của m ột đôi tƯỢng 3D bởi 2 danh sách:

-Danh sách các đỉnh (vertices): lưu tọa đọ các đỉnh

-Danh sách các cạnh (edges) nối gữa các

đỉnh đó: lưu 2 đỉnh đầu và cuối của từng cạnh,

typedef slrucl loado3D

{ int x; int y; int z; }

typedef slrucl KieuCanh

{ int dau; int cuoi; }

typedef struct WireFrame

Mô hình các m ặt đa giác(Polygon Mesh model)

thể hiện hình dáng của một đối tượng 3D bởi 2 danh sách

-Danh sách các đỉnh

-Danh sách các m ặt: lưu thứ tự các đỉnh tạo nên m ặt đó

(hình v ẽ)

Chúng ta có thể đưa ra nhiều cấu trúc dữ

liệu khác nhau đ ể lull trữ cho đa giác Dưới

đây là một kiểu cấu trúc:

typedef struct loado3D

{ int x; int y; int z; }

V B iểu d iễn đ ư ờ n g và m á t cong:

Ỉ.D ư ờ n ạ cong Benzier

Bài toán: Cho n+1 điểm pO, p Ị p 2, ,pn

được gọi là các điểm kiểm soát (điểm điều khiển)

Xây dựng đường cong trơn đi qua 2 điểm p và pn

được giới hạn trong bao lồ i do n+1 điểm trên tạo ra

Thuật toán Caste]jau

Đ ể xây dựng đường cong P(t), ta dựa trên

một dãy các điểm cho trước rồi tạo ra giá trị P(t)

ứng với mỗi giá trị t nào đó

Phương pháp này tạo ra đường congdựa trên m ộl

dãy các b ư ớ c nội suy tuyến tính hay nội suy

khoảng giữa(In-Betweening)

với 3 điểm PO, P l, P2 ta có thể xây dựng

một Parabol nội suy từ 3 điểm này bằng cách chọn

một giá trị t e [0,1] rồi chia đoạn P0P1 theo tỉ lệ t,

ta được điểm P01, trên P0P1 Tương t ự , ta chia

tiếp P1P2 cũng theo tỉ lệ t, ta được P l l Nôi P01 và P l l

lạ i lấ y điểm trên P 01P11 chia theo tỉ lệ t, ta được P02

-Tổng quát hóa ta có thuật toán

Casteljau cho (n+1) điểm kiểm

soát:

G iả sử ta có tập điểm : P0,P1,P2,

,P n

v ớ i mỗi giá trị t cho trước, ta tạo

ra điểm Pir(t) ở thê ệ thứ r, từ thê

hệ thứ (r-1) trước đó, ta có:

Pir(t)= (l-t).P ir-l(t)+ t.P i+ lr-l(t)

( r = 0 ,l, ,n và i= 0 , ,n -r)

T h ê hệ cuối cùng: POn(t)=X P i.(l-

t)n-i.ti.Cni

ĐƯỢc gọi là dường cong benzier

của các điểm P 0 ,P l,P 2 , ,P n

Các điểm pi, i= 0 ,l , ,n gọi là các

điểm kiểm soát hay các điểm beier

Đa gics tạo bởi các điểm kiểm soát

gọi là đa giác kiểm soát hay đa giác

benziei

Đ ường cong benzier dựa trên (n+1)

điểm kiểm soát P 0,P l,P 2, ,P n

được cho bưởi công thức:

POn ( t)=P(t)= Xpk.B nk(t)

Trong đó: P(t): là m ột điểm trong

m ặt phẳng h oặc trong không gian

B nk(t): gọi là đa thức Bernstrin,

được cho bởi coog thức:

B nk(t)=Cnk (l-t)n-k.tk =(n!/k!(n-

k)! )(l-t)n-t.tk với n>=k

M ỗi đa thức Bernstein có b ậ c là n

thong thuowgf ta còn gọi các B

nk(t) là các hàm trộn

Đường cong Benzier dực trên (n+1)

điểm kiểm soát pO,pl, ,pn được

cho bưởi coog thức:

POn ( 0 = P (t)= £ P k B nk(t)

Tư ơng tự, đối với m ặt benzier ta

có phương trình sau:

P(u,v)— X ỵ p I,k Bim (u) Bkn(V)

Trong trường hỢp này khôi đa

diện kiểm soát sẽ có (m + l)(n + l)

CPoint TPt(CPonit p[ ],float t,int n)

{CPoint Pt; float B;int K;

M ặt trụ là m ặt được tạo ra khi m ột

dường thẳng (đường sinh) được

quét dọc theo một đường cong

P0(u) (đường chuẩn), đường cong

P0(u) nằm trên m ột m ặt phẳng

nào đó

G ọi d là đường sinh,d=const

P0(u) là đáy dưới

P l(u )là đáy trên

Suy ra d= P0(u)- Pl(u)p(u,v)= (1-

với (0 < = V < = 1 ; 0 < =u< = 2tt

thủ tụ c m ặ t tr ụ :

void DrawCylinder( float R,floal h){

Point3D P; Point2D P1 ; doule

theo một đường cong phawmgr cho

trước các duowgf thẳng luôn di

qua m ột điểm cố định gọi là đỉnh

của m ặt nón

P0(u) tròng với gốc tọa độ o

P l(u ) là đường trong tâm (0,0,h)

void DrawCone( float R ,float h)

{ Point3D P; Point2D P1 ; doule

void DrawSphere( float R)

{ Point3D P; Point2D P1 ; doule