Kĩ năng sử dụng máy tính Casio trong giải toán

Hãy th đ ng não... thì ta cng có.

Bùi Th Vi t THPT Chuyên Thái Bình)

Trong các d ng c h c t p đ c phép mang vào phòng thi trong các k thi

đ i h c k thi THPT Qu c Gia thì máy tính c m tay là d ng c không th

thi u giúp chúng ta tính toán nhanh chóng

Tuy nhiên máy tính c m tay s là tr th đ c l c đ gi i toán đ c bi t là

gi i Ph ng Trình H Ph ng Trình ” t Ph ng Trình hay k c là ” t

Đ ng Th c

Mình (tác giá - ”ùi Th Vi t là m t ng i r t đam mê v i nh ng k năng

th thu t s d ng máy tính c m tay trong gi i toán Mình đã áp d ng nó

vào đ thi THPT Qu c Gia Ch trong 5 phút, mình đã đ a ra l i

gi i chính xác cho câu Ph ng Trình Vô T và c)ng ch g n gi mình đã

hoàn thành xong bài làm v i đi m s tuy t đ i là trong ng i

đ c đi m t i đa

V y s d ng sao cho hi u qu Hãy đ n v i chuyên đ K ộăng S D ng

CỌSIO Trong Gi i Toán

Chuyên đ này ch a ph i là t t c nh ng Th Thu t mà mình đ a t i cho

b n đ c Tuy không nhi u nh ng các th thu t d i đây s mang t i s k

di u mà chi c máy tính C“SIO có th mang l i

Chuyên đ s gi i thi u th thu t C“SIO hay dùng trong vi c gi i toán

 Th thu t s d ng C“SIO đ rút g n bi u th c

 Th thu t s d ng C“SIO đ gi i ph ng trình b c 4

 Th thu t s d ng C“SIO đ tìm nghi m ph ng trình

 Th thu t s d ng C“SIO đ phân tích đa th c thành nhân t m t n

 Th thu t s d ng C“SIO đ phân tích đa th c thành nhân t hai n

 Th thu t s d ng C“SIO đ gi i h ph ng trình

 Th thu t s d ng C“SIO đ tích nguyên hàm, tích phân

 Th thu t s d ng CASIO đ gi i b t đ ng th c

K ộĂộG S D ộG CỌSIO TROộG GI I TOỦộ

TH THU T 1 : TH THU T S D NG CASIO

2

4 2

N u b n ch a bi t Th Thu t S D ng Casio Đ Rút G n ọi u Th c,

ch c h n b n s ph i k công ng i nháp Và đôi khi b n c)ng s g p nh ng

Phân tích h ng gi i

Làm th nào đ gi i quy t n t bài toán trên ?

Hãy t t đ c h t chuyên đ này r i xem l i bài toán trên, ch c ch n b n

đ c s có cái nhìn hoàn toàn khác v nh ng bài t p d ng này

Hãy th xem qua các l i gi i sau

Cách Nhân liên h p hoàn toàn:

21

2 2

cách làm trên tuy có khác nhau v cách trình bày nh ng v b n ch t thì

gi ng nhau Đó là cùng xu t phát t m t th g i là nhân t Khi có nhân

t chúng ta bi t đ c bi u th c nào c n nhóm đ đ t n ph nhân liên

h p phân tích nhân t Đ hi u rõ h n b n đ c hãy đ c các th thu t ti p

theo r i quay l i xem bài toán này và th làm nh ng bài t p t ng t

M t s bài t p t ng t :

1 x22x 2 x x  1 0

theo

Ngoài ra có vô vàn cách gi i khác t ng t nh bài Tuy nhiên chúng ta

nên đ cách gi i ph ng trình này b ng vi c phân tích nhân t vì đó là

t ng ra đ c a r t nhi u bài toán khó

Cách 1 : Bình ph ng hai v :

Ta có :

Thông th ng nh ng bài t p gi i ph ng trình ki u này th ng có m t

h ng gi i nhanh g n Đó là Phân Tích Thành Nhân T

Mu n phân tích đ c thì ta ph i bi t đ c nhân t c a bài toán

Làm th nào đ tìm ra nhân t c a bài toán ?

B ng th thu t CASIO, ta d dàng tìm ra nhân t c a bài toán này là

6 2

x x Nh ng đ tìm đ c thì b n đ c hãy đ i t i các th thu t sau

Tóm l i là ta mu n tìm nhân t còn l i c a bài toán hay chính là th ng

”ài toán đ c gi i quy t hoàn toàn

Hy v ng qua bài toán c b n trên, b n đ c hình dung đ c l i ích c a

vi c s d ng máy tính c m tay trong vi c rút g n bi u th c khi gi i toán

M t s bài t p t ng t :

SOLVE cho ta đúng m t nghi m c a bài toán V y v i bài toán có nhi u

nghi m thì sao ? Làm th nào đ bi t bài toán ch có m t nghi m duy nh t ?

Đ hi u rõ h n b n đ c hãy xem cách làm d i đây

 Máy cho nghi m 0.2 1

đ c ph ng pháp nhân liên h p Ngoài ra n u b n đ c th thu t gi i

ph ng trình vô t b ng C“SIO ta có th có thêm nh ng cách làm khác

Cách Nhân liên h p hoàn toàn

 Máy cho nghi m x   0.541381265

 L u nghi m này vào “ b ng cách n X Shift STO “

 T ng t tìm nghi m g n 10 nh t

 Máy cho nghi m x  5 54138 12 65

 L u nghi m này vào ” b ng cách n X Shift STO ”

Làm th nào đ vi t nghi m A B , d i d ng vô t ?

Đ n gi n ch c n làm m t trong hai cách sau :

 Cách ta th y 5

3

A BAB

Phân tích h ng gi i

Làm th nào đ nhân liên h p v i nghi m vô t ?

R t đ n gi n hãy xem cách làm d i đây

Ý t ng

T ng t bài ta v n s tìm nghi m đ nhân liên h p

 Máy cho nghi m x  0.895643923

 L u nghi m này vào “ b ng cách n X Shift STO “

Làm th nào đ vi t nghi m A d i d ng vô t ?

 Máy cho nghi m x   1.395643924

 L u nghi m này vào ” b ng cách n X Shift STO ”

A B   

TH THU T 3 : TH THU T S D ộG CỌSIO Đ

B CBC

Đi u ki n xác đ nh   

3

;2

A BAB

Ý t ng

Ta l n l t bình ph ng hai v đ đ c ph ng trình b c

 

2

2 2

AB

    

  

2 2

3

4 4 2

 Cách này không kh quan l m vì chúng ta ch a th bình ph ng

ngay đ c do bài toán này là b t ph ng trình

Cách Đ t n ph y x 1

 Cách này khá là n vì chúng ta không c n đ l m đ n d u c a b t

ph ng trình

V y ta đ c

yy

Cách 2 : Đ t n ph không hoàn toàn:

Đa ph n các bài t p h ph ng trình mà có ph ng trình là đa th c b c

 Vì 1002   y 2 nên ta đ c  x   y 2  là nhân t c a bài toán

 Th c hi n phép chia đa th c n b ng dùng lim :

Làm th nào đ bi t đ c ph ng trình n không phân tích đ c?

Cách làm trên là cách nhanh nh t đ bi t đ c khi nào ph ng trình n

không phân tích đ c Ví d nh đ i v i ph ng trình

02

y x

x     y

T ng t ta th cho y  1000 và nh n đ c giá tr c a x là :

1 2

Th c ra ch c n bi t nhân t  x   y 2  ta đã có th có nhi u cách gi i cho

bài toán này r i

Nh ng vi c gi i quy t n t nhân t còn l i có v h i khó khăn

yx

 y nên ta đ c  2 x   y 1  là nhân t c a bài toán

 Th c hi n phép chia đa th c n b ng dùng lim :

 Th c hi n phép chia đa th c n b ng dùng lim :

f(x)

a lim

xf(x) x

Suy ra x  2 là nghi m duy nh t c a ph ng trình 33 x   2 x   2 4

b) Tìm m đ đ th 1( ) c t tr c hoành t i đi m A,B,C phân bi t A là

đi m c đ nh sao cho 2(k1k ) x x2  1 2 trong đó k ,k là h s góc c a ti p1 2

tuy n v i 1( ) t i B,C ; x ,x là hoành đ c a đi m c c tr c a 11 2 ( )

Nghi m v c a chúng ta là phân tích thành nhân t ph ng trình

x ( m )x (m  m )x m  

xxx

Khi bi t nghi m c a ph ng trình b c ta tìm đ c t a đ c a đi m

Căn c theo gi thi t ta s có l i gi i c a bài toán

th y không phân tích đ c Đây là m t d ng toán khác v i các bài t p trên

khi mà ta ph i l y PT 1 kPT 2 đ phân tích thành nhân t

Tuy là m t h ph ng trình trong Th Thu t Gi i Ph ng Trình Vô T ,

nh ng nó l i mang nghĩa l n v vi c quan tr ng c a ph ng pháp gi i

ph ng trình vô t Ch c h n b n đ c th c m c v vi c m t ph ng trình

vô t l i đ c phân tích o di u nh m t s ví d trên Th Thu t Gi i

Ph ng Trình Vô T s giúp b n hi u đ c ph n nào cách gi i ph ng

trình vô t b ng máy tính C“SIO

Đ i v i bài toán trên s d ng Th Thu t Phân Tích Đa Th c Thành

ộhân T Hai n ta đ c

   

3 3

22

V n đ c a chúng ta là ph ng trình sau khi th y   x 2 :

x x x  x Làm th nào đ phân tích ph ng trình này?

Gi s ph ng trình có nhân t  2 

4x ax b v i a,b Nhân t này ch a nghi m c a bài toán Ta ch c ch n tìm đ c a b , n u

4x ax b  khi 0 x   2

 Khi đó ta luôn có 2 2a b  0    a, b  1 0; (vì a,b )

K t lu n Nhân t c a bài toán này là  2 

4x x Làm th nào đ tìm đ c nhân t còn l i?

Có khá nhi u cách đ chia bi u th c ch a căn b ng C“SIO

N u b n đ c ch a có kinh nghi m hãy c bình tĩnh nhóm h p l theo cách

cách mà chuyên đ này ho c nhi u tài li u khác g i là nhân liên h p

không hoàn toàn

N u b n đ c đã quen v i vi c gi i ph ng trình vô t b n đ c hãy đ i

cu n sau c a tác gi đ nâng cao kh năng s d ng máy tính C“SIO trong

gi i toán

Có r t r t nhi u cách gi i cho d ng toán này ” n đ c có th suy nghĩ thêm

các cách làm cho phong phú Sau đó có th đ i chi u v i các bài t p d i

2 2

 

2 2

 

2 2

Tuy nhiên đ t ng quát v i nh ng d ng toán khác ta luôn tìm đ c nhân

t n u bi t tr c nghi m h u t c a bài toán

2 4 3 0 1

Cách 5 : Phân tích thành nhân t hoàn toàn:

Theo b đ đ u bài thì ch c ch n ph ng trình này s có nhân t là

Chúng ta th xem các h ng đó giúp ích đ c gì cho chúng ta không

Cách 1 : Nhân liên h p hoàn toàn:

2 3 1 5 3 1 1 2 3 1 1 0 3

Đây là m t ví d đi n hình cho vi c không t t c a ph ng pháp Bình

Ph ng Hai V M i bài toán d ng này đ u có th phân tích thành nhân t

nên b n đ c không c n lo l ng n u g p bài toán t ng t

9 1 3 2 9 1 3 2 9

1

3 2 9 9 1 3 2 0 9

 V y đây là m t bài toán nghi m b i kép x  5

K t lu n ”ài toán b i kép x  5 và ch c ch n ch a nhân t  2

Ngoài ra ta v n có th tìm nhân t c a bài toán d i d ng t ng quát cho

c nh ng bài toán nhi u căn căn b c cao t ng t cách làm sau

 Gi s nhân t c a bài toán là  x 1 ax b 

 Khi đó f x  x 1 ax b 0 có nghi m b i kép x  5

 Khi đó a b , ph i th a mãn h ph ng trình sau

1 1

Cách 3 : Phân tích thành nhân t không hoàn toàn

5 0 1 4

Là m t bài thi trong đ thi THPT Qu c Gia nhi u b n b m t đi m vì

không gi i quy t tr n v n đ c bài toán này

2 2

Cách Đ t n ph không hoàn toàn

Cách Nhân liên h p hoàn toàn

Quan tr ng là b n đ c t duy nh th nào cho hi u qu Hãy th đ ng

não N u b n đ c quá tò mò thì hãy kiên nh n xem các bài t p ví d ti p

 Hàm đ c tr ng cách gi i t ng quát cho bài toán THPT Qu c Gia

 Đ t n ph không hoàn toàn

       

 

2 2

2 2

Hàm đ c tr ng c a bài toán này s có d ng    2   

a bab

Ph ng pháp bình ph ng hai v nhi u khi không s d ng đ c đ gi i

 

2 2

Là ng i nghiên c u lâu năm nên mình hi u b n ch t c a vi c đ a v h

ph ng trình đ i x ng L y m t ví d mình là ”ùi Th Vi t sinh ngày

nên mình s t t o ra m t h ph ng trình đ i x ng nh sau

2 2

2

2 2 2

T i sao bài toán này có th đ a v h ph ng trình đ i x ng?

Th c ch t không h n bài toán nào c)ng có th đ a đ c v h ph ng

trình đ i x ng ” n ch t là vi c đ t 2

49x 190x169 ax by c  và bi n

đ i ph ng trình d i d ng x y x y k     nh ng nhi u bài toán0

K t lu n Nhân t c a bài toán này là  2 

x  x  x

Phân tích h ng gi i

V n s có khá nhi u cách làm nh bài toán tr c

Cách 1 : Nhân liên h p hoàn toàn:

3 2

5 2

20

Nh chúng ta đã bi t chúng ta ch c ch n tìm đ c nhân t c a bài toán

n u bi t nghi m h u t ho c nghi m vô t d ng a  b

Tuy nhiên đ i v i nghi m duy nh t thì tùy t ng bài m i có th phân tích

thành nhân t đ c

Cách t t nh t đ th xem bài toán có phân tích thành nhân t khi có

nghi m duy nh t là ph ng pháp đ i d u tr c căn

N u bài toán sau khi đ i căn mà có nghi m vô t d ng a  b ho c

nghi m h u t thì ch c ch n ph ng trình ban đ u có th phân tích thành

nhân t đ c N u không thì ta nên làm cách khác cho bài toán

Ta dùng th thu t C“SIO đ chia bi u th c ho c s d ng ph ng pháp

nhân liên h p không hoàn toàn

L i gi i : Nhân liên h p không hoàn toàn:

x 

 G i nhân t là  x 1 a x 1 b thì :

50

   v i a,b suy ra (a;b) ( 2 0; )

2 2 2

s tìm đ c k N u k l thì ch ng t bài toán có l sai đ ho c là

không phù h p Tuy nhiên m t s bài toán cho k  2; 3; thì ta c)ng có

4 4285

 M i liên h gi a x và y là x  3 y

2 1

2 1

2 1

1141141

114

11

41

2 1 0

2 2

t t

tI

2 2

0

1

12

214

22

Ta đ t t cosx thì dt sin xdx Khi đó

5 1

2

11

x

x dxI

2 1

2 1

2

343

15181

118

9

x

x

x x x

x

bc

5 2

cf(x)

2 1

1

11

21

12

xx

c

xx

xa

41

x

dx

xk

0

2

41

 Ta s phân tích thành nhân t 4 32 1 9

41

a

  

 đ ch ng minh nókhông d ng v i m i a  0

0 0

ab ba

 

K t lu n Ta luôn có

a b a b

a, bab

aaa

ab ba

a b a b

a, bab

aaa

ab ba

bc cb

ca ac

 Suy ra:

11

a

k ln a ma(a )

 2   2 2

N u b n đ c đã t ng xem đáp án chính th c l i gi i c a bài toán này r t

khó đ th c hi n Tuy nhiên chúng ta có cách khác d dàng h n r t nhi u

1 72

kkyz

kkzx

k

yz xz x

k( yz)k( xz)k( yx)

kk