Hàm RBF và một số ứng dụng trong đồ họa máy tính

Hàm cơ sở bán kính RBF: 1.1.1 Nội suy dữ liệu rời rạc: Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải bài toán: Cho tập dữliệu gồm các kết quả đo đạc và vị trí thu được những kết quả đó,

Trần Đức Thụ

HÀM RBF VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH

Chuyên nghành: Khoa học máy tính

Mã số: 60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Đặng Quang Á

Thái Nguyên 2009

RBF: Radian Basic Function

DANH MỤC BẢNG

Bảng 2.1 : So sánh phương pháp trực tiếp và phương pháp nhanh 26Bảng 2.2: So sánh việc khớp hàm RBF và thời gian tính toán trên máy

Bảng 2.3: So sánh yêu cầu lưu trữ của việc nội suy bằng RBF và các

Hình 3.5: Bề mặt với các đường pháp tuyến có đô dài < 0,5mm bị loại

Hình 3.6: Bề mặt sau khi khớp không có sự rút gọn tâm 48

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1.5 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều

kiện

7

1.2 Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D 11

Chương 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO CÁC

BÀI TOÁN KHÔI PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG 3D

MỞ ĐẦU

Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, con người

đã ứng dụng những thành tựu của nó trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau Máytính đã trở thành một công cụ hỗ trợ đắc lực cho con người trong việc xử lý

dữ liệu một cách nhanh chóng và chính xác

Đồ họa máy tính là một lĩnh vực của khoa học máy tính nghiên cứu cácphương pháp và kỹ thuật biểu diễn và thao tác các dữ liệu số hóa của các vậtthể trong thực tế Lĩnh vực này được phát triển dựa trên nền tảng của hình họchọa hình, hình học tính toán, hình học vi phân cùng nhiều kiến thức toán họccủa đại số và giải tích, cũng như các thành tựu của phần cứng máy tính Thuật ngữ "đồ họa máy tính" (computer graphics) được đề xuất bởi mộtchuyên gia người Mỹ tên là William Fetter vào năm 1960 Khi đó ông đangnghiên cứu xây dựng mô hình buồng lái máy bay cho hãng Boeing WilliamFetter đã dựa trên các hình ảnh 3 chiều của mô hình người phi công trongbuồng lái để xây dựng nên mô hình buồng lái tối ưu cho máy bay Boeing.Đây là phương pháp nghiên cứu rất mới vào thời kỳ đó

Trong đồ họa máy tính bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D

là một trong các bài toán cơ bản Công cụ quan trọng để giải quyết bài toánnày là lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến Để nội suy hàm số từ một tậpđiểm đã biết thông thường người ta sử dụng các hàm ghép trơn (spline) vàcác biến dạng của nó Từ khoảng hai chục năm nay người ta đã và đang pháttriển một kỹ thuật nội suy mới có độ chính xác cao Đó là nội suy bởi hàm cơ

sở bán kính (radial basis functions) viết tắt là RBF Phương pháp nội suy này

đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của CNTT như xử lý tín hiệu, xử lý ảnh

và lý thuyết điều khiển Một số phần mềm về hàm RBF và các ứng dụng cũng

đã được phát triển

Luận văn gồm có ba chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm RBF Những tínhchất của hàm RBF được áp dụng cho bài toán nội suy dữ liệu rời rạc Đây lànhững kiến thức cơ sở rất quan trọng Tìm hiểu về bài toán khôi phục và biểudiễn các đối tượng 3D.

Chương 2: Nghiên cứu ứng dụng hàm RBF vào bài toán khôi phục và biểudiễn các đối tượng 3D

Chương 3: Tiến hành khai thác phần mềm FASTRBF

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo PGS.TS Đặng Quang

Á đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này Em cũng xin chân

thành cảm ơn các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, Khoa Công nghệThông tin – Đại học Thái Nguyên và Trường Cao đẳng Công nghiệp ViệtĐức (Thái Nguyên) đã động viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập vànghiên cứu

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2009

TÁC GIẢ

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về hàm cơ sởbán kính (RBF), bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D

1.1 Hàm cơ sở bán kính (RBF):

1.1.1 Nội suy dữ liệu rời rạc:

Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải bài toán: Cho tập dữliệu (gồm các kết quả đo đạc và vị trí thu được những kết quả đó), yêu cầutìm một quy tắc cho phép suy diễn thông tin từ những kết quả đã có Vìvậy ta mong muốn tìm một hàm “đủ tốt” phù hợp với tập dữ liệu đã có Cónhiều cách để quyết định thế nào là tốt và một trong các tiêu chuẩn làmuốn hàm xấp xỉ có giá trị chính xác với những kết quả đo đạc được tạinhững vị trí đã cho – Đáp ứng tiêu chuẩn này gọi là bài toán nội suy Vànếu những vị trí mà đã cho kết quả đo đạc không nằm trên một lưới chuẩnthì tiến trình trên gọi là nội suy dữ liệu rời rạc Chính xác hơn ta có:

Bài toán 1.1 Cho tập dữ liệu x , j y j, j  1 , ,n với x j  Rs, y j R Tìm

 j j

Ý tưởng chung để giải quyết bài toán nội suy là tìm hàm P f dưới dạng

tổ hợp tuyến tính của hệ hàm cơ sở  n

k k

n

y y

y  1, ,

Bài toán 1.1 sẽ được đặt đúng, nghĩa là tồn tại và duy nhất nghiệm, khi

và chỉ khi ma trận A không suy biến.

Trong trường hợp một chiều, ta luôn xây dựng được đa thức nội suy

bậc n – 1 cho n điểm nội suy phân biệt tùy ý Tuy nhiên khi s ≥ 2, ta có kết

quả phủ định sau:

Định lý 1.1 (Mairhuber-Curtis) Nếu   Rs , s ≥ 2 chứa một điểm trong

thì trong  không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục, trừ trường hợp không gian một chiều

Trong đó, không gian Haar được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.1 Cho không gian hàm tuyến tính hữu hạn chiều B  C().

Gọi B1,B2, ,B n là một cơ sở của B Khi đó B được gọi là không gian

 Ở đây ma trận A là ma trận được xây dựng bởi A j,k B k x j ;

tập dữ liệu x , j y j, j  1 , ,n , x j  R, y j  R Cơ sở chính tắc của

3 2

của ma trận A, ta cần một phương pháp khác để xây dựng hàm nội suy.

Thay vì sử dụng biểu diễn tuyến tính thông qua một hệ hàm cơ sở khôngphụ thuộc dữ liệu, ta biểu diễn tuyến tính thông qua một hàm đơn phụthuộc dữ liệu đã cho, có tính khoảng cách, đối xứng với tâm nào đó của dữ

liệu tương ứng Phương pháp này được đề xuất bởi R.L Hardy năm 1971

và được gọi là phương pháp hàm cở sở bán kính

1.1.2 Ma trận và hàm xác định dương:

Định nghĩa 1.2 Ma trận giá trị thực, đối xứng A được gọi là nửa xác định

dương nếu dạng toàn phương tương ứng là không âm:

c 1, ,  Rn Nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi

 T

c 0 , , 0 thì ma trận A được gọi là xác định dương.

Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả các giátrị riêng đều dương và không suy biến

Nếu hệ hàm cơ sở  n

k k

suy xác định dương thì bài toán nội suy được đặt đúng Hàm xác địnhdương được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.3 Hàm liên tục : Rs  R là xác định đương khi và chỉ khi

tăng lên theo số chiều), chỉ làm việc với hàm một biến  cho tất cả số chiều s

Euclidean) Hàm  tương ứng gọi là hàm cơ sở bán kính Ta nói hàm  là

1.1.4 Hàm xác định dương và đơn điệu hoàn toàn:

Trong phần này trình bày kết quả quan trọng xây dựng một số hàm bánkính thỏa mãn tính khả nghịch của ma trận nội suy tương ứng, dựa trêntính chất của hàm đơn điệu hoàn toàn

với mọi l  0 , 1 , , với mọi t.

Việc xây dựng hàm bán kính xác định dương thông qua hàm đơn điệuhoàn toàn dựa vào kết quả sau, được đưa ra bởi Schoenberg năm 1938

Định lý 1.2 Cho : R+  R là hàm liên tục đơn điệu hoàn toàn Khi đó

Ví dụ 1.1

Xét hàm (t) = e –t với  ≥ 0 Ta có: (– 1) l

(l) (t) = ()l e –t > 0 Suy ra

hàm này là đơn điệu hoàn toàn Do đó hàm Gaussian (GA) (r)=e – r cóthể sử dụng làm hàm cơ sở bán kính đảm bảo tính xác định dương của matrận nội suy

Tương tự, hàm (t) = (t +  2 )  , , > 0 cũng là hàm đơn điệu hoàn

toàn Hàm cơ sở bán kính (r) = (r 2 +  2 )  , , > 0 được gọi là hàm

Inverse Multiquadric (IMQ)

Theo định nghĩa hàm đơn điệu hoàn toàn, ta có (t) ≥ 0,  (t)  0, …

Tuy nhiên nếu có   đơn điệu hoàn toàn ( (t) ≥ 0,  (t)  0, …) ta vẫn

có thể sử dụng được hàm  đảm bảo ma trận không suy biến

Định lý 1.3 Cho   C[0,+) là hàm thỏa mãn   đơn điệu hoàn

toàn, khác hằng số Giả sử thêm rằng (0) ≥ 0 Khi đó ma trận nội suy

Trong trường hợp tổng quát, nếu với giả thiết yếu hơn về tính đơn điệuhoàn toàn của , nghĩa là (k) , k ≥ 1 là hàm đơn điệu hoàn toàn thì cần các điều kiện nào để sử dụng được  (theo định nghĩa ma trận nội suy tương

ứng không suy biến)? Vấn đề này đã được Micchelli (1986) nghiên cứu vàđưa ra những kết quả quan trọng về hàm xác định dương có điều kiện.1.1.5 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều

s (đa thức thuộc không gian các đa thức s biến có

bậc  m – 1) Nếu đẳng thức chỉ xảy ra với c = 0 thì  gọi là xác định dương chặt có điều kiện.

2

Điều quan trọng là có thể sử dụng hàm xác định dương có điều kiện bậc

m để nội suy nếu ta cộng vào biểu thức (1.6) một đa thức đa biến bậc

m 1 triệt tiêu trên tập dữ liệu đã cho Cụ thể, hàm nội suy với độ chínhxác đa thức được cho dưới dạng:

n j

j j

f

m x

c

x p x x c x

Khi thay điều kiện nội suy ta được hệ phương trình Ac = y Để xác định

hệ số của p(x) ta sử dụng các điều kiện 

j k

Vậy ta được hệ n + 3 phương trình n + 3 ẩn Từ đó có thể tìm được P f (x,y).

Trong trường hợp tổng quát, bài toán (1.10) sẽ dẫn tới hệ đại số tuyếntính sau:

y

(1.14)Trong đó:

j k j

Định lý 1.4 Cho  là hàm liên tục và thỏa mãn  

 

k

k k

Hơn nữa, với mọi m, m ≥    , (– 1)m

(m) (r) cũng là hàm đơn điệu hoàn

toàn Vì vậy, hàm bán kính Multiquadric (MQ) tổng quát

1 2 2

3 Hàm Thin plates spline (TPS) (r) = (– 1) k+1 r 2k lnr, k N

Là các hàm xác định dương chặt có điều kiện bậc m ≥ k+1 Thật vậy: Xét hàm (r) = (– 1) k+1 (r) k lnr Khi đó, đào hàm cấp l, l  k của

) 1

2 2

Xây dựng hàm nội suy P j = 



n

j 1 c k (||u - u k ||) Trong đó u k = (x,y)Tập điểm tâm,  được chọn là hàm IMQ.

Cho thỏa mãn điều kiện nội suy ta được hệ n2 phương trình, n2 ẩn Kết quảtrong một số lưới được cho trong bảng 1.1, với các sai số được định nghĩanhư sau:

1

2 2

1

f P n f

max

Bảng 1.1 Sai số nội suy hàm Frank với  = 3

Sai số tương đối Sai số lớn nhất Sai số tương đối Sai số lớn nhất

7 x 7 1.211536e-002 8.600572e-002 1.260168e-002 8.722025e-002

10 x 10 1.685702e-003 1.122684e-002 2.241647e-003 1.548224e-002

13 x 13 4.226489e-004 2.856954e-003 4.470312e-004 2.756763e-003

17 x 17 3.761833e-005 3.703740e-004 4.168475e-005 4.447710e-004

20 x 20 4.346574e-006 7.352464e-005 5.739650e-006 6.316986e-005

1.2 Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D:

Ngày nay, nhờ sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật – côngnghệ mà loài người đã có những bước tiến lớn trong nhiều lĩnh vực khácnhau Và một trong số đó là vấn đề khôi phục và biểu diễn các đối tượng3D

Khôi phục đối tượng 3D đã trở thành một nhu cầu cần thiết trong cáclĩnh vực khác nhau như: Tạo ảnh trong y học, các ứng dụng mỹ thuật, thiết

kế sản phẩm, tạo nguyên mẫu nhanh và trong các phạm vi khác Việc tạo

mô hình 3D bằng phương pháp thủ công tốn nhiều thời gian và do vậy chiphí sẽ đắt đỏ Vì lý do đó, các kỹ thuật đã và đang tiếp tục được nghiêncứu, các kỹ thuật này cho phép khôi phục tự động các đối tượng 3D Các

kỹ thuật này có thể chia thành 2 phương pháp: phương pháp chủ động và

phương pháp bị động [25] Nhược điểm của các phương pháp chủ động làquá trình khôi phục có thể trở thành một công trình ngân sách cao Vì lý

do đó, cách tiếp cận được giới thiệu thuộc về các phương pháp bị động, nóyêu cầu ít thiết bị hơn và có thể áp dụng một cách tổng quát hơn

Các phương pháp khôi phục các đối tượng 3D truyền thống không thựchiện tốt ở hai hướng:

- Thứ nhất: Chúng không thể xử lý các trường hợp có độ phức tạp caođược tìm thấy trong tự nhiên (Ví dụ: các bộ phận của con người haycác ảnh cực nhỏ của mô)

- Thứ hai: Chúng không đưa dữ liệu bề mặt vào một định dạng làmcho gọn và thích hợp để mô phỏng, hiển thị hoặc định vị

Có 5 trường hợp khôi phục các đối tượng 3D [26] Trường hợp đầu tiên

là với các ảnh được chụp bằng máy ảnh không định cỡ, làm việc với loạiảnh này có thể khôi phục lại đối tượng so sánh với các phép biến đổi ảnh

xạ Hai là, khôi phục từ các máy ảnh định cỡ làm việc với loại ảnh này cóthể khôi phục lại đối tượng so sánh với các phép biến đổi đồng dạng Ba

là, các thuộc tính đại số của các hàm đa tuyến tính và các lý tưởng phátsinh bởi chúng được nghiên cứu Trường hợp thứ tư sử dụng kỹ thuật khôiphục Ơ-clít khi một số thông tin của các máy ảnh được đưa ra Trường hợpcuối cùng là khôi phục một ảnh của một đối tượng hoặc bản vẽ nét đượcbiết tới là mảnh 2 chiều

Như vậy có thể thấy rằng bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng3D là một bài toán có ý nghĩa rất lớn và quan trọng

Chương 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO BÀI TOÁN KHÔI

PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG 3D

Chúng ta sử dụng hàm cơ sở bán kính đa điều hòa (RBFs) để khôi phục lạicác bề mặt nhẵn, đa tạp từ tập các điểm dữ liệu tập trung và phục hồi các lướiđiểm không đầy đủ Một bề mặt của đối tượng được định nghĩa hoàn toàngiống như một tập hợp số 0 của một hàm cơ sở bán kính phù hợp với dữ liệu

bề mặt đã cho Các phương pháp nhanh cho việc khớp dữ liệu và tính giá trịhàm RBF cho phép chúng ta mô hình các tập hợp dữ liệu lớn, bao gồm hàngtriệu các điểm bề mặt, bằng một hàm RBF đơn trước một bài toán khó giải.Một thuật toán tham lam trong quá trình khớp dữ liệu làm rút gọn số lượngcác tâm RBF yêu cầu để biểu diễn một bề mặt và các kết quả ở dạng nén đáng

kể và hơn nữa là thuận lợi cho tính toán Đặc trưng cực tiểu hóa năng lượngcủa các hàm ghép trơn đa điều hòa dẫn đến nội suy trơn nhất Đặc trưng tỷ lệđiều hòa này là đủ thích hợp để khôi phục các bề mặt từ dữ liệu mẫu khôngđều Các lỗ là sự khớp dữ liệu nhẵn và sự ngoại suy nhẵn các bề mặt Chúng

ta sử dụng một phép xấp xỉ không nội suy khi dữ liệu là nhiễu Sự biểu diễnhàm thực ra mà nói là một mô hình đặc, có nghĩa là độ chênh lệch và chuẩn

bề mặt có thể được phân tích rõ ràng Sự hỗ trợ này sinh ra các lưới đều vàchúng ta thấy rằng sự biểu diễn RBF có các lợi ích cho việc rút gọn lưới và

sự áp dụng lại lưới

Hình 2.1: (a) Khớp một hàm RBF vào một tập hợp các điểm dữ liệu tập trung 438.000 điểm (b) Sự phục hồi lưới tự động sử dụng hàm RBF song điều hòa.

2.1 Các bề mặt ẩn:

Bài toán khôi phục hoặc biểu diễn bề mặt có thể phát biểu như sau:

Bài toán 2.1 Cho n điểm phân biệt    n

i i i

Phương pháp của chúng ta là mô hình bề mặt ẩn bằng một hàm f(x,y,z).Nếu một bề mặt M gồm có tất cả các điểm (x, y,z) thỏa mãn phươngtrình: f(x,y,z)  0,

(2.1)

thì chúng ta nói rằng hàm f xác định không tường minh bề mặt M Mô tả

các bề mặt ẩn với rất nhiều loại hàm là một kỹ thuật nổi tiếng [10]

Trong hình học kiến thiết vật thể (CSG) một mô hình ẩn được tạo thành từcác hàm sơ cấp đơn giản nhờ sự kết hợp của các phép toán Boolean (phéphợp, phép giao vv ) và các hàm trộn Các kỹ thuật CSG thích hợp cho việcthiết kế các đối tượng trong CAD hơn là phục hồi các đối tượng từ dữ liệumẫu Các mặt đại số bậc thấp từng mẩu, đôi khi được xem như là cácmiếng vá ẩn hoặc các tập nửa đại số, cũng có thể được sử dụng để địnhnghĩa các bề mặt ẩn

Chúng ta mong muốn mô hình được toàn bộ đối tượng với một hàmđơn liên tục và khả vi Sự mô tả hàm đơn có một số ưu điểm thông qua các

bề mặt giới hạn từng mẩu và các miếng vá ẩn Nó có thể tính toán ở mọinơi để sinh ra một lưới đặc biệt, nghĩa là sự biểu diễn một bề mặt đa tạp cóthể được tính toán với cách giải mong muốn khi được yêu cầu Hiếm khi,các bề mặt mẫu không đều có thể mô tả một cách đơn giản và bài toántham số hóa bề mặt kết hợp với việc khớp từng mẩu các miếng vá hàmghép trơn bậc ba là nên tránh

Carr et al [11] sử dụng hàm cơ sở bán kính để khôi phục các bề mặthộp xương sọ bằng việc nội soi 3D CT Dữ liệu xung quanh các lỗ lớnkhông đều trong hộp sọ được nội suy sử dụng hàm xác định dương chặtRBF Tấm titan được đúc trong khuôn của bề mặt thích hợp để tạo thànhmột hộp sọ giả Tài liệu đó khai thác các đặc điểm nội suy và ngoại suycủa hàm RBF hợp lý như các đặc tính vật lý cơ bản của hàm xác địnhdương chặt Tuy nhiên, phương pháp chỉ giới hạn mô hình các bề mặt mà

có thể biểu diễn rõ ràng như một hàm 2 biến Trong luận văn này chúng tôichứng minh được rằng bằng cách sử dụng các phương pháp nhanh, hàmRBF có thể khớp các tập dữ liệu 3D gồm có hàng triệu điểm không có cácgiới hạn trên cấu trúc liên kết bề mặt – loại tập dữ liệu cơ bản của các ứngdụng công nghiệp

2.2 Khớp một hàm ẩn vào một bề mặt

Ta muốn tìm một hàm f mà xác định không tường minh một bề mặt M’

và thỏa mãn phương trình

, , , 1 ,

0 ) , ,

f i i i  

với  n

i i

i z

y

(

 là các điểm nằm trên bề mặt Để tránh trường hợp nghiệm

tầm thường mà f là 0 ở mọi nơi, các điểm ngoài bề mặt được bổ sung vào

dữ liệu vào và chúng đưa ra các giá trị khác 0 Việc này mang đến một vấn

đề nội suy hữu ích hơn: Tìm hàm f như sau:

n i

i d

Đẳng mặt

f(x) = 0

f(x) > 0

f(x) < 0

Hình 2.2: Một hàm khoảng cách điểm được xây dựng từ dữ liệu bề mặt bằng việc định rõ các điểm ngoài bề mặt dọc theo các đường pháp tuyến bề mặt Những điểm này có thể được định rõ ở mỗi phía của bề mặt hoặc không ở phía nào cả.

Hình 2.3 Sự khôi phục của một bàn tay từ đám điểm có và không thông qua các độ dài pháp tuyến

Kinh nghiệm cho thấy rằng tốt hơn hết là bổ sung tại một điểm dữ liệuhai điểm ngoài bề mặt, mỗi điểm nằm trên một phía của bề mặt Tronghình 2.3 các điểm bề mặt nhận được từ việc quét laser của một bàn tayđược biểu thị bằng màu xanh Các điểm ngoài bề mặt được mã hóa màutheo khoảng cách của chúng xuất phát từ điểm được liên kết trên bề mặtcủa chúng Màu nóng (màu đỏ) mô tả các điểm dương nằm ở bên ngoài bềmặt trong khi màu lạnh (xanh) nằm ở bên trong Có hai bài toán cần giải

Các điểm pháp tuyển ngoài bề mặt

Các điểm trên bề mặt

quyết: xác định các đường pháp tuyến bề mặt và định rõ khoảng cách hìnhchiếu thích hợp.

Nếu ta có một lưới không hoàn toàn, thì rất đơn giản để định nghĩa cácđiểm ngoài bề mặt từ đó các đường tiếp tuyến được bao hàm bởi sự liênkết lưới tại mỗi đỉnh Trong trường hợp điểm dữ liệu tập trung không cótrật tự, các đường tiếp tuyến có thể được tính toán từ một vùng lân cận củacác điểm Việc này cầu xác định cả phương pháp tuyến và định rõ hướngcủa pháp tuyến Chúng ta xấp xỉ cục bộ điểm dữ liệu tập trung với một mặtphẳng để tính toán phương pháp tuyến và sử dụng tính tương thích và/hoặcthông tin bổ sung như vị trí máy quét để quyết định hướng của pháp tuyến.Thông thường, rất khó để dự đoán chắc chắn các pháp tuyến ở khắp nơi.Tuy nhiên, không giống như các phương pháp khác mà cũng dựa trên việctạo thành một hàm khoảng cách điểm, nó không quyết định để dự đoán cácđường pháp tuyến ở mọi nơi Nếu phương pháp tuyến hoặc hướng làkhông xác định tại một điểm đặc biệt thì chúng ta không đặt một pháptuyến tại điểm đó Thay vào đó, chúng ta cho phép thực tế điểm dữ liệu làmột điểm 0 (nằm trên bề mặt) ràng buộc vào hàm trong vùng đó

Đưa ra một tập hợp các pháp tuyến bề mặt, phải thận trọng khi đưa racác điểm ngoài bề mặt dọc theo các pháp tuyến để đảm bảo rằng chúngkhông cắt các phần khác của bề mặt Điểm chiếu là được vẽ ra do đó điểm

bề mặt gần nhất là điểm bề mặt sinh ra nó Miễn là điều kiện ràng buộcnày thỏa mãn, bề mặt được xây dựng lại là tương đối không nhạy vớikhoảng cách hình chiếu Hình 2.3(c) minh họa cho tác động của các điểmngoài bề mặt nhô ra các khoảng không thích hợp dọc theo các đường pháptuyến Các điểm ngoài bề mặt đã lựa chọn nằm cách một khoảng cố định

tính từ bề mặt Bề mặt kết quả, với f bằng 0 bị biến dạng trong vùng lân

cận của các ngón tay ở chỗ mà các véc tơ pháp tuyến đối lập đã cắt nhau

và đã sinh ra các điểm ngoài bề mặt với giá trị khoảng cách tới bề mặtkhông đúng, cả về điểm và độ lớn Trong hình 2.3(a) và (b) giá trị của cáckhoảng cách ngoài bề mặt và hình chiếu động đã đảm bảo rằng các điểmngoài bề mặt sinh ra một miền khoảng cách nhất quán với dữ liệu bề mặt.Hình 2.4 là một mặt cắt qua các ngón tay của bàn tay Hình ảnh minh họacách hàm RBF xấp xỉ một hàm khoảng cách gần giống bề mặt của đốitượng Các đẳng đường tại +1, 0 và -1 ở phần trên của hình và hình dánghàm tương ứng bên dưới, minh họa việc làm thế nào các điểm ngoài bềmặt sinh ra một hàm với một đại lượng chênh lệch gần bằng 1 gần bề mặt.

Hình 2.4: Mặt cắt qua các ngón tay của một bàn tay được khôi phục từ tập điểm tập trung trong hình 2.3 Đẳng đường tương ứng với +1, 0 và -1 được hiển thị (trên đỉnh) cùng với một mặt cắt nghiêng của hàm cơ cở bán kính (bên dưới) dọc theo đường thẳng xuất hiện.

2.3 Nội suy hàm cơ sở bán kính

Cho một tập các điểm bề mặt có giá trị bằng 0 và các điểm ngoài bềmặt khác 0 bây giờ chúng ta có một bài toán nội suy dữ liệu tán xạ: chúng

ta muốn xấp xỉ hàm khoảng cách điểm f(x) bằng một hàm nội suy s(x) Bài

toán có thể được phát biểu như sau:

Bài toán 2.2 Cho một tập hợp các nút riêng biệt X  x i i N1 R3 và mộttập hợp các giá trị hàm  f ii N1  R, tìm một hàm nội suy: R3 → R nhưsau:

, , 1 ,

Không gian BL(2) (R3) được trang bị bởi nửa chuẩn bất biến xoay địnhnghĩa bởi

) ( 2 )

(

2

) ( 2 ) ( )

( )

(

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

2

3

dx z y

x s z

x

x

s

y x

x s z

x s y

x s x

x s

, min

i x x x

p

x

 1 )

) exp(

)

(r  cr2

 (chủ yếu cho các mạng thần kinh), và hàm đa bậc hai

2 2

)

(r  r c

 (cho nhiều ứng dụng, trong việc khớp đặc biệt với dữ liệuđịnh vị) Với các hàm khớp dữ liệu 3 biến, lựa chọn tốt bao gồm hàm ghéptrơn song điều hòa ( (r ) r,tức là, phương trình (2.5)) và tam điều hòa (

3

)

(r  r

Một lựa chọn tùy ý các hệ số itrong phương trình (2.5) sẽ sinh ra một

hàm s * không thuộc BL(2) (R3) Điều kiện s*  BL(2) (R3) kéo theo tínhtrực giao hay các điều kiện bổ sung

0 1

1 1

i i i N

i

i i

N

i



Thông thường hơn, nếu đa thức trong phương trình (2.6) là bậc m thì

điều kiện bổ sung đặt lên các hệ số là:

0 ) (

Các điều kiện bổ sung này cùng với các điều kiện nội suy của phươngtrình (2.2) dẫn đến một hệ tuyến tính để tìm ra các hệ số định rõ hàm RBF.

Cho {p 1 ,…,p l } là một cơ sở các đa thực bậc cao nhất là m và cho

c c l

c 1, , là các hệ số tạo lên p trong cơ sở này Thì phương trình (2.2)

và (2.7) có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

f c

B c

(

, , , 1 , ),

(

l j

N i

x

P

P

N j

i x

, , , 1 ,

i

, 1

) , ,

,

(c1 c2 c3 c4 T

c 

Giải hệ tuyến tính (2.8) xác định được  và c, và từ đó xác định s(x).

Tuy nhiên, ma trận B trong phương trình (2.8) có các điều kiện không

đáng kể như số lượng các điểm dữ liệu N nhận được lớn hơn Những điều

này có nghĩa là những lỗi chính yếu nhất sẽ dễ dàng đưa vào lời giải chuẩnnào

Thoạt nhìn, bản chất địa phương cơ bản của hàm Gauss, hàm đa bìnhphương ngược ( ( ) ( ) 2)

1 2

thay cho tất cả các tâm N Tuy nhiên, các hàm cơ sở tựa không chặt là phù

hợp hơn với phép ngoại suy và phép nội suy không đều, dữ liệu lấy mẫukhông cùng kiểu Thật vậy, các thử nghiệm số sử dụng hàm Gauss và các

đa thức từng mẩu tựa chặt cho việc khớp các bề mặt vào các điểm tậptrung đã cho thấy rằng những hàm cơ sở này sinh ra các bề mặt với nhiềuthành phần lạ không mong muốn tại phần thêm vào chỗ thiếu của phépngoại suy ngang qua các lỗ

Các thuộc tính tối giản năng lượng của hàm ghép trơn song điều hòagiúp chúng rất phù hợp để biểu diễn các đối tượng 3D Từ đó hàm cơ sởtương ứng  (r ) r không tựa chặt và trở lên lớn tùy ý khi r dần tới vô cực, ma trận tương ứng B của phương trình (2.8) không bị thưa và trừ cấu

trúc cân đối, không có cấu trúc rõ ràng nào có thể khai thác trong việc giải

hệ Lưu trữ tam giác dưới của ma trận B đòi hỏi khoảng trống cho

N

 chỗ lưu trữ Đối với một bài toán với 20.000 điểm dữliệu đây là một yêu cầu với xấp xỉ 1 6  10 9 bytes (1.5GB) bộ nhớ lõi là

không thực tế Hơn nữa, điều kiện không đúng của ma trận B có thể tạo ra

bất kỳ kết quả nào một trong số đó lấy từ một phép tính trực tiếp khôngđáng tin cậy lắm Như vậy, rõ ràng các phương pháp trực tiếp không thíchhợp cho các bài toán với N  2 , 000 Hơn nữa, một phép tính đơn trực tiếp

của phương trình (2.6) cần đến các phép tính O(N) Các hệ số này đã dẫn

đến nhiều tác giả kết luận rằng, cho dù hàm cơ sở bán kính thường là phépnội suy được lựa chọn, chúng chỉ phù hợp cho những bài toán với nhiềunhất vài ngàn điểm [14,15]

Độ chính xác điều chỉnh+ các nút nội suy - - - - độ chính xác tính toán

. các điểm tính toán đưa ra khớp bằng RBF

Bảng 2.1 : So sánh phương pháp trực tiếp và phương pháp nhanh

Đòi hỏi bộ nhớ

2

) 1 (N 

N O

lý thuyết mở rộng và tịnh tiến cho khả năng hàm RBF đa điều hòa bậc caohơn Chú ý rằng hàm RBF đa điều hòa bao gồm các hàm ghép trơn điềuhòa của phương trình (2.5) Phương pháp FMM cũng có thể sử dụng vớihàm ghép trơn đa điều hòa trong không gian 2 và 3 chiều

Sự mô tả đầy đủ về phương pháp FMM là vượt qua phạm vi của luậnvăn này Tuy nhiên, chúng ta đưa ra những nét chính ngắn gọn của phươngpháp này

Phương pháp FMM dùng thực tế đơn giản là khi quá trình tính toánđược thực hiện, độ chính xác vô hạn không là yêu cầu mà cũng không là

sự kỳ vọng Đôi khi điều này là đúng, việc dùng phép xấp xỉ là được phép.Với sự tính toán một hàm RBF, phép xấp xỉ một lựa chọn là sự mở rộngphạm vi xa và gần Với các tâm gộp lại trong một phương pháp phân cấp,

sự mở rộng phạm vi xa và gần được sử dụng để sinh ra một phép xấp xỉ tớiphần đó của hàm RBF nhờ các tâm trong một đám đặc biệt Một cách sửdụng đúng đắn phép tính xấp xỉ cho các đám cách xa từ một điểm tính toán