Việc học tập hiện nay đang có xu hớng đi vào chiều sâu “học phải đi đôi với hành”, do vậy phải có những phơng pháp dạy và học có hiệu quả tối u nhất nhằm tìm ra những con đờng ngắn nhất,
Trang 1Việc học tập hiện nay đang có xu hớng đi vào chiều sâu “học phải đi đôi với hành”, do vậy phải có những phơng pháp dạy và học có hiệu quả tối u nhất nhằm tìm ra những con đờng ngắn nhất, hay nhất trong việc học tập để giúp chúng ta nắm vững đợc kiến thức và đi đào sâu lợng kiến thức đã học Để đạt đợc điều đó thì mỗi ngời giáo viên, mỗi học sinh phải trau dồi kiến thức, su tầm và hệ thống cho chính mình những phơng pháp học tập và nghiên cứu riêng.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, việc đi phân loại các phơng pháp giải một dạng toán hay bất kì một lĩnh vực nào, nó giúp chúng ta có nhiều cách nhìn, cách lý giải cho cùng một vấn đề, nó giúp chúng ta nhìn nhận, xem xét một cách kĩ lỡng hơn, dới nhiều góc độ, để chúng ta tìm đợc cách giải quyết cho nhanh nhất, hiệu quả nhất
2 Cơ sở thực tiễn:
Hiện nay, trong các trờng THCS và ngay cả bậc phổ thông việc giải một
ph-ơng trình vô tỉ vẫn là một vấn đề cần bàn, đa số các giáo viên đã truyền đạt hết cho học sinh những kiến thức, những phơng pháp giải nhng cha có tính hệ thống cao, cha đi sâu vào phân tích những u điểm, những tồn tại và khả năng ứng dụng của từng phơng pháp chính, bởi lẽ đó mà những phơng pháp giảng giải của giáo viên thờng hay chồng chéo lên nhau khiến cho việc tiếp thu của học sinh thờng bị động
và cha có tính quyết toán trong việc tìm cho mình một phơng pháp tối u nhất khi
đứng trớc một bài toán giải phơng trình vô tỉ
Mặt khác, đa số các em học sinh không có khả năng hệ thống cho mình những phơng pháp giải loại phơng trình này, hay còn phần lớn các em không biết cách giải thế nào cho đúng, cho hay, nhất là với học sinh bậc THCS Các em thờng giải theo phơng pháp lũy thừa và chọn ẩn nhng đa số các em không phán đoán đợc phơng trình sau có tơng đơng với phơng trình đã cho hay không?
Chính bởi những lí do trên mà tôi chọn đề tài này để phần nào tháo gỡ những vớng mắc trên, giúp cho quá trình dạy và học đợc tốt hơn và đạt hiệu quả mong muốn.
Trang 2II Mục đích nghiên cứu đề tài:
Một là, giúp học sinh nắm đợc các phơng pháp giải một bài giải phơng trình vô tỉ Trên cơ sở đó, tìm đợc những vớng mắc, khó khăn mà các em thờng gặp phải trong quá trình giải loại bài tập này
Hai là, hệ thống đợc các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ, trên cơ sở đó phân tích những u việt hay hạn chế của từng phơng pháp
Ba là, thông qua hệ thống ví dụ, giúp các em thấy đợc cách lựa chọn một hoặc nhiều phơng pháp khác nhau để giải một bài toán sao cho nhanh và đạt hiệu quả tối u nhất
III Đối tợng và khách thể nghiên cứu:
1 Đối t ợng nghiên cứu:
Nghiên cứu những phơng pháp giải phơng trình vô tỉ
Đánh giá tính u việt, hạn chế và khả năng ứng dụng của từng phơng pháp giải
Trang 3I Những vấn đề chung của phơng trình:
1 Tập xác định của ph ơng trình:
a Định nghĩa: Tập xác định của một phơng trình là tập hợp các giá trị của
một ẩn làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa Tập xác định đợc viết tắt
c Hai phơng trình:
x2 + 1 = 0 và x2 + x + 6 = 0 là hai phơng trình tơng đơng vì chúng có cùng chung một tập nghiệm là S = φ
2
=+
−
4x
Trang 4∆> 0 – phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai:
Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
* ∆ ≤ 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a
* ∆ ≥ 0 thì f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2.
Nếu f(x) cùng dấu với hệ số a khi với ∀ x ∉ (x1; x2);
f(x) khác dấu với hệ số a với ∀ x ∉ (x1; x2);
Điều kiện để căn thức có nghĩa 2x + 3 ≥ 0 ⇔ (2)
với điều kiện x ≥ 0 (3)
phơng trình (1) ⇔ (2x + 3) = x2 (4)
⇔ x2 – 2x – 3 = 0
)(
2
b'
k
g(x)k
f(x)
=
x3
Trang 5Vì a – b + c = 0 nên (4) có nghiệm là: x1 = - 1; x2 = 3
x1 = - 1 không thoả mãn điều kiện (3)
x2 = 3 thoả mãn các điều kiện (2) và (3)
Vậy nghiệm duy nhất của phơng trình là x = 3
Nếu a1, a2 an là các số không âm ta có:
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an
b Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Nếu a1, a2 an và b1, b2 bn là các số tuỳ ý ta có:
(a12 + a22 + + an2).(b12 + b22 + + bn2) ≥ (a1b1 + a2b2 + + anbn)2
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
c Bất đẳng thức Trêbsep.
Nếu a1 ≥ a2 ≥ ≥ an và b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn, ta có:
(a1 + a2 + + an).(b1 + b2 + + bn) ≥ n.(a1b1 + a2b2 + + anbn)
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an hoặc b1 = b2 = = bn
n 2
n
aa
a
≥
++
n
n 2
2
ab
ab
a
=
=
1
Trang 6Điều kiện để căn thức có nghĩa x – 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 (2)
Với điều kiện x – 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7 (3)
phơng trình (1) tơng đơng với: x – 5 = (x – 7)2 ⇔ x2 – 15x + 54 = 0 (4)
Giải phơng trình (4) ta đợc:
x1 = 6 không thỏa mãn điều kiện (3)
x2 = 9 thỏa mãn các điều kiện (2) và (3)
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 9
Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đặt điều kiện (2) vì lý do s phạm Thực ra
không cần điều kiện này Thật vậy, khi bình phơng hai vế của (1), biểu thức x 5–
bằng một bình phơng, đơng nhiên không âm, do đó các giá trị của x thỏa mãn (3) cũng sẽ thỏa mãn điều kiện (2).
Giải phơng trình (3) ta đợc nghiệm duy nhất là: x = - 1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 1
x
2 3
Trang 7Lu ý: Nhiều em khi gặp bài này thờng giải theo cách quen thuộc:
không thỏa mãn điều kiện (4)
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2
Lu ý: Với điều kiện (2) ta chỉ cần
3 x+1+ x−1= 5x (1)
Giải:
Lập phơng hai vế phơng trình ta đợc:
2 3
2 1 ).(
1 (
2 − x − x = x +
2
) 2 1 1
( − x + − x = x +
2 4
) 2 1 ).(
1
(
1 2
) 2 1 ).(
ab = − −
b a
ab =
Trang 8- Với dạng bài này, chúng ta không thay thế thì chắc chắn lời giải sẽ phức tạp hơn rất nhiều.
II Phơng pháp đa về hằng đẳng thức quen thuộc.
Với phơng pháp này chúng ta thờng phân tích, thêm bớt để đa về dạng:
x 2 2 x 1 2 x 2
2
-
1 2 x 2 1 x 1 x 2 x
NnvớiBAB)
(A
NnvớiBAB)
1 + ∗
−
−
= +
x
1 2 x 1 2 x 1
3 x+1+ x−1= 5x
Trang 9Đối với phơng pháp này ta phải thật khéo léo khi xử lý quá trình:
Nhiều bạn rất hay làm thiếu trờng hợp (- A).
Ví dụ 2: Giải phơng trình sau:
(1) ⇔
⇔ ⇔ (2)
Điều kiện để căn thức tồn tại x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 (3)
với điều kiện (3) phơng trình (2) tơng đơng với:
⇔ ⇔ ⇔
thỏa mãn điều kiện (3)
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là x1 = 3; x2 = 7
Lu ý:
Ta có thể dùng ⇔ A = B
A = - B (với B ≥ 0)
thì việc giải sẽ nhanh hơn.
Ví dụ 4: Giải phơng trình sau:
1 = + − − +
x
1 1
1 = − − + +
x − − − = x −3−2 x−3 +1=1
( x − 3 + 1)2 = 1 x − 3 + 1 = 1
1 3
x − − 1 =
1 3
x − − 1 = −
2 3
x − =
0 3
A =
0 x x x 1).
(x 1
A khi A A
A 2
1
+
−2x
Trang 10x2 – x ≥ 0 x ≤ 0 hoặc x ≥ 1
⇔ x = 2 thoả mãn (*) hoặc
với điều kiện x ≥ 1 thì hai vế của (3) đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc:
⇔
- (x – 1)2 – 1 < 0 với ∀ x ≥ 1 suy ra phơng trình (3) vô nghiệm
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2
2 − 2 > ⇔ 2+ 2=
y
1 1) x.(x 1)
x.(x 2
1
1 1) (x 1)
x.(x
2 − = − − 2 −
2
x 2 2) x(x 1)
x x 2 2 x x 1
x
−
x 2 2 x x
1 − + − − = −
4x 2)
1).(x (x
2 2
- x
- x
2x 2)
x x
2 2 + − = 1 −
28
9vi(loại)8
9
x x 2 2 x x 1 x
4x2)xx22x1
-
Trang 11⇔ 8x = 9 ⇔
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là :
Chú ý : Khi sử dụng phơng pháp này, chúng ta phải xác định TXĐ của phơng trình một cách chính xác và kết hợp với các điều kiện để tìm ra nghiệm.
IV Phơng pháp dùng lợng liên hợp:
- Đối với phơng pháp này, chúng ta rất dễ áp dụng nhng nó thờng phải áp dụng kết hợp với các phơng pháp khác thì mới có hiệu quả
2x2)
x
x2 + − =−1+
mãn)(thỏa 8
4x1
134x1
1x1)13).(x
−+2 x 1 x 2 x 1x
( x−1+1)2 + ( x −1−1)2 =2
21
2x1
x1
x1
2x11
1x
01x1
x1
Trang 12- Khi sử dụng chúng ta thờng áp dụng công thức sau:
⇔ ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = - 1 (thỏa mãn điều kiện *)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là : x = - 1
Lu ý : Khi khai căn của một đa thức, chúng ta phải chú ý điều kiện để đa thức
d-ơng và phải chọn lợng liên hợp để rút ngắn lời giải.
4x1
4
++
4x
0
=+1x
x
3 x x x
1 x
x x
0
≠ +
x
0
≠ +
xxxx
xx.xx
x
xxx4
2 2
2
2 2
2
=+
−+
+
++
−+
−+
xxxx
-xxx
=++
−+
−
Trang 13Tãm l¹i: S =
3 3
5 x 2 + x − x =
3 3
= +
−
− + +
+
x 2 2
x - 2 x
2 2
x 2
−+
+
+++
+
−+
+
+
−+
x22x22
x22x
- 2x
22x22
x22x2
x2
22x
2x
x2x
22
x22
x2x
2x
x22
−+
++
+
−+
+
−
xx
2x
02
)2
2
xx
2
2
2 4 4
1 = +
x
2 4 4
2 = −
x
2 4 4
2 = +
x
{− 2 ; 4 + 4 2}
Trang 14153
+
−
− +
+
−
−
− +
−
1
- x 3x 3x
1
- x 3x 3x
1
- x 3x 3x
2 2
2 2
2 2
5 3
7
5 3
7
5 3
7
x
x x
4 x x x
4 x x x
4 x x x
2 2
2 2
2 2
+
− +
−
+
− +
− +
3 2
3 2
4 x x x
1
- x 3x
−
=
− +
+
−
−
3 2
6 3 5
3 7
3 7
2
− +
x
03
2
63
〉+
−+
−
−
4xx
x
x2 2
03
2
63
〉+
−+
−
−
4xx
x
0 5
3 7
2
− +
x
003
2
62.35
32.7
2.2
+
−+
−
−
=
−+
+
−
−
4.22
21
- 23.2
4)x:S(§
1xx
25
Trang 153
2)-x:S(§
x
)2
1
- x3;
x:S(§
3x
8)x:S(§
−
−
47
2
2
x x
x
1)-x:S(§
94
1
24
.424
011
4
116
8
1015
510
235
63
15
6
12192
7
2 2
Bµi
x:S
§x
xx
x
15
2
1x:S
§x
xx
x2
14
xx
6-5x
13
10)x5:S(§
xx
1-x4-3x
12
1)x:S(§
xx
5-5x
11
4)x:S(§
xx
10
-1)x:S(§
xx
9
nghiÖm)(V«
x
x20x
x208
5)x:S(§
xx
x 1
=
=+++
−+
=
−
−+
=
−+
=
−
=
−+
=
=
−
−+
=
=
−+
−
=
−
−+
=
=
−+
221
3
1232
2
214
12
1
3 3
3
3 3
3
3 3
++
=
−+
=
−
=
−+
−
+
=++
−
=
−+
−
xxx
Bµi
Sx
xx
xx
x
xx
Trang 16- Để khử căn thức, ngời ta có thể đa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ Tuỳ theo dạng của phơng trình mà các bạn lựa chọn cho thích hợp.
- Đây là một “công cụ” tơng đối mạnh và đạt hiệu quả cao trong việc khử căn thức song nó cũng có nhiều chỗ làm cho các bạn nhầm giữa ẩn đã cho với ẩn mới
I Đặt ẩn phụ để chuyển về phơng trình hữu tỉ :
- Ta thờng đặt một ẩn mới thay ẩn của phơng trình song chúng ta phải chú tới điều kiện liên quan giữa ẩn cũ và ẩn mới
- Khi đặt ẩn phụ ví dụ thì cha chắc t ≥ 0 mà còn phải tuỳ thuộc vào tập xác
định của A mà 0 ≤ t ≤ α (α ∊ R + ) chúng ta phải hết sức chú ý điều này, tránh ờng hợp thiếu hoặc thừa nghiệm nh trong ví dụ sau đây:
tr-Ví dụ 1 : Giải phơng trình sau :
(1)
Lời giải :
Đặt thì Y2 = (x - 3)(x + 1) nên phơng trình (1) đa về dạng :
Y2 + 4Y + 3 = 0 ta có 1 – 4 + 3 = 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt
3
2 x− =x−
21
30
133
11
/10
10
121
MTx
xx
t
MTt
tt
tt
−
⇔+
=
3
1
34
+
−
x
xx
xx
Y
3
1
31
( ) ( Thoả mãn ** )
x
mãnthoả
Khôngx
351
3512
33
A
t=
Trang 17+ Với Y = - 3 ⇔
Với điều kiện (**) phơng trình (***) tơng đơng với
9 = (x - 3)(x + 1) ⇔ x2 – 2x – 12 = 0
Có ∆’ = 1 + 12 = 13 > 0 Phơng trình có hai nghiệm:
Tóm lại: Phơng trình (1) có hai nghiệm:
Chú ý: Rất nhiều bạn khi gặp bài này thờng đặt ẩn phụ là: ,
điều này cha đúng khi x 3 > 0, do đó ta phải đặt nh– trên.
x
(**)mãnthoả
Khôngx
131
131
;5
1 = − x = −
x
)1).(
3( − +
t
11
.11
3(6
3+x + +x − +x −x =
Trang 18Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
6 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 6 ⇔ - 3 ≤ x ≤ 6 (*)(3 + x).(6 – x) ≥ 0 - 3 ≤ x ≤ 6
X1 = - 1 Không thỏa mãn với điều kiện (**)
X2 = 3Thỏa mãn điều kiện (**)
Với X = 3 ⇔
6 – x = 0 x = 6 Thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm: x1 = -3; x2 = 6
X
−+
32
92
3
0)6).(
3( +x −x =
3
3)2).(
5(x+ −x = x2 +
3x3
103)
−
( )∗
≥+
73
1 =− + =
t
(loại)5
2
73
t2 =− − =−
x
2= 2 +
Trang 19Phơng trình có a + b + c = 0 (1 + 3 – 4 = 0) nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = - 4.
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = 4
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: x = 1; x = 4
Chú ý: Việc áp dụng lợc đồ Hoocle giúp ta tách đợc đa thức bậc cao về
tích các đa thức bậc nhất một cách dễ dàng hơn.
42
47
2
xx
xx
=+
++
xtx
t = ≥0⇔ 2 =
)2(04873
42
47
2 3 4 2
2 4
=+
−+
−
⇔
=+
++
tttt
tt
tt
)2(04873
42
47
2 3 4 2
2 4
=+
−+
−
⇔
=+
++
tttt
tt
tt
04
72
1 -
t 2
42
11
x
)1(1
11
22
=+++
+
xxxx
xt
x
t= +1≥0⇔ 2 −1=
34
12
10
21
11
1
11
12
11
12
12
1
11
1
12
12
1
2 2
2 2
2 2 2
=
⇒
=+
⇔
=+
−
⇔
=
−+
−
⇔
=
−+
−+
−
−
≠
=+
−+
−+
−
xx
xt
Với
tt
t
tt
tt
tt
tvớit
ttt
Trang 20II Đặt ẩn phụ, quy phơng trình vô tỉ về hệ phơng trình.
Ngoài việc đặt ẩn phụ để đa phơng trình vô tỉ về phơng trình hữu tỉ, chúng ta còn
đặt ẩn phụ để đa phơng trình vô tỉ về hệ phơng trình Đây là cách giải rất thích hợp cho các phơng trình vô tỉ
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau
Lời giải:
Đặt
Khi đó phơng trình đã cho dẫn về hệ phơng trình sau:
Trừ hai vế hai phơng trình của hệ ta đợc:
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là :
Ví dụ 2 : Giải phơng trình sau :
1 3
3 + = x−
x
xy
=
+
21
213
3y
yx
Ryxvớiy
4.32
2y
xy
x
2 2
2 2
511
01
012
xxx
xxx
2
51
;2
51
⇒
+
=
⇔+
33
;22
3 3
3 3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
vu
vuvu
vu
xv
u
xvx
vx
ux
u
Trang 21VËy hÖ ph¬ng tr×nh (I) cã 4 nghiÖm :
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt:
3 3
2
5
;2
5
;2
5
;2
5
;0
;5
;5
;
0
nghiÖmv«
x
xx
xx
xv
u
Víi
xx
xx
xv
u
Víi
xx
xx
xv
u
Víi
xx
xx
xv
32
5
22
5
32
5
22
5
2525
2
13
25
22
5
32
5
22
5
2525
33
33
0
25
0
5
22
23
5
20
50
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
3
3
2
;2
4
4 x + −x =
170
017
4
=+
v
xu
)(17
34
vu
vu
=+
=+
Trang 22Từ phơng trình thứ nhất của hệ (I) ta có u = 3 – v (2)
Thế (2) vào phơng trình thứ hai của hệ (I) ta đợc:
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm: (1;1)(1;2)
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = 16
552
316
mãnthỏax
x
xx
xv
u
1
117
2
112
3 x− + x+ =
32
22
0
3 2
xu
xvx
u
xv
( ) ( )
232
3 v
u
vu
Trang 23Từ (2) ta có v = 3 – u (4)
Thế (4) vào (3) ta có u3 – (3 -u)2 = - 3 ⇔ u3 – u2 + 6u – 6 = 0 (5)Phơng trình (5) có u = 1 là nghiệm vì 1- 1 + 6 – 6 = 0
Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (1 ; 2)
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3
Vậy hệ (I) có hai nghiệm : (1 ;2) và (2 ; 1)
Phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt : x = - 6 ; x = 1
Ví dụ 6 : Giải phơng trình
( )13)2)(
7()
7()
2
3 −x 2 + +x − +x −x =
)2(97
27
3 3
3
3
=+
xu
xv
xu
)(9))(
(
39
3
2 2
2 2 3
3
2 2
Ivu
vuvu
vuv
uv
u
vuv
+
=+
=
−+
6
11
1
71
28
78
21
71
22
72
21
1221
3 3 3 3
xx
x
xx
x
xxxx
xxxx
225
2x2 + x+ − x2 + x− =
Trang 24Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa:
Vậy phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình sau:
Từ (2) ta có: x = 2y + 1 (3)
Thế (3) vào (2) ta đợc :
Vì 3 + 4 – 7 = 0 nên phơng trình (4) có hai nghiệm phân biệt :
Với y = 1, thế vào (2) đợc x = 3 Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất
Vì 2 + 5 – 7 = 0 nên phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt:
≥+
+
0652
0252
2
2xx
xx
)2(8
122 2
yx
)4(0743
8)
12(2
2 2
=
−
+
yy
yy
03
y
( )16
57
57
3 3
3 3
xx
x
xx
−
=
−+
75
7
3 3
3 3 3
3
3 3 3
3
3
3
vu
vuxx
vu
vux
v
xu
xv
xu
32
2
2 2
Trang 25)3(v
u
vu
12
vu
2
02
0
v
uv
2
02
0
u
vu
v
61
5
17
15
17
xv
u
72
5
07
25
07
2
0
3 3
xx
xv
u
50
5
27
05
27
2
0
3
3 3
xx
xu
v
(3 )(6 ) 3 (1)6
3+x + +x − +x −x =
63
6
30
6
03
xx
xx
x
96
36
2
2
=+
xu
xv
xu
−+
=
−
+
)5(92
)4(3)
3(9
)2(3
2 2
vuuvv
u
uvv
0u0
uv
(lo¹i)uv
Trang 2603
3
;0
3
;00
3
x
xx
xu
v
vuuv
vu
)1(2
32
31
4 + − − = x+
xx
323
24
10
23
014
x
023
;01
v
xu
5
2
2 vuv
u− = −
( 3) 1 (1)1
22
1410
28
10
2810
22510
22
30
xx
xx
u
xv
5
3x-5
2v
v-5
u
(II)
(lo¹i)x
x
v
u
I
Trang 271 = x− x− =x−
t
(lo¹i)x
x
xx
xx
x
33
48
6
19
61
)3
〈
=
⇔+
⇔
+
=+
−
⇔+
=
−
33
t
=
−++
=
=
−
−+
=
2
33
32
33
4 3
3)(x
m·n)(tháax
xx
xx
.22
;2
−
x)1(917
17− 2 + − 2 =
x
170
17−x2 ≥ ⇔ x ≤
)2(170
−
=+
=+
+
)4(172
)(
)3(9
17
9
2 2
xyy
xy
x
xyy
=
4610
16610
Trang 28Vậy hệ phơng trình trên tơng đơng với hai hệ :
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x = 1; x = 4
Ví dụ 12: Giải phơng trình
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa:
Đặt
Vậy phơng trình (1) tơng đơng với hệ sau:
Thế (3) vào (4) ta đợc: (2xy)2 – 2xy – 2 = 0 ⇔ 2(xy)2 – xy – 1= 0 (5)Vậy (5) là phơng trình bậc hai đối với ẩn là (x; y)
5y
1XX
1617
16
1714
1
2
2 2
xx
xX
X
)1(22
11
2 =
−
+
xx
2
0
xx
x
)2(20
=+
=
+
)4(22
)3(22
211)
2
xyy
xy
x
yxI
−
=+
=+
1
1
yx
yxy
=
−+
=+
2
312
3111
01
021
0122
12
1
1
2
2 2
xyyx
yx
yy
yy
yx
yx
yx
yx
yx