Giai toan bang cach lap pt-he pt

Mở đầu*** Lý do chọn đề tài Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phơng trình” ở chơng trình đại số lớp 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó đối với học sinh.. Hầu hế

Mở đầu

***

Lý do chọn đề tài

Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phơng trình” ở chơng trình đại số lớp 9

ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó đối với học sinh Do đặc trng của loại toán này thờng là loại toán có đề tài bằng lời văn và thờng đợc xen trộn nhiều dạng ngôn ngữ (Ngôn ngữ thông thờng, ngôn ngữ toán học, vật lý )

Hầu hết các bài toán có dữ kiện dàng buộc nhau, ẩn ý dới dạng lời văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm đợc sự liên quan giữa các đại lợng dẫn đến việc lập phơng trình hoặc hệ phơng trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải toán là giải phơng trình

Trong phân phối chơng trình toán ở trờng trung học cơ sở thì toán lớp 8 học sinh mới đợc học về khái niệm phơng trình và các phơng trình Nhng việc giải ph-

ơng trình đã có trong chơng trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tùy theo từng

ợc thực tế, dẫn đến quên điều kiện của ẩn số Học sinh không khai thác hết mối quan hệ giàng buộc của thực tế từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm dạng…

toán này Mặt khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ giáo viên mới chỉ dạy học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của Sách Giáo Khoa

mà cha biết phân loại toán, cha khái quát đợc cách giải cho mỗi dạng toán Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các số liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng trong việc giải toán này

Vì thế, muốn giải toán bằng cách lập phơng trình hay hệ phơng trình điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan

hệ toán học Do vậy, nhiệm vụ của ngời thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫn giải bài tập Do đó khi hớng yêu cầu về giải một bài toán này phải dựa trên một số nguyên tắc chung: Yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải toán về cách lập ph-

ơng trình, phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lợng (tăng, giảm, thêm, bớt ) làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại l… ợng dẫn đến lập đợc ph-

ơng trình dễ dàng Đây là bớc quan trọng và khó khăn đối với học sinh

Với mong muốn đợc trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng

trình” Vì vậy tôi đã chọn đề tài Dạy giải toán bằng cách lập ph“ ơng trình và hệ phơng trình.”

Trong thời gian giảng dạy ở trờng THCS tôi đã đợc học hỏi rất nhiều kinh nghiệm của các thầy cô giáo lớp trớc và đợc đồng nghiệp trong nhóm giúp đỡ, đặc biệt là sự hớng dân tận tình của thầy Tống Trần Hoàn đã giúp tôi hoàn thành đề tài này

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Nội dung

***

chơng iPhơng pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán

- Chọn ẩn số (Chú ý ghi rõ đơn vị và điều kiện cho ẩn)

- Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn và các số liệu đã biết

- Dựa vào mối quan hệ giữa các số liệu để lập phơng trình (hệ phơng trình)

Ví dụ 1:

Tỷ số tuổi anh và tuổi em bằng 0,5 ; sau 3 năm tỷ số tăng thêm 0,1 Hỏi tuổi anh và tuổi em hiện nay?

- Phân tích đề bài:

Tỷ số tuổi anh và tuổi em bằng 0,5 ( = 1/2) Từ đó ta có tuổi anh gấp đôi tuổi

em Sau 3 năm, tuổi anh và tuổi em đều tăng 3 đơn vị; khi đó, tỷ số tuổi của anh và của em là: 0,5 + 0,1 = 0,6

- Giải:

Gọi tuổi em hiện nay là: x ( x > 0; x Є N)

Thì tuổi anh hiện nay là: 2x

Sau 3 năm nữa tuổi em là: x + 3

Sau 3 năm nữa tuổi anh sẽ là: 2x + 3

Theo đầu bài ra ta có phơng trình :

x + 3 2x + 3

<=> x + 3 = 0,6 (2x + 3)

<=> x = 6 (T/m điều kiện)

Vậy tuổi em hin nay là: 6 (tuổi)

Tuổi anh hiện nay là : 6 x 2 = 12 (tuổi)

2 Yêu cầu 2:

Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác Trong quá trình thực hiện từng bớc phải có lôgíc chặt chẽ với nhau có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải chú ý đến việc thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết Xác định ẩn phải khéo léo, mối quanhệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm nổi bật đợc ý phải tìm Nhờ mối tơng quan giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đợc phơng trình (hệ phơng trình), từ đó tìm đợc các giá trị của ẩn Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ ràng đâu là ẩn đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện Điều kiện có đủ để xác

định đợc ẩn không? Từ đó mà xác đợc hớng đi, xây dựng đợc lời giải

Ví dụ 2:

Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhay 4m Tính chu vi của khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1020 m2.

Giải:

Gọi chiều rộng của khu đát hình chữ nhật đó là: x (m) (x > 0)

=> Chiều dài của khu đất là: x + 4 (m)

Ta có phơng trình:

x (x + 4) = 1020

x2 + 4x - 1020 = 0

x1 = 30 (t/m)x2 = -34 (loại)

Vậy: Chiều rộng của khu đất là: 30m

Chiều dài của khu đất là: 30 + 4 = 34m

Chu vi hình chữ nhật là: (30 + 34) x 2= 128 (m)

Chú ý: ở đây giáo viên cần lu ý học sinh từ điều kiện loại nghiệm: x = -34 chỉ

lấy nghiệm: x =30

3 Yêu cầu 3:

Lời giải thích phải đầy đủ và mang tính toàn diện Hớng dẫn học sinh không

đợc bỏ sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhng không đợc thiếu Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ cha? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp với mọi cách chung? Nếu thay đổi điều kiện của bài toán rơi vào tr-ờng hợp đó thì kết quả vẫn luôn đúng?

Gọi cạnh đáy của tam giác lúc đầu là: x (cm) (x>5)

→ Chiều cao của tam giác là: 3

4 x + 3 (cm)

Khi giảm cạnh đáy đi 5cm thì cạnh đáy mới là: x - 5 (cm)

Diện tích tam giác khi đó là:

S2 = 1 3

.( 3) ( 5)

2 4 x + x −Theo bài ra ta có:

Vậy cạnh đáy của tam giác lúc ban đầu là 20cm

Chiều cao của tam giác là:3

4.20 = 15 (cm).

4 Yêu cầu 4:

Lời giải bài toán phải đơn giản và phù hợp với kiến thức trình độ học sinh; đại

đa số học sinh có thể hiểu và áp dụng đợc

Ví dụ 4:

Một xởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xởng đã may đợc nhiều hơn 6 áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch Vì thế, 5 ngày trớc khi hết thời hạn xởng đã may đợc 2650 áo Hỏi theo kế hoạch xởng phải may trong thời gian bao lâu và mỗi ngày xởng phải may xong bao nhiêu áo?

- Giải:

Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là x (x Є N; x > 0)

Thời gian quy định may xong áo là 3000

x (ngày).

Số áo thực tế may đợc trong 1 ngày là: x + 6 (áo)

Thời gian may xong 2650 áo là: 2650

Vậy: Theo kế hoạch, mỗi ngày xởng phải may xong 100 áo

Thời gian quy định may xong 3000 áo là: 3000

100 = 30 (ngày)

5 Yêu cầu 5: Lời giải phải đợc trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bớc giải

trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau, các bớc sau đợc suy luận từ các bớc

tr-ớc nó đã đợc kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã biết trtr-ớc

Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông là 9.6 m và chia cạnh huyền làm 2

đoạn hơn kém nhau 5,6 m Tính độ dài cạnh huyền của tam giác

- Phân tích: Xét tam giác vuông ABC Giả sử AC > AB ⇔CH > BH

Theo công thức hệ thức lợng trong tam giác, ta có phơng trình:

x.(x + 5,6) = 9,62

x2 + 5,6 x - 92,16 = 0x1 = 7,2 (thỏa mãn điều kiện)

x2 = - 12,8(loại)

Vậy: BH = 7,2 m

CH = 7,2 + 5,6 = 12,8 m

Độ dài cạnh huyền là : BC = BH + CH = 7,2 + 12,8 = 20 (m)

6 Yêu cầu 6 : Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ Các bớc cần lập luận không

chồng chéo, phủ định lẫn nhau Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nghiệm nhất là đối với phơng trình bậc hai, hệ phơng trình

Ví dụ 6: Độ dài cạnh huyền của một tam giác là 25, tổng độ dài hai cạnh góc

vuông là 35 Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác đó

- Giải: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác là x; y (x > 0; y > 0).

Ta có hệ phơng trình:

x + y = 35

x2 +y2 = 252 = 625

x + y = 35 x + y = 35(x + y)2 – 2xy = 625 x y = 300 ⇔x, y là nghiệm của phơng trình: a2 – 35 a + 300 = 0

a1 = 20; a2 = 15 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 20 và 15

Nhận xét: ở bài toán này, khi tìm ra 2 kết quả là 20 và 15, học sinh sẽ phân

vân: 1 hay 2 đáp số? (x = 15; y = 20) ; (x = 20; y = 15)

Trên thực tế 2 tam giác vuông này là một Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài, nếu đảm bảo thì các nghiệm dều hợp lí (Một bài toán không nhất thiết chỉ có duy nhất 1 kết quả)

CHƯƠNG II : PHÂN LOạI BàI TOáN

GIảI BàI TOáN BằNG CáCH LậP PHƯƠNG TRìNH

Và CáC GIAI ĐOạN GIảI MộT BàI TOáN

và hệ phơng trình.

Trong bài tập ở lớp 9, giải bài tập bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình có thể phân loại nh sau:

1 Loại toán về chuyển động

2 Loại toán liên quan đến số học

3 Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm)

4 Loại toán công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị)

5 Loại toán về tỉ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỉ số của chúng)

6 Loại toán có liên quan đến hình học

7 Loại toán có nội dung vật lí, hóa học

ii các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình

- Với bài toán: Giải bài toán bằng hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn là dạng toán sau khi biến đổi tơng đơng về dạng nguyên (nh mẫu số) có dạng:

ax + by = c

a,x + b,y = c, ( Trong đó a, b, a,, b, không đồng thời bằng 0 )

Để đảm bảo 6 yêu cầu về bài toán và 3 bớc trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình (hệ phơng trình) nh phần I đã trình bày thì giải bài toán này có thể chia làm 7 giai đoạn cụ thể hơn 3 bớc quy tắc giải bài toán bằng lập phơng trình (hệ phơng trình)

* Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết, kết luận của bài toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? Cần tìm gì? (Nêú đợc có thể mô tả bằng hình vẽ)

* Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập phơng trình Tức là chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn

* Giai đoạn 3: Lập phơng trình, dựa vào quan hệ giữa ẩn số và các đại lợng

đã biết, dựa vào công thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng

để đa phơng trình đã xây dựng về phơng trình ở dạng đã biết, đã giải đợc

* Giai đoạn 4: Giải phơng trình , vận dụng các kí thuật giải phơng trình đã biết để tìm nghiệm của phơng trình

* Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phơng trình, để xác định lời giải của bài toán tức là xét nghiệm của phơng trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với hiện thực xem có phù hợp không?

* Giai đoạn 6: Trả lời bài toán kết luận xem có mấy nghiệm, sau khi thử lại

* Giai đoạn 7: Phân tích, biện luận cách giải, phần này thờng mở rộng cho học sinh tơng đối khá, giỏi Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đối bài toán thành bài toán khác, ta có thể:

- Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác (dữ kiện và giả thiết)

- Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khác (ẩn số hay giả thiết) nhằm phát triển t duy cho học sinh

- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất

Chơng III: Những loại bài toán

và hớng dẫn học sinh giải Phân loại bài toán

I Dạng toán chuyển động:

Bài toán 1: Nhà Nam và Lan cùng nằm trên đờng quốc lộ và cách nhau 7 m

Nếu Lan và Nam đi xe đạp cùng lúc và ngợc chiều nhau thì sau 25 phút họ gặp nhau

Tính vận tốc của mỗi ngời? Biết rằng vận tốc của Lan bằng 3

4 vận tốc của Nam

- Phân tích: Đây là bài toán chuyển động ngợc chiều khi hai ngời gặp nhau thì

tổng quãng đờng mà hai ngời đã đi đúng bằng khoảng cách ban đầu giữa hai ngời

Có thể minh họa bằng bẳng sau:

Bài toán 2 : Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km trong

một thời gian quy định Sau khi đi đợc 1 giờ, ô tô bị chắn bởi xe hỏa mất 10 phút

Do đó để đến B kịp giờ xe đã phải tăng vận tốc thêm 6 km/h Tính vận tốc ô tô lúc

đầu

Phân tích : + Thời gian trên thực tế ô tô đã đi cố thể chia làm 3 giai đoạn :

- Giai đoạn 1 : Ô tô đi với vận tốc dự định

- Giai đoạn 2 : Ô tô dừng lại

- Giai đoạn 3 : Ô tô đi với vận tốc mới

+ Do ô tô đến B kịp giờ nên thời gian theo dự định = thời gian trên thực tế

ô tô đã đi

- Giải : Gọi vận tốc theo dự định của ô tô là x ( km/h ) ( x> 0 )

⇒ Thời gian ô tô đi theo dự định là : 120( )h

x

Sau 1 giờ đầu ô tô đi đợc x ( km )

Quãng đờng còn lại là : 120 – x ( km )

Vận tốc của ô tô khi trên đoạn đờng còn lại đó là : x + 6 ( km/h )

⇒ Thời gian ô tô đi nốt đoạn còn lại là : 120

( )6

x h x

−+ ⇒ thơi gian ôtô di nốt đoạn còn lại là : 1

−+ +

Bµi to¸n 3 : Trªn mét s«ng , mét ca n« xu«i dßng 108 km vµ ngîc dßng 63 km

mÊt 7 h Mét lÇn kh¸c ca n« xu«i dßng 81 km vµ ngîc dßng 84 km còng mÊt 7 h TÝnh vËn tèc dßng níc ch¶y vµ vËn tèc riªng cña ca n«

Tóm lại: Với các bài toán minh họa trên giáo viên phần nào đã hình thành cho

học sinh làm quen với việc giải các bài toán chuyển động bằng cách lập phơng trình ở đây mới chỉ nêu cách giải đại diện cho các dạng phơng trình bậc nhất, ph-

ơng trình bậc 2; hệ phơng trình

Trong các bài toán chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên hệ giữa các đại lợng: vận tốc, quãng đờng, thời gian Thông thờng một trong ba đại l-ợng đó sẽ đợc chọn là ẩn số (với điều kiện tơng ứng); Một đại lợng đã đợc xác

định; ta phải biểu thị đại lợng còn lại theo ẩn và dựa vào mối liên hệ trong bài toán

để lập phơng trình (hệ phơng trình)

Cần lu ý trong toán chuyển động cũng có thể chia làm nhiều dạng nhỏ

Nếu 2 chuyển động ngợc chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùng nhau, ta có: S1 + S2 = khoảng cách ban đầu

Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùng nhau, ta có: S1 - S2 = khoảng cách ban đầu (S1 > S1)

Nếu chuyển động cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian là hai đại lợng

Vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngợc dòng = 2 vận tốc dòng.

Thời gian dự định đi ban đầu + thời gian đến chậm =Thời gian của chuyển động sau khi tăng tốc độ + thời gian đi với vận tốc ban đầu

+ thời gian nghỉ (nếu có)

ii Dạng toán liên quan đến số học.

Bài toán 1: Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng bình phơng của hai số đó là 157.

- Phân tích: Bài toán có thể giải bằng cách lập phơng trình hoặc lập hệ phơng

Số thứ nhất là 11 thì số thứ 2 là 17 – 11 = 6

Số thứ hai là 6 thì số thứ 2 là 17 – 6 = 11

Vậy 2 số phải tìm là 6 và 11

Bài toán 2 : Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng 2 chữ số của nó là 9 và

nếu viết thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số thì đợc số mới lớn hơn số ban đầu 360

đơn vị

- Phân tích: Với số có hai chữ số: ab=10a b+

Với số có ba chữ số: abc = 100 a + 10 b c +

t/m

Khi viết thêm một chữ số vào giữa hai chữ số của số có hai chữ số thì số đó trở thành số có ba chữ số, chữ số hàng chục của số ban đầu là chữ số hàng trăm của số mới, chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là chữ số hàng đơn vị của số mới.

- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x  N, 0<x≤9)

=> Chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là 9 – x

Bài toán 3 : Cho một số có hai chữ số Tìm số đó biết rằng tổng hai chữ số của

nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích 2 chữ số đó sẽ đợc một chữ số viết theo thứ tự ngợc lại với số đã cho

- Phân tích: Chú ý sử dụng ab=10a b+

Ngoài ra cần chú ý khi viết số đó theo thứ tự ngợc lại thì vai trò của chữ số hàng chục và hàng đơn vị sẽ đợc hoán đổi cho nhau:

- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x  N, 0<x≤9)

Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là y ( y  N, 0<y≤9)

Theo đầu bài ra ta có:

2 2 2 1 2

y y

Tóm lại: Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu mối quan hệ

giữa các số đặc biệt giữa các số giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, biểu diễn dới dạng chính tắc của nó:

10

ab = a b+

100 10

abc = a + b c +

Khi đổi chỗ các vị trí các chữ số thay đổi thì giá trị của mỗi chữ số cũng có

sự thay đổi tơng ứng với vị trí mới Ngoài ra cần chú ý điều kiện cho ẩn số phải phù hợp

iii dạng toán về năng suất lao động

( Tỷ số phần trăm )

Bài toán 1 : Trong 2 tháng đầu hai tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy, trong tháng

sau tổ 1 đạt vợt mức 10%, tổ 2 đạt vợt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy