tài liệu hệ điện cơ bách khoa hà nội

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN ĐIỆN-CƠ HAY VÀ KHÓ CHUYÊN NGÀNH ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Bài 1: a, Chứng minh cấu trúc điều khiển PI không đảm bảo sai lệch tiến tới 0 khi tín hiệu đặt wt = sin ωt tron

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN ĐIỆN-CƠ HAY VÀ KHÓ CHUYÊN NGÀNH ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Bài 1: a, Chứng minh cấu trúc điều khiển PI không đảm bảo sai lệch tiến tới 0 khi tín hiệu đặt

w(t) = sin (ωt) trong hệ sau

b, Đưa ra cấu trúc hệ thống mới đảm bảo sai lệch tĩnh tiến về 0 khi mà tín hiệu đặt vẫn giữ nguyên

Bài làm:

− Đối tượng điều khiển: ( ) =

( + 1)

− Cấu trúc bộ điều khiển PI: ( ) = 1 + 1

Dựa vào mô hình của hệ ta có được:

− Hàm truyền đạt hệ hở:

( ) = ( ) ( ) =

( + 1). 1 +

1

⇒ ( ) = ( ) − ( ) = ( ) − ( ) ( )

1 + ( )=

( )

1 + ( + 1) 1 + 1

Với tín hiệu đặt: ( ) = sin( ) ⇒ ( ) = {sin( )} =

+

⇒ ( ) =

( + ) 1 + ( + 1) 1 + 1

Đa thức mẫu số có cặp nghiệm = ± , tương ứng với thành phần dao động điều hòa không tắt dần trong biểu thức ( ) nên không tồn tại lim

→∞ e(t) Điều đó chứng minh rằng bộ điều khiển PI không làm sai lệch tĩnh tiến đến 0 khi tín hiệu đặt = sin ( )

b, Việc sử dụng BĐK trong trường hợp này là không hợp lí vì BĐK PI chỉ phù hợp với tín hiệu đặt là hằng số và việc thiết kế khi đó dựa trên phương pháp tối ưu đối xứng Và đó là bài toán điều khiển vị trí, đưa vật từ vị trí này tới vị trí khác theo quỹ dạo bất kỳ Nhưng trong bài toán tín hiệu đặt là một dao động hình sin: ( ) = sin ( ) Do đó, việc sử dụng BĐK PI là không thể dùng được, bài toán ở đây là bài toán thiết kế bộ điều khiển sao cho tín hiện ra bám được

theo tín hiệu đặt Để giải quyết vấn đề sai lệch không tiến tới 0 Ta sử dụng phương pháp:

“Điều khiển bám bằng phản hồi trạng thái” để giải quyết vấn đề này

* Phương pháp này được trình bày như sau:

Từ phương trình hàm truyền đạt của đối tượng, ta có:

Hình: Mô hình thiết kế: Điều khiển bám bằng phản hồi trạng thái Phương trình trạng thái của đối tượng ở dạng chuẩn điều khiển là:

dx

dt = Ax + b u

y = c x

(1) Trong đó: A = 0

0

1

−1 T

; b = 0

1 ; c =

K

T 0 ; x =

x

x

Khi sử dụng bộ điều khiển phản hồi trạng thái R = a với

u = w + a x, trong đó a = (a a ) = (0 1

T) Khi đó hệ kín lúc này sẽ là:

dx

dt = Ax + b (w + a x) = (A + b a )x + b w

y = c x

⇒

dx

dt =

0

0

1

0 x +

0

1 w

y = K

T 0 x

(2) đó = 0

0

1 0

Từ phương trình trạng thái trên ta có:

w =dx

dt =

d x

dt ⇒ X (s) = s W(s) và y =

K

Tx ⇒ Y(s) =

K

T X (s) Nên ở đầu vào ta chỉ cần đặt w (t) với:

W (s) =Ts

K Y (s) =

Ts

K Y (s) = ( ) ( ) ớ ( ) = ( ) =

+

* Từ phương trình trạng thái (2), ta thấy hệ có điểm cực s=0 bội 2 nên hệ kín là không ổn định

Để cho hệ kín ổn định , ta phải can thiệp vào hệ một bộ điều khiển Re sao cho với nó, sai lệch

e = x − x tiến được về 0 Điều này tương đương với việc xác định Re để ma trận:

A + b (a − R ) có tất cả các giá trị riêng s , s nằm bên trái trục ảo

Ta sử dụng phương pháp Ackerman để tìm

Gọi R = (r , r ) thì khi đó ta có:

A + b (a − R ) = −r0 −r1

Chọn s = −1; s = −2 là các giá trị riêng nằm bên trái trục ảo, khi đó ta có:

(s − s )(s − s ) = r + r s + s

⇒ (s − 1)(s − 2) = r + r + s ⇒ r = 2; r = −3 ⇒ R = [2 − 3]

CÂU 2: LỰC CORIOLIT

Lực Coriolis là lực xuất hiện trong hệ quy chiếu quay so với các hệ quy chiếu quán tính,được đặt theo tên của Gaspard-Gustave de Coriolis -nhà toán học, vật lý học người Pháp đã mô tả nó năm 1835 thông qua lý thuyết thủy triều của Pierre-Simon Laplace Nó được thể hiện qua hiện tượng lệch quĩ đạo của những vật chuyển động trong hệ qui chiếu này Sự lệch quĩ đạo do một loại lực quán tính gây ra, gọi là lực Coriolis Dưới đây ta sẽ đưa ra các lý thuyết để tính lực này

a Các chuyển động tương dối, chuyển động theo, chuyển động tuyệt đối

- Chuyển động của điểm M đối với hệ quy chiếu chuyển động là chuyển động tương đối Vận tốc và gia tốc của điểm M trong chuyển động tương đối gọi là vận tốc tương đối và gia tốc tương đối, kí hiệu là v w r, r

- Chuyển động của hệ quy chiếu động đối với hệ quy chiếu cố dịnh gọi là chuyển động theo Vận tốc và gia tốc của điểm M’ thuộc hệ quy chiếu động, mà tại thời điểm đã cho trung với điểm M, gọi là vận tốc theo và gia tốc theo, kí hiệu là v w e, e

- Chuyển động của M đối với hệ quy chiếu cố định gọi là chuyển động tuyệt đối Vận tốc và gia tốc của điểm M trong chuyển động gọi là vận tốc tuyết đối và gia tốc tuyệt đối, kí hiệu là

,

v w

b Đạo hàm tuyệt đối và đạo hàm tương đối của véc tơ

Xét hệ tọa độ O1x1y1z1 được quy ước là hệ tọa độ cố định và hệ tọa đô động Oxyyz, chuyển động đối với hệ tọa độ cố định O1x1y1z1

Giả sử có hàm vecto aa t( )phụ thuộc và thời gian, với các hình chiếu lên trục hệ động là , ,

a a a Vecto a được biểu thị qua các vecto đơn vị trên trục hệ động:

a a i a ja k

Các vecto đơn vị cũng là hàm phụ thuộc thời gian Lấy đạo hàm vecto a theo thời gian trong hệ tọa độ cố định – đạo hàm tuyệt đối, ta được:

a a i a j a k  a ia ja k (1)

Nếu giả sử hệ tọa độ động Oxyz dừng lại, lúc đó các vecto đơn vị , ,i j k const, do đó:

0

i j k ,

thì biểu thức (1) biểu thị đạo hàm tương đối theo thời

gian trong hệ tọa độ động, gọi là đạo hàm tương đối

của vecto a , kí hiệu là a ,

a a i a j a k

(2) Gọi  là vecto vận tốc gọc quay tức thời của hệ tọa

độ động Oxyz quanh hệ tọa độ cố định Ta có:

ii j j k k

(3) Khi đó ta có:

a i a j a k a i a j a k

a i a j a k a



(4)

Thay (2) (4) vào (1) ta được:

aa a (5)

c Định lý cộng vận tốc

Xét chuyển động của điểm M đối với hệ động Oxyz, và hệ tọa đô động Oxyyz, chuyển động đối với hệ tọa độ cố định O1x1y1z1

Gọi r bán kính vecto xác định vị trí M trong hệ cố định, r là bán kính vecto xác đinh gốc 0

O của hệ động, r1 là bán kính vecto xác định M trong hệ động Ta có:

Gọi x,y,z là tọa độ của M trong hệ động ta có:

1 y j+zk

r xi 

Với i j k, , là các cecto đơn vị của hệ động Đạo hàm biểu thức (6) ta được vận tốc tuyệt đối của điểm M:

0 1

a

v r r r (7)

Áp dụng xông thức (5) ta được:

r r r (8)

Với là vecto vận tốc gọc quay tức thời của hệ tọa độ động Oxyz quanh hệ tọa độ cố định, đạo hàm tương đối của vecto r1 bằng:

1

r xi yj zk

Là vận tốc tương đối của M trong hệ động: v r r1 (9)

Vận tốc của gốc O của hệ động: v o  r0 (10)

Thay (8),(9),(10) vào (7) ta có:

1

v v  r v (11)

Để tìm vận tốc theo, ta giả sử điểm M dừng lại so với hệ động, lúc đó v  r 0, biểu thực (11) biểu thị vận tóc theo của M:

1

Vậy :

v v v

d Định lý cộng gia tốc

Từ (11) ta có:

1

v v  r v

Lấy đạo hàm 2 vế theo thời gian ta có:

w v v  r  r v (13)

Áp dụng công thức (5) ta được:

v v  v (14)

Trong đó, vr là đạo hàm tương đối của vecto

r

v theo thời gian, chính là gia tốc tương đối w r

của M:

r

w v    xi yjzk (15) Thay (8)(9)(14)(15) vào (13) ta có

1 1

Trong đó:

w v r là gia tốc của gốc O của hệ tọa độ động;

   là gia tốc góc của hệ tọa độ động đối với hệ tọa độ cố định

Để tìm gia tốc theo, ta giả sử điểm M gắn chặt với hệ tọa độ động, khi đó v r 0;w r 0;biểu thức (16) trở thành:

w w   r  r (17)

Vậy

w w w  v

Thành phần gia tốc 2(v r) được gọi là gia tốc Coriolis, khi xét trọng hệ quy chiếu chuyển động, thành phần gia tốc này gây ra lực quán tính, lực này được gọi là lực Coriolis

F   m v

CÂU 3: MÔ HÌNH HÓA MÔ HÌNH ROBOT VỚI CƠ CẤU CHẤP HÀNH

1 Xác định phương trình động lực học của ĐCMC nam châm vĩnh cửu

Hình 1: Mô hình động cơ một chiều

Các phương trình động học trong động cơ điện:

= (1)

= ̇ (3)

= (4) Trong đó:

- : Điện cảm phần ứng (H)

- ∶ Hệ số momen [ / ]

- ∶ Điện trở phần ứng.[ ]

- ∶ Hệ số sức điện động [ / ]

- ∶ Momen xoắn của trục động cơ [ ]

- : Vị trí góc của trục của động cơ (rad)

- : Sức điên động (V)

- ∶ Vị trí góc của trục tải [ ]

- ∶ Hệ số truyền bánh răng (thông thường ≫ 1)

- ∶ Điện áp phần ứng [V]

- Các phương trình chuyển động của hệ thống này là:

̈ = − ( ̇ ) − (5) Trong đó, momen của động cơ khi lắp thêm tải hộp bánh răng vào trục tải, là Momen quán tính của Roto [ ], ( ̇ ) ∶ Hệ số ma sát của roto đối với vòng bi của nó [ ] Nói chung, là một hàm phi tuyến của đối số của nó

Mô hình động lực có liên quan tới điện áp v, momen xoắn τ thu được theo cách sau Đầu tiên, thế từ (1) và từ (3) vào (2) để có được

Mặt khác, từ (1) ta có = ̇ thay vào phương trình (6), ta được:

Từ (5) ta rút ra được

= ̈ + ( ̇ ) +

Và có đạo hàm theo thời gian là:

Thế vào phương trình điện áp ta được:

Cuối cùng, sử dụng mối liên hệ = ta viết lại công thức trên dưới dạng:

( ̇) ̈ +

1

Trong nhiều ứng dụng thực tế ≈ 0 nên phương trình trên được viết lại thành:

̈ +1 ( ̇ ) + ̇ + = (8) Mặc dù hiện tượng ma sát là một hiện tượng phức tạp, nhưng trong thực tế người ta thường sử dụng

mô hình tuyến tính để biểu diễn, tức là:

( ̇ ) = ̇ = Với là một hằng số dương

Khi đó (8) được viết lại là:

2 Phương trình động lực học của Robot với cơ cấu chấp hành là ĐCMC

Hình 2: Sơ đồ khối Robot với cơ cấu chấp hành

Từ mục 1 ta có được phương trình động lực học của động cơ:

̈ + ̇ + . ̇ + = Viết gọn lại thành: ̈ + ̇ + = (10)

Với

=

Rút từ phương trình (10) thế vào phương trình động lực học robot ta được:

( ) ̈ + ( , ̇ ) ̇ + ( ) + ( ̇ ) = − ̈ − ̇ ( ( ) + ) ̈ + ( , ̇ ) ̇ + ( ) + ( ̇ ) + ̇ =

CÂU 4: MÔ HÌNH ROBOT CÓ RÀNG BUỘC

1 Thiết lập mô hình động lực học cho hệ

Hình 1: Mô hình của hệ cơ cấu có ràng buộc

Do P luôn chuyển động trên đường tròn tâm O bán kính r nên ta có phương trình ràng buộc:

2

1 2

cos

2

l l l l q r

r l l

l l

 

Khi đó ma trận Jacobien của hệ:

1

2

0 ( )

2 sin

T

T

q

A q

l l q q







    

 

- Vì q2 là hằng số nên hệ sẽ quay xung quanh O với cùng vận tốc góc là q Hệ chuyển động 1

trong mặt phẳng ngang nên thế năng hệ không đổi Nên ta chỉ tính động năng cho hệ:

+ Động năng thanh 1:

K m v J q

m q m q m l q



+ Động năng thanh 2:

2

2

K m v J q

l

m L q m q



2

2

cos

1

cos

l

m l l l q q m l q

l

m l l l q q



Trong đó G2 là trọng tâm của thanh 2

- Động năng của tải P:

K  mv  mr q

- Động năng của hệ

2

1 2

K K K K  Jq Với

cos

J  m l m l  m l m l l q mr (*)

- Chọn gốc thế năng tại mặt phẳng chuyển động, ta có:

2 1

1 2

LK  Jq

- Ta có phương trình Lagrange:

1

d L L M

dt q q Jq

  







Với J được tính theo (*)

Gọi = , ta có phương trình động lực học của hệ:

T

Mq  A Mq   l l  q

CÂU 5: XÁC ĐỊNH MA TRẬN NHỚT BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRISTOFFE

1 Thiet lập dạng thức Lagrange loại II

Xuat phát từ phương trı̀nh Lagrange loại 2:

∗, = 1,2, … ,

Ta suy ra phương trı̀nh Lagrange loại 2 dạng ma trận:

∗ (∗)

đ ́ : = [ , , … , ] ; ∗= [ ∗, ∗, … , ∗]

Trong kı̃ thuật robot người ta thường kı́ hiệu momen động cơ bang = ∗

Từ bieu thức động nnawngta có :

=1

2 ̇ ( ) ̇ =1

̇ = ( ) ̇

=1

2

( )

̇ ̇ (2)

Từ bieu thức the năng trọng lực ta có :

The (1), (2) và (3) vào phương trı̀nh (*) ta được :

( ) ̈ + ( ) ̇ ̇ −1

2

( )

̇ ̇ + ( ) =

2

( )

̇ ̇ + ( ) = = 1,2, … , (4)

Ta đưa vào kı́ hiệu :

ℎ ( ) = ( )−1

2

( )

= , ( ) −1

2 ,( )

Do M(q) là ma trận đoi xứng nên , = , = Từ đó suy ra :

ℎ ( ) =1

1

Thay (5) vào (4) ta được phương trı̀nh vi phân chuyen động của robot :

( ) + ℎ ( ) ̇ ̇ + ( ) =